{"id":17817,"date":"2017-09-16T07:05:30","date_gmt":"2017-09-16T12:05:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=2631"},"modified":"2026-04-05T21:24:34","modified_gmt":"2026-04-06T02:24:34","slug":"s1eva2009tii_t2-lti-dt-bloques-respuesta-impulso-y-paso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s1eva\/s1eva2009tii_t2-lti-dt-bloques-respuesta-impulso-y-paso\/","title":{"rendered":"s1Eva2009TII_T2 LTI DT bloques, respuesta impulso y paso"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2009TII_T2 LTI DT bloques, respuesta impulso y paso<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a. Respuesta al impulso, o H(s) del diagrama de bloques<\/h2>\n\n\n\n
\"1E2009TII_T2<\/figure>\n\n\n\n

a.1 H[z] Funci\u00f3n de transferencia<\/h3>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: LTI DT \u2013 H[z] Diagrama de bloques con \"1\/z\"<\/p>\n\n\n\n

Dado que hay dos bloques (1\/z) o de retraso , se identifica que los polinomios son de segundo orden (N=2). Los coeficientes de retraso se leen de arriba hacia abajo como a0<\/sub>,-a1<\/sub>,-a2<\/sub> ordenados en la siguiente tabla:<\/p>\n\n\n\n

retraso<\/th>adelanto<\/th><\/tr><\/thead>
a0<\/sub> = 1<\/td>b0<\/sub> = 1<\/td><\/tr>
a1<\/sub> = -(3\/4) = -3\/4<\/td>b1<\/sub> = 0<\/td><\/tr>
a2<\/sub> = -(-1\/8) = 1\/8<\/td>b2<\/sub> = 0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Se aplica lo mismo para los coeficientes de adelanto y se completa el modelo para los polinomios del numerador y denominador:<\/p>\n\n\n H[z] = \\frac{b_0 z^N +b_1 z^{N-1} + \\text{ ... } + b_{N-1} z + b_N}{z^N + a_1 z^{N-1} +\\text{ ... } + a_{N-1}z +a_N}<\/span>\n\n\n H[z] = \\frac{z^2}{z^2 - \\frac{3}{4} z+\\frac{1}{8}}<\/span>\n\n\n\n

a.2 H[z] en fracciones parciales<\/h3>\n\n\n\n

fracciones parciales modificadas,<\/p>\n\n\n \\frac{H[z]}{z} = \\Big( \\frac{1}{z} \\Big) \\frac{z^2}{z^2 - \\frac{3}{4} z+\\frac{1}{8}} = \\frac{z}{z^2 - \\frac{3}{4} z+\\frac{1}{8}}<\/span>\n\n\n\n

El polinomio del denominador es:<\/p>\n\n\n Q[z] = z^2 - \\frac{3}{4} z+\\frac{1}{8} <\/span>\n\n\n\n

con ra\u00edces en 1\/4 y 1\/2<\/p>\n\n\n\n

con lo que se obtiene la expresi\u00f3n para usar el m\u00e9todo de \"cubrir\" de Heaviside<\/p>\n\n\n \\frac{H[z]}{z} = \\frac{z}{(z-1\/4)(z-1\/2)}= \\frac{k_1}{z-1\/4}+ \\frac{k_2}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n k_1 = \\frac{z}{\\cancel{(z-1\/4)}(z-1\/2)}\\Big|_{z=1\/4} = \\frac{1\/4}{(1\/4-1\/2)} = -1<\/span>\n\n\n k_2 = \\frac{z}{(z-1\/4)\\cancel{(z-1\/2)}}\\Big|_{z=1\/2} = \\frac{1\/2}{(1\/2-1\/4)} = 2<\/span>\n\n\n \\frac{H[z]}{z} = \\frac{-1}{z-1\/4}+ \\frac{2}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/p>\n\n\n H[z] = \\frac{-z}{z-1\/4}+ \\frac{2z}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n

