{"id":190,"date":"2017-04-07T09:40:20","date_gmt":"2017-04-07T14:40:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/fiec05058\/?p=190"},"modified":"2026-04-05T22:41:41","modified_gmt":"2026-04-06T03:41:41","slug":"lti-ct-respuesta-a-impulso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u03\/lti-ct-respuesta-a-impulso\/","title":{"rendered":"3.3 LTI CT - Respuesta a impulso unitario h(t) - Desarrollo anal\u00edtico"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Respuesta h(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

emparejar impulsos<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t) 2do orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Respuesta a impulso unitario<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Lathi 2.3 p163, Ejemplo 2.4 p159, Oppenheim problema 2.2.2 p97, Hsu 2.5.E p61<\/p>\n\n\n\n

\"C\u00e1mara<\/figure>\n\n\n\n

La respuesta de un sistema al impulso h<\/strong>(t), se obtiene al aplicar un impulso unitario \u03b4(t) en la entrada x(t), semejante a un destello durante un tiempo muy peque\u00f1o.<\/p>\n\n\n\n

El impulso es semejante a tomar una foto con flash en una habitaci\u00f3n oscura, con todo tranquilo, sin movimientos. Luego del flash, a pesar que ya no exista m\u00e1s la luz, todos las personas o seres vivos reaccionan al destello de luz durante un tiempo y visualizaron el contenido de la habitaci\u00f3n, \u00e9sta es la respuesta al impulso del sistema<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n

La respuesta del sistema se puede conformar como la suma de una se\u00f1al cont\u00ednua generada mediante una secuencia de impulsos cuando el tiempo entre impulsos tiende a cero (dt\u21920).<\/p>\n\n\n\n

Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong><\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong><\/mark><\/td><\/tr>
 <\/td> <\/td> <\/td> <\/td>ZSR<\/mark> = h(t)<\/span><\/strong> \u2297 x(t)<\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n

Respuesta h(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

emparejar impulsos<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t) 2do orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Respuesta a impulso h(t): Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Un sistema de orden 2 se describe con la expresi\u00f3n de operadores D como:<\/p>\n\n\n Q(D)y(t) = P(D) x(t) <\/span>\n\n\n (a_0 D^2+a_1 D + a_2)y(t)=(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) x (t) <\/span>\n\n\n\n

para disminuir la cantidad de variables se hace a0<\/sub>=1, al dividir la ecuaci\u00f3n en ambos lados para a0<\/sub>. El resultado como a\u00fan tiene variables desconocidas, se mantiene la nomenclatura, que de forma simplificada se presenta como:<\/p>\n\n\n ( D^2+a_1 D + a_2)y(t)=(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) x (t) <\/span>\n\n\n\n

La respuesta<\/strong> de un sistema al impulso<\/strong> unitario \u03b4(t) aplicada en t=0, con todas las condiciones iniciales en cero<\/strong><\/em> en t=0-, se conoce como h<\/strong>(t<\/strong>).<\/p>\n\n\n (D^2+a_1 D + a_2)h(t)=(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) \\delta (t) <\/span>\n\n\n\n

\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n

Para el an\u00e1lisis se consideran dos intervalos:<\/p>\n\n\n\n

- Para t\u22650+<\/strong> donde x(t)=0, cuya respuesta es conocida como los t\u00e9rminos de modos caracter\u00edsticos o respuesta homog\u00e9nea desarrollada en respuesta entrada cero ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n (D^2+a_1 D + a_2)h(t)=0, t \\ge 0 <\/span>\n\n\n\n

h(t) = t\u00e9rminos de modos caracter\u00edsticos<\/p>\n\n\n\n

- Para t=0<\/strong> donde existe x(t)=\u03b4(t), que suma a la respuesta anterior una constante A0<\/sub> por un impulso.<\/p>\n\n\n\n

h(t) = (t\u00e9rminos de modos caracter\u00edsticos) + A0<\/sub> \u03b4(t)<\/p>\n\n\n\n

que al insertar esta ecuaci\u00f3n en la expresi\u00f3n original tenemos:<\/p>\n\n\n (D^2+a_1 D + a_2)(A_0 \\delta(t) + \\text{terminos modos caracteristicos}) = <\/span>\n\n\n =(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) \\delta (t) <\/span>\n\n\n\n

que al multiplicar la parte de la izquierda, y comparando t\u00e9rminos de ambos lados se determina que A0<\/sub> = b0<\/sub><\/p>\n\n\n\n

que es como expresar<\/p>\n\n\n h(t) = b_0 \\delta (t) + \\text{modos caracteristicos} <\/span>\n\n\n\n

y si el orden del lado derecho M es menor que el del izquierdo N, b0<\/sub>=0.<\/p>\n\n\n h(t)=b_0 \\delta (t)+ [P(D)y_n (t)] \\mu (t)<\/span>\n\n\n\n

Revisar<\/strong> <\/em>Lathi 2.3 pdf 163 para una descripci\u00f3n m\u00e1s detallada del m\u00e9todo.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Respuesta h(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

emparejar impulsos<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t) 2do orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

