{"id":18268,"date":"2024-10-18T21:55:34","date_gmt":"2024-10-19T02:55:34","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1034\/?p=209"},"modified":"2026-04-07T04:46:35","modified_gmt":"2026-04-07T09:46:35","slug":"senales-periodicas-frecuencia-fundamental","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/senales-periodicas-frecuencia-fundamental\/","title":{"rendered":"1.8 Se\u00f1ales Peri\u00f3dicas - frecuencia fundamental"},"content":{"rendered":"\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#periodo0\">periodo fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#frecuencia0\">frecuencia fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#senalexponente\">se\u00f1al a exponente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"periodo0\">1. Periodo Fundamental de una se\u00f1al peri\u00f3dica<\/h2>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 3.3 p87<\/p>\n\n\n\n<p>Una se\u00f1al peri\u00f3dica repite&nbsp; su forma de onda cada intervalo de tama\u00f1o T<sub>0<\/sub>. El intervalo T0 se conoce como periodo de x(t) y es la repetici\u00f3n m\u00e1s peque\u00f1a del intervalo, tambi\u00e9n llamada <strong>periodo fundamental<\/strong>.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t+T_0) = x(t) <\/span>\n\n\n\n<p>Una se\u00f1al peri\u00f3dica se puede formar como una suma de N+1 componentes con frecuencias <strong>arm\u00f3nicas<\/strong> que son m\u00faltiplos de la frecuencia Fundamental F<sub>0<\/sub>.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) = A_0 + \\sum_{k=1}^{N} A_k \\cos (2\\pi k F_o t +\\varphi_k) <\/span>\n\n\n\n<p>donde f<sub>k<\/sub> es la k<sup>\u00e9sima<\/sup> frecuencia del componente: f<sub>k<\/sub> = k F<sub>0<\/sub><\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#periodo0\">periodo fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#frecuencia0\">frecuencia fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#senalexponente\">se\u00f1al a exponente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">1.2 Ejercicio<\/h3>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: McClellan Ejemplo 3.8 p87<\/p>\n\n\n\n<p>Determinar la frecuencia fundamental&nbsp; de la se\u00f1al x(t), siendo:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) = \\cos^2(4\\pi t) <\/span>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">1.3 Resultados con el algoritmo<\/h3>\n\n\n\n<p>Si se plantea el ejercicio como dos se\u00f1ales, el coseno simple y luego el coseno cuadrado, se observa que la frecuencia fundamental del coseno es 2 Hz.<br>Sin embargo, la frecuencia del coseno cuadrado es 4Hz.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Algoritmo<\/strong>: <a href=\"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/espectro-operaciones-tiempo-frecuencia\/\" data-type=\"post\" data-id=\"20576\">Espectro - Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia<\/a><\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>x_senales: \nsenal:   cos(4*pi*t)\n  espectro:\n   freq : &#091;-2.  2.]\n   ampl : &#091;1\/2 1\/2]\n   fase : &#091;0 0]\n   etiq : &#091;'$\\\\frac{1}{2}$' '$\\\\frac{1}{2}$']\n   x_expand : cos(4*pi*t)\n   freq_max : 2.0\n   freq_min : 2.0\n   BW : 0.0\nsenal:   cos(4*pi*t)**2\n  espectro:\n   freq : &#091;-4.  0.  4.]\n   ampl : &#091;1\/4 1\/2 1\/4]\n   fase : &#091;0 0 0]\n   etiq : &#091;'$\\\\frac{1}{4}$' '$\\\\frac{1}{2}$' '$\\\\frac{1}{4}$']\n   x_expand : cos(8*pi*t)\/2 + 1\/2\n   freq_max : 4.0\n   freq_min : 4.0\n   BW : 0.0<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>la gr\u00e1fica es:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/espectroSenalesOper5_elevadoCuadrado.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"557\" height=\"440\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/espectroSenalesOper5_elevadoCuadrado.png\" alt=\"espectroSenales Operaci\u00f3n elevado Cuadrado\" class=\"wp-image-210\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p>bloque de Ingreso:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># INGRESO<\/span>\nx1 = sym.cos(4*pi*t)\nx2 = x1**2\n<span style=\"color: #ff0000\"># Para espectro de frecuencias y fasores<\/span>\nx_senales = &#091;x1,x2]\nx_etiqueta = &#091;<span style=\"color: #008000\">'x(t)'<\/span>,<span style=\"color: #008000\">'(x(t))^2'<\/span>]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#periodo0\">periodo fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#frecuencia0\">frecuencia fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#senalexponente\">se\u00f1al a exponente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"frecuencia0\">2. Frecuencia fundamental con m\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h2>\n\n\n\n<p>La frecuencia fundamental es el entero F<sub>0<\/sub> m\u00e1s grande, tal que f<sub>k<\/sub> = k F<sub>0<\/sub>. Se puede obtener con la instrucci\u00f3n de Numpy:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&gt;&gt;&gt; import numpy as np\n&gt;&gt;&gt; freq = &#091;12,20,60]\n&gt;&gt;&gt; np.gcd.reduce(freq)\n4\n&gt;&gt;&gt;<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>de donde se interpreta que la frecuencia fundamental para 12,20 y 60 Hz se pueden crear a partir de 4 Hz.