Revisando el resultado con el algoritmo en Python:<\/p>\n\n\n\n

 Hz:\n          2        \n         z         \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2                 \nz  - 0.75\u22c5z + 0.125\nfracciones parciales z:\n     z         2\u22c5z  \n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  z - 0.25   z - 0.5\n\npolos: {0.250000000000000: 1, 0.500000000000000: 1}\nceros: {0: 2}\nh[n]:\n\u239b      n        n\u239e     \n\u239d- 0.25  + 2\u22c50.5 \u23a0\u22c5\u03b8(n)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se obtiene h[n] usando la tabla de transformadas z<\/a><\/p>\n\n\n\n
     z         2\u22c5z  \n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  z - 0.25   z - 0.5<\/code><\/pre>\n\n\n h[n] = - \\Big(\\frac{1}{4}\\Big)^n \\mu[n]+2\\Big( \\frac{1}{2} \\Big)^n \\mu[n]<\/span>\n\n\n\n
\"1E2009TII_T2_LTID_04\"<\/figure>\n\n\n\n
a.3. Estabilidad del sistema<\/h3>\n\n\n\n
Los polos son menores que un radio de 1.<\/p>\n\n\n\n
La ROC para el primer polo |z|>1\/4 y para el segundo polo es |z|>1\/2<\/p>\n\n\n\n
\"1E2009TII_T2_LTID<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Observaciones<\/em>:<\/p>\n\n\n\n
Las ra\u00edces caracter\u00edsticas o frecuencias naturales del sistema se encuentran dentro del c\u00edrculo de radio unitario. El sistema es asint\u00f3ticamente estable, que implica que es BIBO estable.<\/p>\n\n\n\n
h[n] no es de la forma k \u03b4[n], por lo que el sistema global es con memoria.<\/p>\n\n\n\n
a.4 Instrucciones con Python<\/h2>\n\n\n\n
Usando los algoritmo de la secci\u00f3n LTID Transformada z \u2013 X[z] Fracciones parciales modificadas con Python se adapta para el ejercicio<\/p>\n\n\n
\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# Polos \u00fanicos, repetidos y complejos\n# Lathi Ejercicio 5.3a pdf495\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/ss-unidad-7\/\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as fcnm\n  \n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\nn = sym.Symbol('n')\n \nPz = z**2\nQz = z**2-(3\/4)*z+1\/8\n\nHz = Pz\/Qz\n \nmuestras = 10 #para la gr\u00e1fica\nf_nombre = 'H'    # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc\n  \n# PROCEDIMIENTO \nFz  = fcnm.apart_z(Hz)\nQs2 = fcnm.Q_cuad_z_parametros(Fz)\n[Q_polos,P_ceros] = fcnm.busca_polosceros_z(Fz)\nhn = fcnm.inverse_z_transform(Fz,z,n)\n \n# SALIDA\nprint('\\n Hz:')\nsym.pprint(Hz)\nprint('\\n fracciones parciales z:')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\n polos:',Q_polos)\nprint('ceros:',P_ceros)\nif len(Qs2)>0:\n    print('\\n parametros cuadraticos: ')\n    for unterm in Qs2:\n        print(unterm,':')\n        for unparam in Qs2[unterm]:\n            print(unparam,':',Qs2[unterm][unparam])\nprint('\\nh[n]:')\nsym.pprint(hn)\n \n# GRAFICA ------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# grafica de polos y zeros\nfig_ROC = fcnm.graficar_Fz_polos(Hz,Q_polos,P_ceros,\n                      muestras,f_nombre)\n#plt.show()\n \n# grafica F[n]\nfn = sym.lambdify(n,hn)\nki = np.arange(0,muestras,1)\nfi = fn(ki)\nfig_fn, graf_fn = plt.subplots()\nplt.stem(ki,fi)\nplt.xlabel('ki')\nplt.ylabel(f_nombre.lower()+'[n]')\nuntitulo = r''+f_nombre.lower()+'[n]=$'\nuntitulo = untitulo+str(sym.latex(hn))+'$'\nplt.title(untitulo)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
literal b. La respuesta de paso s[n]<\/h2>\n\n\n\n
La se\u00f1al de entrada ser\u00e1 x[n] = \u03bc[n], con transformada z de:<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{z}{z-1}<\/span>\n\n\n\n
b.1 Y[z] ante entrada X[z] y con funci\u00f3n de transferencia H[z]<\/h3>\n\n\n\n
Usando el resultado de la respuesta al impulso,<\/p>\n\n\n H[z] = \\frac{-z}{z-1\/4}+ \\frac{2z}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n