3. M\u00e9todo simplificado al emparejar impulsos<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.3 p165<\/p>\n\n\n\n

El m\u00e9todo permite reducir el procedimiento para determinar h(t) de un sistema LTIC.<\/p>\n\n\n h(t) = b_0 \\delta (t) + [P(D) y_n(t)] \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

donde yn<\/sub>(t) es una combinaci\u00f3n de modos caracter\u00edsticos del sistema sujeto a las condiciones iniciales siguientes:<\/p>\n\n\n y_n(0) = y'_n(0) = y''_n(0) = y_n^{(N-2)}(0) = 0 <\/span>\n\n\n y_n^{(N-1)}(0) = 1 <\/span>\n\n\n\n

Donde y(k)<\/sup>n<\/sub>(0) es el valor de la k-\u00e9sima derivada de yn<\/sub>(t) para t=0.<\/p>\n\n\n\n

Si orden de P(D) es menor que el orden de Q(D) entonces b0<\/sub>=0 y el t\u00e9rmino del impulso b0<\/sub>\u03b4(t) en h(t) es cero.<\/p>\n\n\n\n

N = 1<\/td>yn<\/sub>(0) = 1<\/td><\/tr>
N = 2<\/td>yn<\/sub>(0) = 0, y'n<\/sub>(0) = 1<\/td><\/tr>
N = 3<\/td>yn<\/sub>(0) = 0, y'n<\/sub>(0) = 0, y\"<\/code>n<\/sub>(0) = 1<\/td><\/tr>
N = 4<\/td>...<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n

Respuesta h(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

emparejar impulsos<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t) 2do orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

4. Ejemplo:Respuesta al impulso de una ecuaci\u00f3n diferencial lineal de 2do orden<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Lathi Ejemplo 2.6 p166, Oppenheim 2.2.2 p94<\/p>\n\n\n\n

Un sistema se describe con la ecuaci\u00f3n mostrada y se pide determinar la respuesta al impulso unitario h(t).<\/p>\n\n\n ( D^2 + 3D +2 ) y(t) = Dx(t) <\/span>\n\n\n ( D^2 + 3D +2 ) y(t) = (D+0)x(t) <\/span>\n\n\n\n

Desarrollo Anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n

Semejante al an\u00e1lisis realizado para respuesta a entrada cero ZIR<\/a>, el problema tiene un sistema se segundo orden con polinomio caracter\u00edstico:<\/p>\n\n\n \\lambda ^2 + 3\\lambda +2 = (\\lambda +1)(\\lambda + 2) <\/span>\n\n\n\n

Ra\u00edces caracter\u00edsticas<\/th>Modos caracter\u00edsticos<\/th><\/tr><\/thead>
\u03bb1<\/sub> = -1<\/td>e-t<\/sup><\/td><\/tr>
\u03bb2<\/sub> = -2<\/td>e-2t<\/sup><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

con lo que la soluci\u00f3n general<\/strong> tienen la forma:<\/p>\n\n\n y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n

se toman las condiciones iniciales de la tabla del m\u00e9todo simplificado para emparejar impulsos para N=2, por ser un sistema de segundo orden<\/p>\n\n\n\n

y(0) = 0 , y'(0) = 1<\/p>\n\n\n\n

y se aplican en la soluci\u00f3n general:<\/p>\n\n\n y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} <\/span>\n\n\n y'_0 (t)= -c_1 e^{-t} -2c_2 e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n

al sustituir los valores iniciales en la soluci\u00f3n general con t=0, se obtienen los valores de las constantes,<\/p>\n\n\n\n

0 =  c1<\/sub> + c2<\/sub> \n1 = -c1<\/sub> - 2c2<\/sub> \n\nc1<\/sub> = 1 \nc2<\/sub> = -1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
obteniendo como soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n homog\u00e9nea:<\/p>\n\n\n y_n (t) = 1 e^{-t} - 1e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n
De la ecuaci\u00f3n del problema, se tiene que del lado derecho de la ecuaci\u00f3n, P(D)=D, entonces:<\/p>\n\n\n P(D)y_n (t) = Dy_n (t) <\/span>\n\n\n = y'_n (t) = -e^{-t} + 2e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n
Dado el caso que en la ecuaci\u00f3n, el orden de la derivadas de la derecha M es menor que el orden de derivadas de la izquierda N, (N>M), el t\u00e9rmino de segundo orden no se encuentra en P(D), entonces: b0<\/sub>=0<\/p>\n\n\n h(t) = b_0 \\delta (t) + [P(D) y_n(t)] \\mu (t) <\/span>\n\n\n h(t)= 0\\delta (t) + [-e^{-t} + 2e^{-2t}] \\mu (t)<\/span>\n\n\n h(t)= (-e^{-t} + 2e^{-2t})\\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
\"LTIC<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Respuesta h(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
emparejar impulsos<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t) 2do orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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