<\/p>\n\n\n\n<p>12 Hz es la 3ra arm\u00f3nica,<br>20 Hz es la 5ta arm\u00f3nica,<br>60 Hz es la 15ta arm\u00f3nica.<\/p>\n\n\n\n<p>Recuerde que la operaci\u00f3n gcd se realiza con n\u00fameros enteros, en el caso de tener decimales, hay que multiplicar las frecuencias por 10, 100,1000 que conviertan las frecuencias a ser analizadas a n\u00fameros enteros.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#periodo0\">periodo fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#frecuencia0\">frecuencia fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#senalexponente\">se\u00f1al a exponente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"senalexponente\">3. Ejercicio, seno al cubo<\/h2>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 3.4.2 p91<\/p>\n\n\n\n<p>Observe el resultado del ejercicio anterior sobre coseno al cuadrado.<br>Ahora desarrolle el ejercicio para seno al cubo y observe la frecuencia fundamental F<sub>0<\/sub>.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) = \\sin^3(4\\pi t) <\/span>\n\n\n\n<p>Elevar a una potencia una funci\u00f3n peri\u00f3dica genera otra funci\u00f3n peri\u00f3dica con el mismo o menor periodo.<\/p>\n\n\n\n<p>La expansi\u00f3n en exponenciales usando Euler para el ejercicio muestra los componentes para el espectro de frecuencias:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) = \\frac{3 j}{8}(-j \\sin(4\\pi t) + \\cos(4 \\pi t)) + \\frac{-3j}{8}(j \\sin(4\\pi t) + cos(4\\pi t)) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> + \\frac{-j}{8}(-j \\sin(12\\pi t) + \\cos(12 \\pi t)) + \\frac{j}{8}(j \\sin(12 \\pi t) + \\cos(12 \\pi t)) <\/span>\n\n\n\n<p>Las frecuencias resultantes muestran que se tienen la 1ra y 3ra <strong>arm\u00f3nicas<\/strong> de la frecuencia fundamental de 2 Hz. Los coeficientes de la expresi\u00f3n en t\u00e9rminos k de arm\u00f3nicas son:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>a<sub>k<\/sub><\/td><td>cuando<\/td><\/tr><tr><td>0<\/td><td>k = 0<\/td><\/tr><tr><td>-\/+ j 3\/8<\/td><td>k = \u00b11<\/td><\/tr><tr><td>0<\/td><td>k = \u00b12<\/td><\/tr><tr><td>\u00b1 j 1\/8<\/td><td>k = \u00b13<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>que se pueden observar en el espectro de frecuencias.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>x_senales: \nsenal:   sin(4*pi*t)\n  espectro:\n   freq : &#091;-2.  2.]\n   ampl : &#091;1\/2 1\/2]\n   fase : &#091;pi\/2 -pi\/2]\n   etiq : &#091;'$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{2})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{2})$']\n   x_expand : I*(-I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))\/2 - I*(I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))\/2\n   freq_max : 2.0\n   freq_min : 2.0\n   BW : 0.0\nsenal:   sin(4*pi*t)**3\n  espectro:\n   freq : &#091;-6. -2.  2.  6.]\n   ampl : &#091;1\/8 3\/8 3\/8 1\/8]\n   fase : &#091;-pi\/2 pi\/2 -pi\/2 pi\/2]\n   etiq : &#091;'$\\\\frac{1}{8}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{2})$'\n '$\\\\frac{3}{8}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{2})$'\n '$\\\\frac{3}{8}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{2})$'\n '$\\\\frac{1}{8}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{2})$']\n   x_expand : 3*I*(-I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))\/8 - 3*I*(I*sin(4*pi*t) + cos(4*pi*t))\/8 - I*(-I*sin(12*pi*t) + cos(12*pi*t))\/8 + I*(I*sin(12*pi*t) + cos(12*pi*t))\/8\n   freq_max : 6.0\n   freq_min : 2.0\n   BW : 4.0<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>se observa que la frecuencia fundamental en ambos casos es 2Hz<\/p>\n\n\n\n<p>gr\u00e1fica de espectro de frecuencias<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"558\" height=\"439\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectroSenalesOper6_elevadoCubo.png\" alt=\"espectro Se\u00f1ales Operaci\u00f3n elevado Cubo\" class=\"wp-image-20573\" \/><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#periodo0\">periodo fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#frecuencia0\">frecuencia fundamental<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#senalexponente\">se\u00f1al a exponente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>periodo fundamental frecuencia fundamental se\u00f1al a exponente 1. 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