{"id":18265,"date":"2024-10-11T20:28:11","date_gmt":"2024-10-12T01:28:11","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1034\/?p=36"},"modified":"2026-03-27T21:22:01","modified_gmt":"2026-03-28T02:22:01","slug":"parametros-de-sinusoides","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/parametros-de-sinusoides\/","title":{"rendered":"1.1 Se\u00f1al - Par\u00e1metros de sinusoides con Sympy-Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Se\u00f1ales Sinusoidales<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Downey 1.1 p2.<\/p>\n\n\n\n

La forma general de una se\u00f1al sinusoidal en el dominio del tiempo se obtiene por medio de su argumento de una funci\u00f3n coseno de variable independiente t<\/strong>.<\/p>\n\n\n x(t) = A\\cos(\\omega_0 t +\\phi) = A\\cos(2\\pi f_0 t +\\phi) <\/span>\n\n\n\n

por lo que se deduce que:<\/p>\n\n\n \\omega_0 = 2\\pi f_0 <\/span>\n\n\n\n

se desatacan tres par\u00e1metros independientes:
Amplitud (A<\/strong>), fase (\u03c6<\/strong>), frecuencia angular (\u03c9) en radianes o la frecuencia por ciclos (f) en Hz.<\/p>\n\n\n\n

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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: McClellan ejemplo 2.1 p35, Downey 1.1 p2.<\/p>\n\n\n\n

Para la se\u00f1al definida por x<\/strong>(t<\/em>) mostrar los par\u00e1metros de Amplitud, Frecuencia y Fase.<\/p>\n\n\n x(t) = 20 \\cos(2\\pi(40)t - 0.4\\pi) <\/span>\n\n\n\n

\"se\u00f1al<\/a><\/figure>\n\n\n\n
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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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3. Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Por observaci\u00f3n de x<\/strong>(t) seg\u00fan los conceptos definiciones en la parte te\u00f3rica:<\/p>\n\n\n x(t) = A\\cos(\\omega_0 t +\\phi) <\/span>\n\n\n\n

los par\u00e1metros buscados son:<\/p>\n\n\n\n

\n
\n

Amplitud A = 20<\/p>\n\n\n\n

\u03c90<\/sub> = 2 \u03c0(40) rad\/s<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n

f0<\/sub> = 40 Hz<\/p>\n\n\n\n

\u03c6 = -0.4\u03c0 rad.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

El tama\u00f1o vertical de la se\u00f1al en el tiempo depende del par\u00e1metro Amplitud, su m\u00e1ximo y m\u00ednimo +20 a -20.<\/p>\n\n\n\n

El tiempo de entre m\u00e1ximos sucesivos es de 0.025 s, que es 1\/f0<\/sub> .<\/p>\n\n\n\n

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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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4. Algoritmo con Sympy<\/h2>\n\n\n\n

Cuando para x<\/strong>(t<\/strong>) se requiere obtener sus par\u00e1metros<\/strong> o caracter\u00edsticas, se usa la forma simb\u00f3lica con las herramientas de la librer\u00eda Sympy.<\/p>\n\n\n\n

Luego de hacer el llamado a Sympy,  procede a  indicar la variable independiente de tiempo 't'<\/code> para ser reconocida como un s\u00edmbolo. Tambi\u00e9n se pueden a\u00f1adir constantes como \u03c0 o 2\u03c0 para facilitar la escritura de la expresi\u00f3n x<\/strong>(t<\/strong>):<\/p>\n\n\n\n