La salida Y[n] del sistema ser\u00e1:<\/p>\n\n\n Y[z] = X[z] H[z] = \\frac{z}{z-1} \\Bigg[ \\frac{-z}{z-1\/4} + \\frac{2z}{z-1\/2} \\Bigg] <\/span>\n\n\n\n
b.2 Y[z] en fracciones parciales<\/h3>\n\n\n\n
Fracciones parciales modificadas<\/p>\n\n\n \\frac{Y[z]}{z} = \\frac{1}{z-1} \\Bigg[ \\frac{-z}{z-1\/4} + \\frac{2z}{z-1\/2} \\Bigg] <\/span>\n\n\n \\frac{Y[z]}{z} = \\frac{1}{(z-1)} \\frac{-z}{z-1\/4} + \\frac{1}{(z-1)}\\frac{2z}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n
La expresi\u00f3n se puede operar por partes:<\/p>\n\n\n \\frac{-z}{(z-1)(z-1\/4)} = \\frac{k_1}{z-1} + \\frac{k_2}{z-1\/4} <\/span>\n\n\n k_1 = \\frac{-z}{\\cancel{(z-1)}(z-1\/4)} \\Big|_{z=1} = \\frac{-1}{(1-1\/4)}=-\\frac{4}{3} <\/span>\n\n\n k_2 = \\frac{-z}{(z-1)\\cancel{(z-1\/4)}} \\Big|_{z=1\/4} = \\frac{-1\/4}{(1\/4-1)} = \\frac{1}{3} <\/span>\n\n\n\n
y la segunda parte,<\/p>\n\n\n \\frac{2z}{(z-1)(z-1\/2)} = \\frac{k_3}{z-1} + \\frac{k_4}{z-1\/2}<\/span>\n\n\n k_3 = \\frac{2z}{\\cancel{(z-1)}(z-1\/2)} \\Big|_{z=1} = \\frac{2(1)}{1-1\/2} = 4 <\/span>\n\n\n k_4 = \\frac{2z}{(z-1)\\cancel{(z-1\/2)}} \\Big|_{z=1\/2} = \\frac{2(1\/2)}{1\/2-1} = -2 <\/span>\n\n\n\n
Uniendo las partes de fracciones parciales modificadas se tiene:<\/p>\n\n\n \\frac{Y[z]}{z} = \\frac{-4\/3}{z-1} + \\frac{1\/3}{z-1\/4} + \\frac{4}{z-1}+\\frac{-2}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n
restaurando las fracciones parciales<\/p>\n\n\n Y[z] = \\frac{8}{3}\\frac{z}{z-1} + \\frac{1}{3}\\frac{z}{z-1\/4} -2\\frac{z}{z-1\/2} <\/span>\n\n\n\n
Usando la tabla de transformadas z<\/a><\/p>\n\n\n y[n] = \\frac{8}{3}\\mu [n] + \\frac{1}{3}\\Big( \\frac{1}{4}\\Big)^n \\mu [n] -2 \\Big(\\frac{1}{2}\\Big) ^n \\mu[n] <\/span>\n\n\n\n
Usando el algoritmo en Python, se tiene:<\/p>\n\n\n\n
 Yz:\n              3             \n             z              \n----------------------------\n(z - 1)*(z - 0.5)*(z - 0.25)\n\n Yz\/z:\n                 2                \n                z                 \n----------------------------------\n     3         2                  \n1.0*z  - 1.75*z  + 0.875*z - 0.125\n\n Yz\/z.apart:\n0.333333333333333       2.0       2.66666666666667\n----------------- - ----------- + ----------------\n   1.0*z - 0.25     1.0*z - 0.5        z - 1      \n\n Yz = (Yz\/z)*z\n0.333333333333333*z      2.0*z      2.66666666666667*z\n------------------- - ----------- + ------------------\n    1.0*z - 0.25      1.0*z - 0.5         z - 1       \n\n polos:  {0.2500: 1, 0.5000: 1, 1.0000: 1}<\/code><\/pre>\n\n\n\n
gr\u00e1fica de salida y[n]<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\"1E2009TII_T2b<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2009TII_T2 LTI DT bloques, respuesta impulso y paso literal a. Respuesta al impulso, o H(s) del diagrama de bloques a.1 H[z] Funci\u00f3n de transferencia Referencia: LTI DT \u2013 H[z] Diagrama de bloques con \"1\/z\" Dado que hay dos bloques (1\/z) o de retraso , se identifica que los polinomios son de segundo orden (N=2). […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-ejercicios","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[184],"tags":[199],"class_list":["post-17817","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-s1eva","tag-senalessistemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17817","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=17817"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17817\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23958,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17817\/revisions\/23958"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=17817"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=17817"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=17817"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}