{"id":17813,"date":"2017-08-23T09:25:14","date_gmt":"2017-08-23T14:25:14","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=2591"},"modified":"2026-04-06T06:32:58","modified_gmt":"2026-04-06T11:32:58","slug":"transformada-z-respuesta-yn","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u07\/transformada-z-respuesta-yn\/","title":{"rendered":"7.5 Transformada z - Y[z]=ZIR+ZSR con Sympy"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 5.5 p510<\/p>\n\n\n\n

continuando con la soluci\u00f3n del ejercicio de condiciones iniciales,<\/p>\n\n\n\n

y[n+2] - 5 y[n+1] + 6 y[n] = 3 x[n+1] + 5 x[n]<\/p>\n\n\n\n

con las condiciones iniciales y[-1]=11\/16, y[-2]=37\/36,
ante una entrada x[n]=(-2)-n<\/sup>\u03bc[n]<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Usando notaci\u00f3n de operadores E<\/p>\n\n\n\n

y[n]E2<\/sup> - 5 y[n]E + 6 y[n] = 3 x[n]E + 5 x[n]<\/p>\n\n\n\n

(E2<\/sup> - 5E+ 6)y[n] + condiciones iniciales = (3E+5)x[n]<\/p>\n\n\n\n

(E2<\/sup> - 5E+ 6)y[n] = - condiciones iniciales + (3E+5)x[n]<\/p>\n\n\n\n

Q(E)y[n] = - condiciones iniciales + P(E)x[n]<\/p>\n\n\n\n

Q(z) = z2<\/sup>-5z+6<\/p>\n\n\n\n

P(z) = 3z+5<\/p>\n\n\n\n

En el ejemplo se encuentra que la soluci\u00f3n total de la ecuaci\u00f3n de diferencias se puede separar en dos componentes. El primero es generado por las condiciones iniciales y el segundo por la entrada x[n]<\/p>\n\n\n\n

x[n] =2-n<\/sup> \u03bc[n]=(2-1<\/sup>)n<\/sup> \u03bc[n]\u21d4z\/(z-0.5)<\/p>\n\n\n\n

(E2<\/sup> - 5E+ 6)y[n] = - condiciones iniciales + (3E+5)x[n]<\/p>\n\n\n\n

(z2<\/sup> - 5z+ 6)Y[z] = - condiciones iniciales + (3z+5)z\/(z-0.5)<\/p>\n\n\n\n

Se aplican las condiciones iniciales, Conociendo que para una entrada causal<\/strong> x[n]<\/p>\n\n\n\n

x[-1] = x[-2] = ... = x[-n] = 0<\/p>\n\n\n\n

Tomando el t\u00e9rmino del resultado del algoritmo, Tarea, desarrollar los detalles.<\/p>\n\n\n\n

