{"id":1860,"date":"2017-08-08T09:25:30","date_gmt":"2017-08-08T14:25:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1860"},"modified":"2026-03-13T02:49:31","modified_gmt":"2026-03-13T07:49:31","slug":"diferenciacion-numerica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u05\/diferenciacion-numerica\/","title":{"rendered":"5.7 Diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n

hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Diferencias Divididas<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Chapra 23.1 p668, Rodr\u00edguez 8.2 p324<\/p>\n\n\n\n

La diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica aproxima la derivada f'(x) utilizando muestras xi<\/sub> alrededor del punto de inter\u00e9s que se encuentran a distancia h<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"diferenciaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

Se pueden generar f\u00f3rmulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando t\u00e9rminos adicionales en la expansi\u00f3n de la serie de Taylor. Como referencia, el polinomio de Taylor muestra una aproximaci\u00f3n de una funci\u00f3n f<\/strong>(x<\/strong>) em el punto x0<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n P_{n}(x) = f(x_0)+\\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) +<\/span>\n\n\n\n + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... <\/span>\n\n\n\n

de donde se obtiene la aproximaci\u00f3n de las derivadas, al seleccionar la cantidad de t\u00e9rminos y despejar, como se mostrar\u00e1 a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n

hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Primera Derivada con Diferencias divididas hacia adelante<\/h2>\n\n\n\n

Una aproximaci\u00f3n a primera derivada, usa los primeros dos t\u00e9rminos del polinomio de Taylor alrededor de x<\/strong>i<\/sub> en para un punto a la derecha x<\/strong>i+1<\/sub> a una distancia h<\/strong> = x<\/strong>i+1<\/sub>-x<\/strong>i<\/sub><\/p>\n\n\n\n

\"diferenciaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n f(x_{i+1}) = f(x_i)+\\frac{f'(x_i)}{1!} (h) + \\frac{f''(x_i)}{2!}(h)^2 + ...<\/span>\n\n\n\n

se puede simplificar en un polinomio de grado uno y un t\u00e9rmino de error:<\/p>\n\n\n\nf_{i+1} = f_i + (h)f'_i + O(h^2) ... <\/span>\n\n\n\n

Despejando la expresi\u00f3n para f'i<\/sub><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\nf'_i = \\frac{f_{i+1}-f_i}{h} = \\frac{\\Delta f_i}{h}<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n

La expresi\u00f3n tambi\u00e9n es la primera diferencia finita dividida con un error del orden O<\/strong>(h<\/strong>). (tema usado en interpolaci\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n

Revise que el t\u00e9rmino de la expresi\u00f3n queda O<\/strong>(h<\/strong>2<\/sup>)\/h con lo que se disminuye el exponente en uno.<\/p>\n\n\n\n

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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n

hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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3. Primera derivada con diferencias divididas centradas<\/h2>\n\n\n\n

Se realiza el mismo procedimiento que el anterior, usando un punto x<\/strong>i+1<\/sub> y x<\/strong>i-1<\/sub> alrededor de x<\/strong>i<\/sub>. En el t\u00e9rmino x<\/strong>i-1<\/sub> el valor de h<\/strong> es negativo al invertir el orden de la resta.<\/p>\n\n\n\n

\"diferenciaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\nf_{i+1} = f_i+\\frac{f'_i}{1!}(h) + \\frac{f''_i}{2!}(h)^2 + O(h^3) ...<\/span>\n\n\n\nf_{i-1} = f_i-\\frac{f'_i}{1!}(h) + \\frac{f''_i}{2!}(h)^2 <\/span>\n\n\n\n

restando la ecuaciones se tiene que<\/p>\n\n\n\nf_{i+1} - f_{i-1} = (h)f'_i +(h)f'_i <\/span>\n\n\n\nf_{i+1} - f_{i-1} = 2h f'_i <\/span>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n de primera derivada usando un punto antes y otro despu\u00e9s del punto central queda como:<\/p>\n\n\n\nf'_i = \\frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h} <\/span>\n\n\n\n

con un error del orden O<\/strong>(h<\/strong>2<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n

hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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4. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

Compara las diferencias divididas hacia adelante, centro y atr\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n

El punto xk para la derivada se encuentra en la posici\u00f3n i<\/strong> , de d\u00f3nde se toman para el c\u00e1lculo los puntos xi  hacia la izquierda o derecha .<\/p>\n\n\n\n

Se requieren al menos 2 tramos para usar las f\u00f3rmulas, para disponer de un valor de h dentro del intervalo.<\/p>\n\n\n\n

Para observar el error en la gr\u00e1fica, se incorpora f'(x) obtenida de forma anal\u00edtica como referencia en el ejercicio.<\/p>\n\n\n\n