# ejemplo 2.1 p35 cos_args grafica senoidal<\/span>\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.@espol.edu<\/span>\nimport<\/span> sympy as<\/span> sym\n\n# variables continuas<\/span>\nt = sym.Symbol('t'<\/span>, real=True<\/span>,nonnegative=True<\/span>) # t>=0<\/span>\npi = sym.pi\nDosPi = sym.UnevaluatedExpr(2*sym.pi)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La expresi\u00f3n x<\/strong>(t<\/strong>) se escribe usando los s\u00edmbolos definidos en el ejercicio.<\/p>\n\n\n\n
# INGRESO<\/span>\nx = 20*sym.cos(DosPi*40*t-0.4*pi)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Como la expresi\u00f3n x<\/strong>(t<\/strong>) es simple y tiene un patr\u00f3n Amplitud*cos(Freq_rad*t+Fase)<\/code>, se separan sus partes con la instrucci\u00f3n x.args<\/strong><\/code>. La separaci\u00f3n de argumentos se realiza con expresiones de sumas de t\u00e9rminos, factores multiplicadores o argumentos de una funci\u00f3n como el cos().<\/p>\n\n\n\n
# PROCEDIMIENTO<\/span>\namplitud = 1; freq_rad = 0; fase = 0 \npartes = x.args<\/code><\/pre>\n\n\n\n
El resultado de las partes es una tupla. La Amplitud<\/strong> corresponde a la parte que no tiene sym.cos<\/code>, el resto deber\u00eda ser el la parte del coseno. Si la expresi\u00f3n contiene mas de dos partes, se analiza la expresi\u00f3n iterando en cada parte.<\/p>\n\n\n\n
parte_cos = sym.S.Zero # busca cos(t)<\/span>\nfor<\/span> unaparte in<\/span> partes:\n    if<\/span> not<\/span>(unaparte.has(sym.cos)):\n        amplitud = partes[0]\n    else<\/span>:\n        parte_cos = unaparte<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La expresi\u00f3n interna de cos(Freq_rad*t+Fase)<\/code> se obtiene tambi\u00e9n como el  argumento tupla de un solo elemento, obtenida como parte_cos.args[0]<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
# revisa cos(freq_rad*t+fase)<\/span>\nargumento_cos = parte_cos.args[0]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Los t\u00e9rminos de la suma se revisan uno por uno, La frecuencia angular<\/strong> se obtiene como el t\u00e9rmino que tiene s\u00edmbolo 't'<\/code>, que al dividir para 't'<\/code> y se obtiene el valor en en radianes. La revisi\u00f3n contenido de t en un t\u00e9rmino  se realiza por medio untermino.has(t)<\/code>,  La fase<\/strong> es el t\u00e9rmino sin el s\u00edmbolo 't'<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
terminos_suma = argumento_cos.args\nfor<\/span> untermino in<\/span> terminos_suma:\n    if<\/span> untermino.has(t):\n        freq_rad = sym.simplify(untermino\/t)\n        freq_Hz = sym.simplify(freq_rad\/(2*pi))\n    else<\/span>:\n        fase = untermino<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La instrucci\u00f3n sym.simplify()<\/code> permite simplificar los valores como \u03c0 al calcular freq_Hz<\/code><\/p>\n\n\n\n
El bloque de resultados muestra en orden los valores obtenidos durante el proceso<\/p>\n\n\n\n
# SALIDA<\/span>\nprint<\/span>('x(t): '<\/span>)\nsym.pprint(x)\nprint<\/span>('\\npartes o argumentos'<\/span>)\nprint<\/span>('partes : '<\/span>, partes)\nprint<\/span>('parte_cos: '<\/span>,parte_cos)\nprint<\/span>('argumento_cos: '<\/span>,argumento_cos)\nprint<\/span>('t\u00e9rminos_suma: '<\/span>, terminos_suma)\n\nprint<\/span>('\\npar\u00e1metros'<\/span>)\nprint<\/span>('amplitud: '<\/span>,amplitud)\nprint<\/span>('freq_rad: '<\/span>,freq_rad)\nprint<\/span>('freq_Hz : '<\/span>,freq_Hz)\nprint<\/span>('fase : '<\/span>,fase)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
los resultados se presentan a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
x(t): \n20*cos(40*t*2*pi - 0.4*pi)\n\npartes o argumentos\npartes   :  (20, cos(40*t*(2*pi) - 0.4*pi))\nparte_cos:  cos(40*t*(2*pi) - 0.4*pi)\nargumento_cos:  40*t*(2*pi) - 0.4*pi\nt\u00e9rminos_suma:  (-0.4*pi, 40*t*(2*pi))\n\npar\u00e1metros\namplitud:  20\nfreq_rad:  80*pi\nfreq_Hz :  40\nfase    :  -0.4*pi\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h3>\n\n\n
\n# ejemplo 2.1 p35 par\u00e1metros de x(t)\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec\nimport sympy as sym\n\n# variables continuas\nt = sym.Symbol('t', real=True,nonnegative=True) # t>=0\npi = sym.pi\nDosPi = sym.UnevaluatedExpr(2*sym.pi)\n\n# INGRESO\nx = 20*sym.cos(DosPi*40*t-0.4*pi)\n\n# PROCEDIMIENTO\namplitud = 1; freq_rad = 0; fase = 0 \npartes = x.args\nparte_cos = sym.S.Zero # busca cos(t)\nfor unaparte in partes:\n    if not(unaparte.has(sym.cos)):\n        amplitud = partes[0]\n    else:\n        parte_cos = unaparte\n\n# revisa cos(freq_rad*t+fase)\nargumento_cos = parte_cos.args[0]\nterminos_suma = argumento_cos.args\nfor untermino in terminos_suma:\n    if untermino.has(t):\n        freq_rad = sym.simplify(untermino\/t)\n        freq_Hz = sym.simplify(freq_rad\/(2*pi))\n    else:\n        fase = untermino\n\n# SALIDA\nprint('x(t): ')\nsym.pprint(x)\nprint('\\npartes o argumentos')\nprint('partes   : ', partes)\nprint('parte_cos: ',parte_cos)\nprint('argumento_cos: ',argumento_cos)\nprint('t\u00e9rminos_suma: ', terminos_suma)\n\nprint('\\npar\u00e1metros')\nprint('amplitud: ',amplitud)\nprint('freq_rad: ',freq_rad)\nprint('freq_Hz : ',freq_Hz)\nprint('fase    : ',fase)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n
ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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5. Gr\u00e1fica de la se\u00f1al sinusoidal<\/h2>\n\n\n\n
Para realizar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n se debe a\u00f1adir las librer\u00edas para los c\u00e1lculos (Numpy) y la librer\u00eda para realizar la gr\u00e1fica (Matplotlib)<\/p>\n\n\n\n
# GRAFICAR x(t) ---------------------------<\/span>\nimport<\/span> numpy as<\/span> np\nimport<\/span> matplotlib.pyplot as<\/span> plt<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Como par\u00e1metros de la funci\u00f3n peri\u00f3dica se puede indicar el n\u00famero de periodos a mostrar en la gr\u00e1fica. Recordando que el periodo T<\/code> es el inverso de la frecuencia f<\/code> en Hz.<\/p>\n\n\n\n
# INGRESO<\/span>\nmuestreo_T = 20+1 # tramos+1, o pasos+1<\/span>\ngraf_periodos = 2 # periodos en una grafica<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Como la gr\u00e1fica b\u00e1sica realiza un muestreo de la se\u00f1al y luego une los puntos con rectas, para observar una curva \"suave\" se usar\u00eda un muestreo de unos 20 tramos o 21 muestras por periodo.<\/p>\n\n\n\n
\"se\u00f1al<\/a><\/figure>\n\n\n\n
Las muestras de tiempo ti se obtienen con los datos de [a,b] y dt usando la instrucci\u00f3n np.arange()<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
Para la evaluaci\u00f3n de x(t) en el intervalo con el vector ti<\/code> es preferible usar la forma num\u00e9rica (lambda) que usa todo el vector ti<\/code> en una sola instrucci\u00f3n. La forma de evaluaci\u00f3n de Sympy es con xt.subs()<\/code> y ser\u00eda con valores individuales. Se realiza la conversi\u00f3n de Sympy a Numpy usando la instrucci\u00f3n sym.lambdify(variable, expresi\u00f3n)<\/code>. (lambfify<\/a> en resumen de sympy)<\/p>\n\n\n\n
# x(t) a forma num\u00e9rica lambda t:<\/span>\nxt = sym.lambdify(t,x)\nxi = xt(ti) # eval\u00faa en intervalo<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para revisar o recordar los detalles de la creaci\u00f3n de la gr\u00e1fica con plt.plot()<\/code>, puede revisar lo indicado en los enlaces siguientes:<\/p>\n\n\n\n
Se\u00f1ales Cont\u00ednuas con Python<\/a> (curso: Se\u00f1ales y Sistemas)<\/p>\n\n\n\n
Gr\u00e1ficas 2D de l\u00ednea<\/a> (curso: Fundamentos de Programaci\u00f3n)<\/p>\n\n\n\n
Observaci\u00f3n<\/em><\/strong>:  Para la gr\u00e1fica se requieren valores num\u00e9ricos reales (float) en los vectores [ti,xi]. Si la expresi\u00f3n de x(t) a\u00fan no se definen los valores de los par\u00e1metros, la secci\u00f3n de la gr\u00e1fica mostrar\u00eda un error. Considerar para el pr\u00f3ximo algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h3>\n\n\n
\n# GRAFICAR x(t) ---------------------------\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nmuestreo_T = 20+1 # tramos+1, o pasos+1\nperiodos_graf = 2 # periodos en una grafica\n\n# PROCEDIMIENTO GRAFICA\nT = 1\/freq_Hz\n\na = 0    # [a,b] intervalo ti\nb = T*periodos_graf\ndt = T\/(muestreo_T-1)  # tama\u00f1o de paso,tramo, muestreo\nti = np.arange(a,b+dt,dt,dtype=float)\n\n# x(t) a forma num\u00e9rica lambda t:\nxt = sym.lambdify(t,x)\nxi = xt(ti) # eval\u00faa en intervalo\n\n# graficar\nplt.plot(ti,xi,label='x(t)')\nplt.plot(ti,xi,'o',label='x(ti)')\nplt.axhline(0,color='black')\nplt.xlabel('t (segundos)')\nplt.ylabel('y')\nplt.title('x(t) = ' + str(x))\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n
ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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6. Tarea<\/h2>\n\n\n\n
Usar el algoritmo con los siguientes ejercicios y observar las diferencias al usar Sympy al determinar los par\u00e1metros. Crear nuevos S\u00edmbolos de ser necesario<\/p>\n\n\n\n
x = 10*sym.cos(2*pi*440*t-0.4*pi)\nx = 10*sym.cos(DosPi*440*t-0.4*pi)\nx = 20*sym.cos(DosPi*40*t-0.4*pi)\nx = 4*sym.cos(40*pi*t+pi\/3)\nx = A*sym.sin(w*t+p)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
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Se\u00f1al sinusoidal<\/a><\/p>\n\n\n\n
ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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