 termino condiciones iniciales: \nz*(11 - 3*z)<\/code><\/pre>\n\n\n (z^2 - 5 z + 6 ) Y[z] = - z(-3z +11) + \\frac{z(3z+5)}{(z-0.5)}<\/span>\n\n\n (z^2 - 5 z + 6 ) Y[z] = - \\text{condiciones iniciales} + \\text{entrada x[n]} <\/span>\n\n\n Y[z] = \\frac{- z(-3z +11)}{(z^2 - 5 z + 6 )} + \\frac{z(3z+5)}{(z-0.5)(z^2 - 5 z + 6 ) }<\/span>\n\n\n\n
Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
continuando luego con el proceso de fracciones parciales y cambio al dominio de tiempo discreto. <\/p>\n\n\n Y[z] = \\frac{26}{15}\\frac{z}{z-0.5} - \\frac{7}{3}\\frac{z}{(z-2)}+\\frac{18}{5}\\frac{z}{(z-3)}<\/span>\n\n\n\n
Aqu\u00ed se usa la transformada_z inversa con Sympy:<\/p>\n\n\n y[n] = \\Bigg[ \\frac{26}{15}(0.5)^n - \\frac{7}{3}(2)^n + \\frac{18}{5}(3)^n \\Bigg] \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n
\"Yz_ZIR_ZSR_graf01\"<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Se reutilizan los algoritmos de la secci\u00f3n Transformada z \u2013 Fracciones parciales<\/a> a lo que se a\u00f1aden las instrucciones de los pasos anteriores.<\/p>\n\n\n\n
 Hz {polos:veces} :  {3: 1, 2: 1}\n Hz {ceros:veces} :  {-5\/3: 1}\n\n termino condiciones iniciales: \nz*(11 - 3*z)\ntermino entrada x[n]:  \n2*z*(3*z + 5)\n-------------\n   2*z - 1   \n\n Yz = ZIR_z + ZSR_z:\n  z*(11 - 3*z)        2*z*(3*z + 5)      \n- ------------ + ------------------------\n   2                       \/ 2          \\\n  z  - 5*z + 6   (2*z - 1)*\\z  - 5*z + 6\/\n\n Yz en fracciones parciales z:\n    26*z          7*z         18*z  \n------------ - --------- + ---------\n15*(z - 1\/2)   3*(z - 2)   5*(z - 3)\n\n y[n]:\n\/      n      n       n\\             \n|26*0.5    7*2    18*3 |             \n|------- - ---- + -----|*Heaviside(n)\n\\   15      3       5  \/             \n>>> \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Transformada z - Fracciones parciales\n# Y(z) = -condicion0+entradaxn = ZIR+ZSR\n# Lathi Ejemplo 5.5 p510\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\nsym.SYMPY_DEBUG=False\n\n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\nn = sym.Symbol('n', real=True)\n\n# se\u00f1al de entrada Xz\n# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros\na0 = sym.Rational(1\/2).limit_denominator(1000)\nXz = z\/(z-a0)\n\n# Hz = Pz\/Qz\nPz = 3*z+5\nQz = z**2-5*z+6\nF = Pz\/Qz\n\n# condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1]\na1 = sym.Rational(37,36) # y[-2]=37\/36 \na2 = sym.Rational(11,6)  # y[-1]=11\/6\ncond_inicio = [a1, a2]\n\n# PROCEDIMIENTO\nFz = sym.simplify(F)\nFz_factor = sym.factor(F.evalf())\nFz_factor = ss._round_float_is_int(Fz_factor)\n\n# polos y ceros de Fz\n[P,Q] = Fz.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,z)\nQ = sym.poly(Q,z)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n\n# coeficientes QD\nQ_coef  = Q.coeffs()\nQ_grado = Q.degree()\n\n# T\u00e9rminos de condiciones iniciales\nm0 = len(cond_inicio)\nterm_0 = 0 \nfor j in range(0,Q_grado,1):\n    term_grado = 0\n    for i in range(m0-1-j,m0,1):\n        term_cond0 = cond_inicio[i]*(z**((m0-1-j)-i ))\n        term_grado = term_grado + term_cond0\n    term_0 = term_0 + term_grado*Q_coef[j+1]\n\n# salida y(t) a entrada x(t)\nterm_0  = sym.simplify(term_0*(z**2))\nterm_xn = sym.simplify(Pz*Xz)\nZIR_z = -sym.simplify(term_0\/Q)\nZSR_z = sym.simplify(term_xn\/Q)\n\n# Y[z] = entrada0 + estado0\nYz = ZIR_z + ZSR_z\n\n# Y[z] en fracciones parciales y parametros cuadraticos\nYzp = ss.apart_z(Yz)\nQs2 = ss.Q_cuad_z_parametros(Yzp)\n\n# Inversa de transformada z\nyn = 0*n ; Fz_revisar = []\nterm_sum = sym.Add.make_args(Yzp)\nfor term_k in term_sum:\n    term_kn = ss.inverse_z_transform(term_k,z,n)\n    if type(term_kn)==tuple:\n        yn = yn + term_kn[0]\n    else:\n        yn = yn + term_kn\nyn = yn.collect(sym.Heaviside(n))\nyn = yn.collect(sym.DiracDelta(n))\nyn = ss._round_float_is_int(yn)\n\n# SALIDA\nprint(' Hz {polos:veces} : ',Q_polos)\nprint(' Hz {ceros:veces} : ',P_ceros)\n\nprint('\\n termino condiciones iniciales: ')\nsym.pprint(term_0)\nprint(' termino entrada x[n]:  ')\nsym.pprint(term_xn)\nprint('\\n Yz = ZIR_z + ZSR_z:')\nsym.pprint(Yz)\nprint('\\n Yz en fracciones parciales z:')\nsym.pprint(Yzp)\nif len(Qs2)>0:\n    print('Y[z] parametros cuadraticos: ')\n    for Qs2_k in Qs2:\n        print(Qs2_k,':')\n        for cadauno in Qs2[Qs2_k].keys():\n            print(cadauno,'\\t',Qs2[Qs2_k][cadauno])\nprint('\\n y[n]:')\nsym.pprint(yn)\nif len(Fz_revisar)>0:\n    print('\\n --- revisar terminos sin transformada en tabla: ---')\n    for un_term in Fz_revisar:\n        print(un_term)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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4. Gr\u00e1fica en Python de Polos y ceros, y[n]<\/h2>\n\n\n\n
\"Respuesta<\/figure>\n\n\n\n
\"Respuesta<\/figure>\n\n\n
\n# GRAFICA ----------\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# para graficar polos y ceros\nf_nombre = 'H'    # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc\n# grafica de polos y zeros\nfig_ROC = ss.graficar_Fz_polos(Fz_factor,Q_polos,P_ceros,\n                      muestras=101,f_nombre=f_nombre)\n\n\n# graficar f[n] -------\nmuestras_fn = 10  # muestras para f[n]\nfn = yn  # funcion para grafica\nf_nombre ='y' # nombre de funcion para grafica\n\nf_n = sym.lambdify(n,fn.expand(),modules=ss.equivalentes)\nki  = np.arange(0,muestras_fn,1,dtype=float)\nfi  = f_n(ki)\n\nprint('\\nse\u00f1al discreta '+f_nombre.lower()+'[n]')\nprint('n   :',ki)\nprint(f_nombre.lower()+'[n]:',fi)\n\n# graficar f[n]\nfig_fn, grafxn = plt.subplots()\nplt.axvline(0,color='grey')\nplt.stem(ki,fi)\nplt.grid()\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel(f_nombre.lower()+'[n]')\netiqueta = r''+f_nombre.lower()+'[n]= $'+str(sym.latex(fn))+'$'\nplt.title(etiqueta)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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