El resultado del algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n

diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica:\nen xk: 1.5 \t, h: 0.5\n   tramos: 4\n[  dfx\/dx,  valor,  error]\n['df_anal\u00edtica', 0.4938606479864909, 0]\n['df_atras', 0.7604117685484817, 0.2665511205619908]\n['df_centro', 0.4444697684399397, -0.04939087954655119]\n['df_adelante', 0.12852776833139767, -0.3653328796550932]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n
\n# Diferenciaci\u00f3n Num\u00e9rica - 1ra Derivada\n# Compara con diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\ndfx = lambda x: np.sin(x)\/(2*np.sqrt(x))+ np.sqrt(x)*np.cos(x)\nxk = 1.5 # punto derivada\n\na = 1  # intervalo de observaci\u00f3n\nb = 3\ntramos = 64 # >=2, al menos 2 tramos \n\n# PROCEDIMIENTO\n# revisa valores, Tarea: incluir en algoritmo\ncond1 = a<b\ncond2 = a<xk and xk<b\ncond3 = tramos>=2\nif not(cond1):\n    print('a>b, no es ascendente')\nif not(cond2):\n    print('ak fuera de intervalo [a,b]')\nif not(cond3):\n    print('tramos deben ser al menos 2')\n    \n# tramo menor hacia atras y adelante\ndx_atras = abs(xk-a) # xk hacia atras intervalo\ndx_adelante = abs(xk-b) # xk hacia frente intervalo\ndx_min = min(dx_atras,dx_adelante)\n\nh_tramo = (b-a)\/tramos\nh = min(h_tramo,dx_min)\n\nxi_atras = np.sort(np.arange(xk,a-h\/2,-h))\nxi_adelante = np.arange(xk,b+h\/2,h)\nxi = np.concatenate((xi_atras,xi_adelante[1:]),axis=0)\n\ni = len(xi_atras)-1\n# puntos de muestras\nfi = fx(xi)\ntabla = [] # tangentes a xi[i]\n\n# derivada anal\u00edtica, como referencia\ndfi = dfx(xi[i])\npx = lambda x: fi[i] + dfi*(x-xi[i])\npxi = px(xi)\ntabla.append(['df_anal\u00edtica',dfi,0,pxi,px])\n\n# hacia Atras, diferencias divididas\ndf1_atras = (fi[i]-fi[i-1])\/h\npx = lambda x: fi[i] + df1_atras*(x-xi[i])\npxi = px(xi)\nerrado = df1_atras - dfi\ntabla.append(['df_atras',df1_atras,errado,pxi,px])\n\n# Centro, diferencias divididas\ndf1_centro = (fi[i+1]-fi[i-1])\/(2*h)\npx = lambda x: fi[i] + df1_centro*(x-xi[i])\npxi = px(xi)\nerrado = df1_centro - dfi\ntabla.append(['df_centro',df1_centro,errado,pxi,px])\n\n# hacia Adelante, diferencias divididas\ndf1_adelante = (fi[i+1]-fi[i])\/h\npx = lambda x: fi[i] + df1_adelante*(x-xi[i])\npxi = px(xi)\nerrado = df1_adelante - dfi\ntabla.append(['df_adelante',df1_adelante,errado,pxi,px])\n\n# SALIDA\nprint('diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica:')\nprint('en xk:',xk,'\\t, h:',h,)\nprint('   tramos:', tramos)\nprint('[  dfx\/dx,  valor,  error]')\nfor unadifdiv in tabla:\n    print(unadifdiv[0:3])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n
hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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5. Gr\u00e1ficas en Python<\/h2>\n\n\n\n
\"diferenciaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
Se complementa el algoritmo anterior con las siguientes instrucciones.<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA  --------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\ntxt = 'Diferenciaci\u00f3n Num\u00e9rica'\ntxt = txt + ', xi:'+str(xk)\ntxt = txt + ', tramos:'+str(tramos)\ntitulo = txt + ', h:'+str(h)\n\n# fx suave aumentando muestras\nmuestrasfxSuave = tramos*10 + 1\nxk = np.linspace(a,b,muestrasfxSuave)\nfk = fx(xk)\n\n# Graficar f(x), puntos\nplt.ylim(min(fk),max(fk)*1.5)\nplt.plot(xk,fk, label ='f(x)',linestyle='dotted')\nif tramos<64:\n    plt.plot(xi,fi, 'o') # muestras\n\nfor unadifdiv in tabla: # tangentes a xi[i]\n    linea = 'dashed'\n    if unadifdiv[0]=='df_anal\u00edtica':\n        linea = 'solid'\n    plt.plot(xi,unadifdiv[3],label=unadifdiv[0],\n             linestyle=linea)\n\nplt.plot(xi[i],fi[i],'ro') # punto i observado\n\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('f(xi)')\nplt.title(titulo)\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n
hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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6.Segundas derivadas<\/h2>\n\n\n\n
Al continuar con el procedimiento mostrado se pueden obtener las f\u00f3rmulas para segundas derivadas, las que se resumen en las tablas de F\u00f3rmulas de diferenciaci\u00f3n por diferencias divididas.<\/p>\n\n\n\n
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Diferencias Divididas<\/a><\/p>\n\n\n\n
hacia adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
centradas<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Diferencias Divididas hacia adelante centradas algoritmo gr\u00e1fica 1. Diferencias Divididas Referencia: Chapra 23.1 p668, Rodr\u00edguez 8.2 p324 La diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica aproxima la derivada f'(x) utilizando muestras xi alrededor del punto de inter\u00e9s que se encuentran a distancia h. Se pueden generar f\u00f3rmulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando t\u00e9rminos adicionales en la expansi\u00f3n de […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[39],"tags":[],"class_list":["post-1860","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-u05"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1860","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1860"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1860\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":22889,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1860\/revisions\/22889"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1860"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1860"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1860"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}