{"id":1959,"date":"2017-09-04T09:15:19","date_gmt":"2017-09-04T14:15:19","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1959"},"modified":"2026-03-07T09:12:30","modified_gmt":"2026-03-07T14:12:30","slug":"runge-kutta-4to-orden-dy-dx","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u06\/runge-kutta-4to-orden-dy-dx\/","title":{"rendered":"6.2.1 EDO dy\/dx, Runge-Kutta 4to Orden con Python"},"content":{"rendered":"\n
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Runge Kutta 4to Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a> en video<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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1. EDO  \\frac{\\delta y}{\\delta x}<\/span> Runge-Kutta 4to Orden<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Chapra 25.3.3 p746, Rodr\u00edguez 9.1.8 p358<\/p>\n\n\n\n

\"EDO<\/figure>\n\n\n\n

Para una ecuaci\u00f3n diferencial de primera derivada (primer orden) con una condici\u00f3n de inicio:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta y}{\\delta x} + etc =0 <\/span>\n\n\n y'(x) = f(x_i,y_i)<\/span>\n\n\n y(x_0) = y_0 <\/span>\n\n\n\n

La f\u00f3rmula de Runge-Kutta de 4to orden<\/strong> realiza una correcci\u00f3n con 4 valores de K:<\/p>\n\n\n y_{i+1} = y_i + \\frac{K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4}{6} <\/span>\n\n\n\n

debe ser equivalente a la serie de Taylor de 5 t\u00e9rminos:<\/p>\n\n\n y_{i+1} = y_i + h f(x_i,y_i) + <\/span>\n\n\n + \\frac{h^2}{2!} f'(x_i,y_i) + \\frac{h^3}{3!} f''(x_i,y_i) + <\/span>\n\n\n +\\frac{h^4}{4!} f'''(x_i,y_i) + O(h^5)<\/span>\n\n\n x_{i+1} = x_i + h<\/span>\n\n\n\n

Runge-Kutta 4do Orden tiene error de truncamiento O(h5<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

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Runge Kutta 4to Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a> en video<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Para el desarrollo anal\u00edtico se tienen las siguientes expresiones para el ejercicio usado en Runge-Kutta de orden 2, que ahora ser\u00e1 con orden 4:<\/p>\n\n\n\n f(x,y) = y' = y -x^2 +x +1 <\/span>\n\n\n\n

Se usa las expresiones de Runge-Kutta en orden, K1 corresponde a una correcci\u00f3n de EDO con Taylor de dos t\u00e9rminos (m\u00e9todo de Euler). K2 considera el c\u00e1lculo a medio tama\u00f1o de paso m\u00e1s adelante.<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n K_1 = h f(x_i,y_i) = 0.1 (y_i -x_i^2 +x_i +1) <\/span>\n\n\n K_2 = h f\\Big(x_i+\\frac{h}{2}, y_i + \\frac{K_1}{2} \\Big) <\/span>\n\n\n K_2 = 0.1 \\Big(\\big(y_i+\\frac{K_1}{2}\\big) -\\big(x_i+\\frac{h}{2}\\big)^2 +\\big(x_i+\\frac{h}{2}\\big) +1 \\Big) <\/span>\n\n\n K_3 = h f\\Big(x_i+\\frac{h}{2}, y_i + \\frac{K_2}{2} \\Big) <\/span>\n\n\n K_3 = 0.1 \\Big(\\big(y_i+\\frac{K_2}{2}\\big) -\\big(x_i+\\frac{h}{2}\\big)^2 +\\big(x_i+\\frac{h}{2}\\big) +1 \\Big) <\/span>\n\n\n K_4 = h f(x_i+h, y_i + K_3 ) <\/span>\n\n\n K_4 = 0.1 \\Big((y_i+K_3) -(x_i+h)^2 +(x_i+h) +1 \\Big) <\/span>\n\n\n y_{i+1} = y_i + \\frac{K_1+2K_2+2K_3+K_4}{6} <\/span>\n\n\n x_{i+1} = x_i + h <\/span>\n\n\n\n

Las iteraciones se dejan como tarea<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Runge Kutta 4to Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a> en video<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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3. Algoritmo en Python como Funci\u00f3n<\/h2>\n\n\n
\ndef rungekutta4(d1y,x0,y0,h,muestras, vertabla=False, precision=6):\n    ''' solucion a EDO con Runge-Kutta 4do Orden primera derivada,\n        x0,y0 son valores iniciales, tama\u00f1o de paso h.\n        muestras es la cantidad de puntos a calcular.\n    '''\n    # Runge Kutta de 4do orden\n    tamano = muestras + 1\n    tabla = np.zeros(shape=(tamano,2+4),dtype=float)\n    \n    # incluye el punto [x0,y0,K1,K2,K3,K4]\n    tabla[0] = [x0,y0,0,0,0,0]\n    xi = x0\n    yi = y0\n    for i in range(1,tamano,1):\n        K1 = h * d1y(xi,yi)\n        K2 = h * d1y(xi+h\/2, yi + K1\/2)\n        K3 = h * d1y(xi+h\/2, yi + K2\/2)\n        K4 = h * d1y(xi+h, yi + K3)\n\n        yi = yi + (1\/6)*(K1+2*K2+2*K3 +K4)\n        xi = xi + h\n        \n        tabla[i] = [xi,yi,K1,K2,K3,K4]\n        \n    if vertabla==True:\n        np.set_printoptions(precision)\n        titulo = ' [xi,     yi,     K1,    K2,     K3,     K4 ]'\n        print(' EDO con Runge-Kutta 4do Orden primera derivada')\n        print(titulo)\n        print(tabla)\n    return(tabla)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Note que el m\u00e9todo de Runge-Kutta de 4to orden es similar a la regla de Simpson 1\/3. La ecuaci\u00f3n representa un promedio ponderado para establecer la mejor pendiente.<\/p>\n\n\n\n
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Runge Kutta 4to Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a> en video<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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4. Ejercicio en video<\/h2>\n\n\n\n
2Eva2018TI_T1 Paracaidista wingsuit<\/a><\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n Propuesta: s2Eva2018TI_T1 Paracaidista wingsuit<\/a><\/p>\n\n\n\n
 https:\/\/youtu.be\/c1_vQRhl8Rg<\/p>\n\n\n\n
La segunda parte corresponde a Runge-Kutta de 4to Orden<\/p>\n\n\n\n
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