{"id":17818,"date":"2017-09-08T08:15:58","date_gmt":"2017-09-08T13:15:58","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=2961"},"modified":"2026-04-12T16:09:40","modified_gmt":"2026-04-12T21:09:40","slug":"s1eva2010tii_t3-lti-ct-hsbloques-paralelo-retraso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s1eva\/s1eva2010tii_t3-lti-ct-hsbloques-paralelo-retraso\/","title":{"rendered":"s1Eva2010TII_T3 LTI CT H(s) de bloques en paralelo y retraso"},"content":{"rendered":"\n

Referencia<\/strong><\/em>: 1Eva2010TII_T3 LTI CT H(s) de bloques en paralelo y retraso<\/a><\/p>\n\n\n\n

El diagrama de bloques del sistema consta de dos sistema de primer orden en paralelo y el resultado en serie con un bloque retraso en tiempo.<\/p>\n\n\n\n

\"1E2010TII_T3<\/figure>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n de respuesta a impulso H(s), siguiendo el diagrama se presenta como:<\/p>\n\n\n H(s) =\\Big[ \\frac{1}{s+2}+\\frac{1}{s+3} \\Big] e^{-2s} <\/span>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Para el desarrollo anal\u00edtico se simplifica el problema, separando el bloque de atraso para el final, dado que el sistema es LTI los desplazamientos en el tiempo de la entrada tendr\u00e1n semejante respuesta en la salida.<\/p>\n\n\n\n

La funci\u00f3n de transferencia H(s) o respuesta al impulso ser\u00e1:<\/p>\n\n\nH(s) =\\Big[ H_1(s)\\Big] e^{-2s} <\/span>\n\n\nH_1(s) = \\frac{1}{s+2}+\\frac{1}{s+3} <\/span>\n\n\n\n

Los componentes por ser de primer orden y estar en paralelo, no se requiere aplicar fracciones parciales.<\/p>\n\n\n\n

Los polos del sistema se encuentran en el lado izquierdo del plano, por lo que sus componentes en el tiempo son decrecientes.<\/p>\n\n\n\n

