convoluci\u00f3n sumas<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: <\/em>Lathi 3.8 p282, Oppenheim 2.1.2 p77 pdf108, Hsu 2.6.C p62<\/p>\n\n\n\n Una se\u00f1al discreta de entrada x[n] se representa como una superposici\u00f3n de versiones escaladas de un conjunto de impulsos unitarios desplazados \u03b4[n-k], cada uno con valor diferente de cero en un solo punto en el tiempo, especificado por el valor de k.<\/p>\n\n\n\n La respuesta de un sistema lineal y[n] a x[n] es la superposici\u00f3n de las respuestas escaladas del sistema a cada uno de estos impulsos desplazados.<\/p>\n\n\n\n Si usamos hk<\/sub>[n] como la respuesta del sistema lineal al impulso unitario desplazado por \u03b4[n-k]. La respuesta y[n] del sistema lineal a la entrada x[n] en la ecuaci\u00f3n ser\u00e1 la combinaci\u00f3n lineal ponderada de las respuesta b\u00e1sicas.<\/p>\n\n\ny[n] = \\sum_{k=-\\infty}^{+\\infty} x[k]h_{k}[n] <\/span>\n\n\n\n Si se conoce la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir una respuesta a una entrada arbitraria.<\/p>\n\n\n\n Si el sistema lineal tambi\u00e9n es invariante en el tiempo, entonces estas respuestas a impulsos unitarios desplazados en el tiempo son todas las versiones desplazadas en el tiempo unas de otras.<\/p>\n\n\n\n h[n] es la salida del sistema LTI cuando \u03b4[n] es la entrada. Entonces para un sistema LTI la ecuaci\u00f3n se vuelve.<\/p>\n\n\ny[n] = \\sum_{k=-\\infty}^{+\\infty} x[k]h[n-k] <\/span>\n\n\n\n El resultado se conoce como la \"convoluci\u00f3n de suma<\/strong>\" o \"suma de superposici\u00f3n\" y la operaci\u00f3n miembro derecho de la ecuaci\u00f3n se llama convoluci\u00f3n de las secuencias x[n] y h[n] que se representa de manera simb\u00f3lica como:<\/p>\n\n\ny[n] = x[n]*h[n] <\/span>\n\n\n\n convoluci\u00f3n sumas<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Openheim Ejemplo 2.4 p85 pdf116<\/p>\n\n\n\n Considere una entrada x[n] y una respuesta al impulso unitario h[n] dada por:<\/p>\n\n\n\n x[n] = (u[n]-u[n-5]) con \u03b1>1. Para el ejercicio, \u03b1=1.5.<\/p>\n\n\n\n Nota<\/em>: Para el algoritmo, si \u03b1 es un entero, por ejemplo 2, usar \u03b1=2.0, para que la operaci\u00f3n potencia se realice con n\u00fameros reales, como entero se puede saturar y dar error.<\/p>\n\n\n\n Al aplicar la suma de convoluci\u00f3n obtiene:<\/p>\n\n\n\n Para aplicar el algoritmo se requiere definir u[n], por ser parte de las funciones x[n] y h[n]. Dado que la operaci\u00f3n requiere valores fuera del rango muestreado para n, la secci\u00f3n suma convoluci\u00f3n utiliza las funciones en lugar de los vectores xi, hi.<\/p>\n\n\n\n La funci\u00f3n est\u00e1 definida en un intervalo sim\u00e9trico, por lo que el rango de trabajo [a,b] se mantiene de la forma [-b,b] en el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n convoluci\u00f3n sumas<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El resultado con el algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n instrucciones en Python<\/p>\n\n\n La suma convoluci\u00f3n se encuentra tambi\u00e9n disponible con Numpy en el algoritmo se puede aplicar a otros ejercicios para comprobar los resultados.<\/p>\n\n\n\n Contin\u00fae con el ejercicio 2.5 del libro.<\/p>\n\n\n\n convoluci\u00f3n sumas<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Convoluci\u00f3n de sumas<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejemplo<\/h2>\n\n\n\n
h[n] = \u03b1n<\/sup> (u[n]-u[n-7])<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n![\"Convoluci\u00f3n](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/ConvolucionSuma01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
ni: [-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2\n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15]\nxi: [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]\nhi: [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.\n 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.\n 0. 1. 1.5 2.25 3.375 5.0625 7.59375\n 11.390625 0. 0. 0. 0. 0. 0.\n 0. 0. 0. ]\nyi: [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.\n 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.\n 0. 1. 2.5 4.75 8.125 13.1875 19.78125\n 29.671875 27.421875 24.046875 18.984375 11.390625 0. 0.\n 0. 0. 0. ]<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Respuesta a impulsos - forma discreta\n# Ejemplo Oppenheim Ejemplo 2.3 p83\/pdf111\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\n# Rango [a,b], sim\u00e9trico a 0\nb = 15 ; a = -b\n\nalfa = 1.5\nu = lambda n: np.piecewise(n,n>=0,[1,0])\n\nx = lambda n: u(n)-u(n-5)\nh = lambda n: (alfa**n)*(u(n)-u(n-7))\n\n\n# PROCEDIMIENTO\nni = np.arange(a,b+1,1)\nxi = x(ni)\nhi = h(ni)\n\n# Suma de Convolucion x[n]*h[n]\nmuestras = len(xi)\nyi = np.zeros(muestras, dtype=float)\nfor i in range(0,muestras):\n suma = 0\n for k in range(0,muestras):\n suma = suma + x(ni[k])*h(ni[i]-ni[k])\n yi[i] = suma\n\n# yi = np.convolve(xi,hi,'same')\n\n# SALIDA\nprint('ni:',ni)\nprint('xi:',xi)\nprint('hi:',hi)\nprint('yi:',yi)\n<\/pre><\/div>\n\n\nnp.convolve()<\/code>, la secci\u00f3n de suma convoluci\u00f3n se puede reemplazar y obtener los mismos resultados. Considere que para \u00e9ste caso se usan los vectores xi y hi.<\/p>\n\n\n\nyi = np.convolve(xi,hi,'same')<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n