DFT:<\/p>\n\n\n\n
\u03b4<\/a>(t) unitario<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n et<\/sup> complejo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n La DFT es una versi\u00f3n discreta del espectro de frecuencias de tipo X(ej\u03c9<\/sup> ) que es cont\u00ednua y conocida como DTFT. Se puede construir pares de DFT haciendo la sustituci\u00f3n \u03c9=(2\u03c0\/N)\/k en un par DTFT<\/p>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 8.1.2.1 p306. Transformada de Fourier \u2013 Se\u00f1ales aperi\u00f3dicas continuas<\/a><\/p>\n\n\n\n Tomando la DFT de x[n] =\u03b4[n], la sumatoria de DFT se simplifica a un t\u00e9rmino<\/p>\n\n\n X[k] = \\sum_{n=0}^{N-1} \\delta [n] e^{-j(2\\pi k\/N)n} <\/span>\n\n\n = \\delta [0] e^{-j(2\\pi k\/N)(0)} + \\sum_{n=1}^{N-1} \\cancel{\\delta [n]} e^{-j(2\\pi k\/N)n} <\/span>\n\n\n = \\delta [0] (1) + 0 = 1 <\/span>\n\n\n\n Usando la respuesta anterior, para x[n] = \u03b4[n-nd<\/sub>]m se puede escribir<\/p>\n\n\n X[k] = \\delta [n_d] e^{-j(2\\pi k\/N)n_d} = e^{-j\\omega n_d}<\/span>\n\n\n \\delta [n-n_d] \\leftrightarrow e^{-j\\omega n_d}<\/span>\n\n\n\n Se crea a partir de una funci\u00f3n rectangular con ancho igual al tama\u00f1o de paso.<\/p>\n\n\n\n DFT:<\/p>\n\n\n\n \u03b4<\/a>(t) unitario<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n et<\/sup> complejo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Transformada de Fourier \u2013 Se\u00f1ales aperi\u00f3dicas continuas<\/a><\/p>\n\n\n\n Para un pulso rectangular en el domino de tiempo discreto, expresado como:<\/p>\n\n\n r [n] = \\begin {cases} 1 & 0\\leq n \\leq L-1 \\\\ 0 & L \\leq n \\leq N-1 \\end {cases} <\/span>\n\n\n\n La DFT tiene un t\u00e9rmino de la forma<\/p>\n\n\n R_L[k] = R_L \\Big( e^{j\\omega} \\Big) <\/span>\n\n\n = \\frac{\\sin \\Big( \\frac{1}{2} L(2\\pi k\/N)\\Big)}{\\sin \\Big( \\frac{1}{2} (2\\pi k\/N)\\Big)} e^{-j(2 \\pi k\/N)(L-1)\/2}<\/span>\n\n\n\n Se crea a partir de una funci\u00f3n rectangular con ancho igual a la mitad de un periodo.<\/p>\n\n\n\n DFT:<\/p>\n\n\n\n \u03b4<\/a>(t) unitario<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n et<\/sup> complejo<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Una se\u00f1al exponencial compleja de tama\u00f1o finito se expresa como<\/p>\n\n\n x [n] = r_L[n] e^{j \\omega_0 n}= \\begin {cases} e^{j\\omega_0 n} & 0\\leq n \\leq L-1 \\\\ 0 & L \\leq n \\leq N-1 \\end {cases} <\/span>\n\n\n\n La DFT tiene un t\u00e9rmino de la forma<\/p>\n\n\n X[k] = R_L \\Big( e^{j\\omega-\\omega_0} \\Big) <\/span>\n\n\n = \\frac{\\sin \\Big( \\frac{1}{2} L(2\\pi k\/N - \\omega_0)\\Big)}{\\sin \\Big( \\frac{1}{2} (2\\pi k\/N- \\omega_0)\\Big)} e^{-j(2 \\pi k\/N- \\omega_0)(L-1)\/2}<\/span>\n\n\n\n expresi\u00f3n que tambi\u00e9n se representa en t\u00e9rminos de Dirichlet<\/p>\n\n\n X[k] = D_L(2\\pi k\/N - \\omega_0) e^{-j(2 \\pi k\/N- \\omega_0)(L-1)\/2}<\/span>\n\n\n\n Dado que el exponencial solo contribuye a la fase, el resultado muestra que la magnitud depende solo del termino DL<\/sub><\/p>\n\n\n\n La DFT es muy simple cuando la frecuencia de la se\u00f1al exponencial es un m\u00faltiplo entero de 2\u03c0\/N y la cantidad de muestras DFT son iguales a la cantidad de muestras de la se\u00f1al N=L.<\/p>\n\n\n X[k] = N \\delta [k-k_0] <\/span>\n\n\n\n Para N=2L, la gr\u00e1fica adquiere mayor resoluci\u00f3n en el dominio de la frecuencia, donde se requiere completar los puntos L para que sean iguales a N y realizar el c\u00e1lculo de fft.<\/p>\n\n\n\n Se crea a partir de una funci\u00f3n exponencial multiplicada por una rectangular con ancho igual a un periodo. Para la gr\u00e1fica se considera solo la parte real de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n DFT:<\/p>\n\n\n\n \u03b4<\/a>(t) unitario<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n et<\/sup> complejo<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. DFT de un impulso unitario desplazado<\/h2>\n\n\n\n
![\"fft](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/fft_impulsounitario_NL.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n# INGRESO<\/span>\nL = 50 # Tramos en un periodo<\/span>\n\n# se\u00f1al es impulso unitario peri\u00f3dico d[n], rectangular ancho \"peque\u00f1o\"<\/span>\nf0 = 0.2 # frecuencia fundamental de se\u00f1al<\/span>\nancho = 1\/f0\/L # ancho del impulso rectangular<\/span>\nn0 = 0.5 # desplazamiento en tiempo<\/span>\nxt = lambda<\/span> n: np.heaviside(n-n0,1)-np.heaviside(n-n0-ancho,1)\n\n# para DFT<\/span>\nN = 1*L # N par mayor que L, tramos DFT, FFT<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. DFT de un pulso rectangular<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/fft_rectangular_NL.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n# INGRESO<\/span>\nL = 50 # Tramos en un periodo<\/span>\n\n# se\u00f1al es rectangular peri\u00f3dico rect[n]<\/span>\nf0 = 0.2 # frecuencia fundamental de se\u00f1al<\/span>\nancho = 0.5*(1\/f0) # ancho del impulso rectangular<\/span>\nxt = lambda<\/span> t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-ancho,1)\n\n# para DFT<\/span>\nN = 1*L # N par mayor que L, tramos DFT<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. DFT de un exponencial complejo<\/h2>\n\n\n\n
![\"fft](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/fft_exp_complex_NL.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"fft](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/12\/fft_exp_complex_N2L.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n# INGRESO<\/span>\nL = 20 # Tramos en un periodo<\/span>\n\n# se\u00f1al es exponencial complejo peri\u00f3dico<\/span>\nf0 = 0.2 # frecuencia fundamental de se\u00f1al<\/span>\nancho = 1*(1\/f0) # ancho del impulso rectangular<\/span>\nrect = lambda<\/span> t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-ancho,1)\nxt = lambda<\/span> t: rect(t)*np.exp(1j*2*np.pi*f0*t)\n\n# para DFT<\/span>\nN = 2*L # N par mayor que L, tramos DFT<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n