{polos,veces}:  {-2: 1, -3: 1}\n polos reales:  2  complejos:  0\n sobre lado derecho RHP: 0\n sobre Eje Imaginario, repetidos:  0  unicos: 0\n asintoticamente:  estable\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
NO existen polos en el lado derecho del plano, por lo que el sistema es asintoticamente estable, en consecuencia BIBO estable.<\/p>\n\n\n\n
\"s1Eva2010TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
Para la transformada inversa de Laplace, se recuerda que se tiene un componente de retraso en cascada, por lo que se ajusta H(s)*retraso en fracciones parciales, se presentan dos componentes:<\/p>\n\n\n\n
 h(t) :\n 4 - 2*t                     6 - 3*t                 \ne       *Heaviside(t - 2) + e       *Heaviside(t - 2)\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que tienen la forma decreciente de la funci\u00f3n, Para la gr\u00e1fica Sympy usa como \u03b8(t)=\u03bc(t)=Heaviside(t)<\/p>\n\n\n\n
\"s1Eva2010TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
literal c<\/h3>\n\n\n\n
A partir del diagrama de bloques se tiene:<\/p>\n\n\nH(s) =\\frac{Y(s)}{X(s)}= \\Big[ \\frac{2s+5}{s^2+5s+6} \\Big] e^{-2s} <\/span>\n\n\n (s^2+5s+6)Y(s)=(2s+5)e^{-2s} X(s) <\/span>\n\n\n s^2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=(2sX(s)+5X(s))e^{-2s} <\/span>\n\n\n\n
que al convertir al dominio del tiempo se escribe como:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2}y(t)+5\\frac{\\delta}{\\delta t}y(t)+6y(t)=2\\frac{\\delta}{\\delta t}x(t-2)+5x(t-2) <\/span>\n\n\n\n
literal d<\/h3>\n\n\n\n
la respuesta ante la entrada escal\u00f3n requiere que x(t) = \u03bc(t), no se especifican condiciones iniciales del problema, por lo que se asumen iguales a cero. De la tabla de transformadas se obtiene X(s) = 1\/s<\/p>\n\n\n H(s) =\\Big[ \\frac{1}{s+2}+\\frac{1}{s+3} \\Big] e^{-2s} <\/span>\n\n\n Y(s) = H(s)X(s) =\\Big[ \\frac{1}{s+2}+\\frac{1}{s+3} \\Big] e^{-2s} \\frac{1}{s}<\/span>\n\n\n\n
que separando en fracciones parciales se convierte en:<\/p>\n\n\n Y(s) =\\Big[\\frac{5\/6}{s} -\\frac{1\/3}{s+3}-\\frac{1\/2}{s+2} \\Big] e^{-2s} <\/span>\n\n\n y(t) =\\Big[\\frac{5}{6} -\\frac{1}{3}e^{-3(t-2)}-\\frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\\Big] \\mu (t-2) <\/span>\n\n\n\n
el resultado usando algoritmos es:<\/p>\n\n\n\n
 H(s) = P(s)\/Q(s):\n\/  1       1  \\  -2*s\n|----- + -----|*e    \n\\s + 3   s + 2\/      \n H(s) en factores:\n           -2*s\n(2*s + 5)*e    \n---------------\n(s + 2)*(s + 3)\n\n h(t) :\n\/ 4  -2*t    6  -3*t\\                 \n\\e *e     + e *e    \/*Heaviside(t - 2)\n\npolosceros:\nexp(-2*s) : {'Q_polos': {-2: 1, -3: 1}, 'P_ceros': {-5\/2: 1}, 'Hs_k': (2*s + 5)\/((s + 2)*(s + 3))}\nQ_polos : {-2: 1, -3: 1}\nP_ceros : {-5\/2: 1}\n\nEstabilidad de H(s):\n n_polos_real : 2\n n_polos_imag : 0\n enRHP : 0\n unicos : 0\n repetidos : 0\n asintota : estable\n\n X(s): \n1\n-\ns\n\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales\nterm_cero : 0\nZIR :\n0\nyt_ZIR :\n0\n\n ZSR respuesta estado cero:\nZSR :\n\/      1           1        5 \\  -2*s\n|- --------- - --------- + ---|*e    \n\\  3*(s + 3)   2*(s + 2)   6*s\/      \nyt_ZSR :\n\/     4  -2*t    6  -3*t\\                 \n|5   e *e       e *e    |                 \n|- - -------- - --------|*Heaviside(t - 2)\n\\6      2          3    \/                 \n\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:\n\/      1           1        5 \\  -2*s\n|- --------- - --------- + ---|*e    \n\\  3*(s + 3)   2*(s + 2)   6*s\/      \n\n y(t)_total = ZIR + ZSR:\n\/     4  -2*t    6  -3*t\\                 \n|5   e *e       e *e    |                 \n|- - -------- - --------|*Heaviside(t - 2)\n\\6      2          3    \/                 \n>>>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Usando los bloques desarrollados en la\u00a0Unidad 4 Sistemas LTI \u2013 Laplace<\/span>\u00a0 y las funciones resumidas como telg1001.py<\/a><\/strong> que pueden ser usados en cada pregunta.<\/p>\n\n\n\n
Transformdada de Laplace - Ejercicio resuelto para Y(s)=H(s)X(s) con Sympy-Python<\/a><\/p>\n\n\n
\n# Y(s) Respuesta total con entada cero y estado cero\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as fcnm\n \n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nd = sym.DiracDelta(t)\nu = sym.Heaviside(t)\n \n# H(s) y estabilidad\nHs = (1\/(s+2)+1\/(s+3))*sym.exp(-2*s)\n#Hs = 1+0*s cuando es constante\n \n# X(s) Se\u00f1al de entrada\nxt = u\n \n# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente\nt0 = 0\ncond_inicio = [0, 0] # estado cero no se usan\n \n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nt_a = -1 ; t_b = 5\nmuestras = 101  # 51 resolucion grafica\n \n# PROCEDIMIENTO\nHs = fcnm.apart_s(Hs) # fracciones parciales\nHs_fc = fcnm.factor_exp(Hs) # en factores\nHs_Qs2 = fcnm.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)\n \npolosceros = fcnm.busca_polosceros(Hs)\nQ_polos = polosceros['Q_polos']\nP_ceros = polosceros['P_ceros']\n \nestable = fcnm.estabilidad_asintotica(Q_polos)\n \n# H(t) respuesta al impulso\nht = 0*s\nterm_suma = sym.Add.make_args(Hs)\nfor term_k in term_suma:\n    ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)\n    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)\/(s**2)\n    if ht_k.has(sym.log):\n        ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)\n    ht  = ht + ht_k\nlista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)\nht = sym.expand(ht,t) # terminos suma\nht = sym.collect(ht,lista_escalon)\n \n# PROCEDIMIENTO Respuesta ZIR, ZSR\nXs = fcnm.laplace_transform_suma(xt)\n \n# ZIR_s respuesta entrada cero de s\nsol_ZIR = fcnm.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)\nZIR = sol_ZIR['ZIR']\nyt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']\n \n# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)\nsol_ZSR = fcnm.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)\nZSR = sol_ZSR['ZSR']\nyt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']\n \n# Respuesta total Y(s) y y(t)\nYs = ZIR + ZSR\nYs = fcnm.apart_s(Ys)\nyt = yt_ZIR + yt_ZSR\nlista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)\nyt = sym.collect(yt,lista_escalon)\n \n# SALIDA\nprint(' H(s) = P(s)\/Q(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint(' H(s) en factores:')\nsym.pprint(Hs_fc)\nif len(Hs_Qs2)>0:\n    print('\\nH(s) par\u00e1metros cuadraticos:')\n    fcnm.print_resultado_dict(Hs_Qs2)\n \nprint('\\n h(t) :')\nsym.pprint(ht)\n \nprint('\\npolosceros:')\nfcnm.print_resultado_dict(polosceros)\n \nprint('\\nEstabilidad de H(s):')\nfor k in estable:\n    print('',k,':',estable[k])\n \nprint('\\n X(s): ')\nsym.pprint(Xs)\nprint('\\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')\n \nif not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado\n    fcnm.print_resultado_dict(sol_ZIR)\nelse:\n    print(' insuficientes condiciones iniciales')\n    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')\n \nprint('\\n ZSR respuesta estado cero:')\nfcnm.print_resultado_dict(sol_ZSR)\n \nprint('\\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(Ys)\nprint('\\n y(t)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(yt)\n \n# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------\nfigura_s  = fcnm.graficar_Fs(Hs,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)\nfigura_Hs = fcnm.graficar_Fs(Hs,Q_polos,P_ceros,muestras,f_nombre='H')\nfigura_ht = fcnm.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')\n# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------\nfigura_ft = fcnm.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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