Transformada z<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo causal<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi 5.1 p488, Oppenheim 10.1 p741<\/p>\n\n\n\n Se define como X[z] a la transformada z de una se\u00f1al x[n] como<\/p>\n\n\n X[z] = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x[n] z^{-n}<\/span>\n\n\n\n Por razones semejantes a las descritas en la unidad 4 para transformadas de Laplace<\/a>, es conveniente considerar la transformada z unilateral<\/strong>. Dado que muchos de los sistemas y se\u00f1ales son causales, en la pr\u00e1ctica se considera que las se\u00f1ales inician en n=0 (se\u00f1al causal), la definici\u00f3n de la transformada z unilateral<\/strong> es la misma que la bilateral. excepto por los limites de la sumatoria que son [0,\u221e]<\/p>\n\n\n X[z] = \\sum_{n=0}^{\\infty} x[n] z^{-n}<\/span>\n\n\n\n Transformada z<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo causal<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi ejemplo 5.1 p490, Oppenheim ejemplo 10.1 p743<\/p>\n\n\n\n Encuentre la Transformada z y la correspondiente ROC para la se\u00f1al x[n]<\/p>\n\n\n x[n] = a ^{n} \\mu[n] <\/span>\n\n\n\n Transformada z<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo causal<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n por definici\u00f3n<\/p>\n\n\n X[z] = \\sum_{n=0}^{\\infty} a ^{n} \\mu[n] z^{-n}<\/span>\n\n\n\n dado que \u03bc[n]=1 para todo n\u22650,<\/p>\n\n\n X[z] = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\Big( a^n \\Big) \\Big(\\frac{1}{z} \\Big)^{n} = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\Big(\\frac{a}{z} \\Big)^{n} <\/span>\n\n\n =1 + \\Big(\\frac{a}{z} \\Big)^{1}+\\Big(\\frac{a}{z} \\Big)^{2}+\\Big(\\frac{a}{z} \\Big)^{3}+\\text{...}<\/span>\n\n\n\n revisando la progresi\u00f3n geom\u00e9trica,<\/p>\n\n\n 1+x+x^2+x^3+\\text{...} = \\frac{1}{1+x} \\text{ , }|x|<1<\/span>\n\n\n\n y aplicando en la expresi\u00f3n del problema, se tiene:<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{1}{1-\\frac{a}{z}}\\text{ , } \\Big|\\frac{a}{z}\\Big| <1<\/span>\n\n\n X[z] = \\frac{z}{z-a}\\text{ , } |z|>|a|<\/span>\n\n\n\n observe que X[z] existe solo si |z|>|a|. Para |z|<|a| la sumatoria no converge y tiende al infinito. Por lo que, la Regi\u00f3n de Convergencia ROC de X[z] es la regi\u00f3n sombreada de un c\u00edrculo de radio |a| centrado en el origen en el plano z.<\/p>\n\n\n\n Luego se puede mostrar que la transformada z de la se\u00f1al -an<\/sup> u[-(n+1)] tambi\u00e9n es z\/(z-a). Sin embargo la regi\u00f3n de convergencia en \u00e9ste caso es |z|<|a|. Se observa que la transformada z inversa no es \u00fanica, sin embargo,al restringir la transformada inversa a causal, entonces la transformada inversa es \u00fanica como la mostrada.<\/p>\n\n\n\n Transformada z<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo causal<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n En Sympy de Python existe la funci\u00f3n Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n Transformada z<\/a><\/p>\n\n\n\n ejemplo causal<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n La secci\u00f3n contin\u00faa luego del algoritmo anterior.<\/p>\n\n\n\n Ser requiere dar valor a la constante ' Para actualizar los polos, repite el c\u00e1lculo respectivo, la gr\u00e1fica de polos y ceros para z, se sustituye la variable z por |z| seg\u00fan lo indicado en |z|<|a|.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Transformada z<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejemplo. Transformada z de exponencial causal<\/h2>\n\n\n\n
![\"TransformadaZ_Ej01xn\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/TransformadaZ_Ej01xn.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
![\"Transformada](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/TransformadaZ_Ej01Roc.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Transformada](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/TransformadaZ_Ej01Xz.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo con Sympy-Python - Transformada z <\/h2>\n\n\n\n
sym.summation()<\/code>, que se usa para generar la expresi\u00f3n del resultado para la transformada z.<\/p>\n\n\n\nf[n]: \n n\na \n\n F[z] desde sumatoria:\n\u239b 1 \u2502a\u2502 \u239e\n\u239c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500, \u2502\u2500\u2502 < 1\u239f\n\u239c a \u2502z\u2502 \u239f\n\u239c- \u2500 + 1 \u239f\n\u239d z \u23a0\n\n F[z] simplificada\n z \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n-a + z\n\n ROC: \n\u2502a\u2502 \n\u2502\u2500\u2502 < 1\n\u2502z\u2502 \n\n {Q_polos:veces}: {a: 1}\n {P_ceros:veces}: {0: 1}\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# transformada z de x[n]u[n]\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nz = sym.symbols('z')\nn = sym.symbols('n', integer=True, positive=True)\na = sym.symbols('a')\nu = sym.Heaviside(n)\n\nfn = (a**n)*u\n\n# valor a como racional en dominio 'ZZ' enteros\na_k = sym.Rational(1\/2).limit_denominator(100)\nm = 7 # T\u00e9rminos a graficar\nmuestras = 101 # dominio z\n\n# PROCEDIMIENTO\nfnz = fn*(z**(-n)) # f(n,z) para sumatoria\n# sumatoria transformada z\nFz_sum = sym.summation(fnz,(n,0,sym.oo))\nFz_eq = Fz_sum.args[0] # primera ecuacion e intervalo\nFz = Fz_eq[0].simplify() # solo expresion\n\nROC = Fz_eq[1] # condicion ROC\n\n# polos y ceros de Fz\n[P,Q] = Fz.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,z)\nQ = sym.poly(Q,z)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n\n# SALIDA\nprint('f[n]: ')\nsym.pprint(fn)\nprint('\\n F[z] desde sumatoria:')\nsym.pprint(Fz_eq)\nprint('\\n F[z] simplificada')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\n ROC: ')\nsym.pprint(ROC)\nprint('\\n {Q_polos:veces}:',Q_polos)\nprint(' {P_ceros:veces}:',P_ceros)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Gr\u00e1fica en Python<\/h2>\n\n\n\n
a<\/code>' y se sustituye en las funciones con a_k=1\/2<\/code>. <\/p>\n\n\n\n