Cuadratura Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo 2pts<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n Tabla<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo npts<\/a> Referencia<\/strong>: Chapra 22.3 p655, Rodr\u00edguez 7.3 p294, Burden 4.7 p168<\/p>\n\n\n\n La cuadratura de Gauss aproxima el integral de una funci\u00f3n en un intervalo [a,b] centrado en cero mediante un c\u00e1lculo num\u00e9rico con menos operaciones y evaluaciones de la funci\u00f3n. Se representa como una suma ponderada:<\/p>\n\n\n\nI \\cong \\Big( \\frac{b-a}{2} \\Big) \\Big( c_0 f(x_a) + c_1 f(x_b)\\Big) <\/span>\n\n\n\n para la f\u00f3rmula de dos puntos con referencia a una funci\u00f3n centrada en cero y ancho unitario a cada lado, se tiene:<\/p>\n\n\n\n c_0 = c_1 = 1, x_0 = -\\frac{1}{\\sqrt{3}}, x_1 = \\frac{1}{\\sqrt{3}} <\/span>\n\n\n\n Para un intervalo de evaluaci\u00f3n desplazado en el eje x<\/strong> se requiere convertir los puntos al nuevo intervalo. Se desplaza el punto cero al centro del intervalo [a,b] y se corrige el desplazamiento hacia la izquierda y derecha del centro con x0<\/sub> y x1<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n\n I \\cong \\frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b)) <\/span>\n\n\n\n cuya f\u00f3rmula es semejante a una mejor aproximaci\u00f3n de un trapecio, cuyos promedios de alturas son puntos internos de [a,b], concepto mostrado en la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n Cuadratura Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo 2pts<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n Tabla<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo npts<\/a> Para el ejercicio y comparaci\u00f3n de resultado con los otros m\u00e9todos, se realiza el c\u00e1lculo para un tramo en el intervalo [a,b].<\/p>\n\n\n\n \\int_1^3 \\sqrt{x} \\sin(x) dx <\/span>\n\n\n\n x_a = \\frac{3+1}{2} - \\frac{3-1}{2}\\Big(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\Big)= 1.4226 <\/span>\n\n\n\n x_b = \\frac{3+1}{2} + \\frac{3-1}{2}\\Big(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\Big) = 2.5773 <\/span>\n\n\n\n f(1.4226) = \\sqrt{1.4226} \\sin(1.4226) = 1.1796 <\/span>\n\n\n\n f(2.5773) = \\sqrt{2.5773} \\sin(2.5773) = 0.8585 <\/span>\n\n\n\n con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n\n I \\cong \\frac{3-1}{2}(1.1796 + 0.8585) = 2.0382 <\/span>\n\n\n\n que usando instrucciones de Python para obtener los valores:<\/p>\n\n\n\n el resultado se puede mejorar aumentando el n\u00famero de tramos en el intervalo [a,b]. Por ejemplo, el resultado usando 4 tramos<\/strong> el resultado es semejante al usar el m\u00e9todo del trapecio con 128 tramos, lo que muestra el ahorro en c\u00e1lculos entre los m\u00e9todos<\/p>\n\n\n\n Concepto:<\/p>\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Cuadratura de Gauss<\/h2>\n\n\n\n
![\"cuadratura](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/cuadraturagauss2pts_01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"cuadratura](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/cuadraturagaussxab_ani.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n x_a = \\frac{b+a}{2} - \\frac{b-a}{2}\\Big(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\Big) <\/span>\n\n\n\n x_b = \\frac{b+a}{2} + \\frac{b-a}{2}\\Big(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\Big) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
>>> import numpy as np\n>>> (3+1)\/2-(3-1)\/2*(1\/np.sqrt(3))\n1.4226497308103743\n>>> (3+1)\/2+(3-1)\/2*(1\/np.sqrt(3))\n2.5773502691896257\n>>> fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\n>>> fx(1.4226)\n1.1796544827404145\n>>> fx(2.5773)\n0.8585957175067221\n>>> ((3-1)\/2)*(fx(1.4226)+fx(2.5773))\n2.0382<\/code><\/pre>\n\n\n\nIntegral: 2.05357719003\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n