Runge Kutta<\/a> \\frac{\\delta^2 y}{\\delta x^2}<\/span><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/em>:<\/p>\n\n\n\n RK 2do Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n RK 4to Orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para una ecuaci\u00f3n diferencial de segunda derivada (segundo orden) con condiciones de inicio en x0<\/sub>, y0<\/sub>, y'0<\/sub><\/p>\n\n\n \\frac{\\delta ^2 y}{\\delta x^2} = \\frac{\\delta y}{\\delta x} + etc <\/span>\n\n\n\n Forma estandarizada de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n y'' = y' + etc <\/span>\n\n\n\n Se puede sustituir la variable y' por z, lo que se convierte a dos expresiones que forman un sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} z= y' = f_x(x,y,z) \\\\ z' = (y')' = z + etc = g_x(x,y,z) \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Se pueden reutilizar los m\u00e9todos para primeras derivadas, por ejemplo Runge-Kutta de 2do y 4to orden para las variables x,y,z de forma simultanea.<\/p>\n\n\n\n Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h3<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n Runge-Kutta 4do Orden tiene error de truncamiento O(h5<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n . Runge Kutta<\/a> \\frac{\\delta^2 y}{\\delta x^2}<\/span><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/em>:<\/p>\n\n\n\n RK 2do Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n RK 4to Orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra Ejercicio 25.23 p265, 2Eva2018TI_T1 Paracaidista wingsuit<\/a> <\/p>\n\n\n\n Si suponemos que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la altura (y) de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria:<\/p>\n\n\n \\frac{d^2y}{dt^2} = g - \\frac{Cd}{m} \\Big( \\frac{dy}{dt} \\Big) ^2 <\/span>\n\n\n\n Que es una EDO de 2do orden o como 2da derivada.<\/p>\n\n\n\n Resuelva para la altura que recorre un objeto de 90 Kg con coeficiente de arrastre Cd =0.225 kg\/m.<\/p>\n\n\n\n Si la velocidad inicial es 0 y la altura inicial es 1 Km, determine la velocidad y posici\u00f3n en cada tiempo, usando un tama\u00f1o de paso de 2s.<\/p>\n\n\n\n Runge Kutta<\/a> \\frac{\\delta^2 y}{\\delta x^2}<\/span><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/em>:<\/p>\n\n\n\n RK 2do Orden<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n RK 4to Orden<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n La soluci\u00f3n propone resolver de forma simultanea para t,y,v con Runge Kutta para segunda derivada, siendo las expresiones:<\/p>\n\n\n f(t,y,v) = -v <\/span>\n\n\n g(t,y,v) = g - \\frac{Cd}{m} v^2 <\/span>\n\n\n\n Al sustituir los valores de las constantes en la ecuaci\u00f3n como gravedad, masa e \u00edndice de arrastre se tiene:<\/p>\n\n\n f(t,y,v) = -v <\/span>\n\n\n g(t,y,v) = 9.8 - \\frac{0.225}{90} v^2 <\/span>\n\n\n\n con las condiciones iniciales del ejercicio t0<\/sub> = 0 , y0<\/sub> = 1000, v0<\/sub> = 0 Para las iteraciones, recuerde que itera = 0<\/strong><\/p>\n\n\n K1y = h f(t,y,v) = 2(-(0)) = 0 <\/span>\n\n\n K1v = h g(t,y,v) = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (0)^2) = 19.6<\/span>\n\n\n\n K2y = h f(t+h, y+K1y, v + K1v)<\/span>\n\n\n\n = 2(-(0 + 19.6)) = -39.2 <\/span>\n\n\n K2v = h g(t+h, y+K1y, v + K1v) <\/span>\n\n\n = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (0+19.6)^2) =17.6792 <\/span>\n\n\n\n y_1 = y_0 + \\frac{K1y+K2y}{2} <\/span>\n\n\n\n= 1000 + \\frac{0-39.2}{2}= 980.4 <\/span>\n\n\n v_1 = v_0 + \\frac{K1v+K2v}{2} = 0 + \\frac{19.6-17.67}{2} = 18.63 <\/span>\n\n\n t_1 =t_0 + h = 0+2 = 2 <\/span>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. EDO \\frac{\\delta^2 y}{\\delta x^2}<\/span> con Runge-Kutta<\/h2>\n\n\n\n
![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoRK_Wingsuit_ani.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
Al aplicar el m\u00e9todo de Runge-Kutta para las variables dependientes, se tiene:<\/p>\n\n\n y'' = y' + etc <\/span>\n\n\n \\begin{cases} f_x(x,y,z) = z \\\\ g_x(x,y,z) = z + etc \\end{cases} <\/span>\n\n\n K_{1y} = h f(x_i, y_i, z_i) <\/span>\n\n\n K_{1z} = hg(x_i, y_i, z_i) <\/span>\n\n\n K_{2y} = h f(x_i +h, y_i + K_{1y} , z_i + K_{1z}) <\/span>\n\n\n K_{2z} = h g(x_i +h, y_i + K_{1y}, z_i + K_{1z}) <\/span>\n\n\n y_{i+1}=y_i+\\frac{K_{1y}+K_{2y}}{2}<\/span>\n\n\n z_{i+1}=z_i+\\frac{K_{1z}+K_{2z}}{2}<\/span>\n\n\n x_{i+1} = x_i +h <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
![\"Paracaidista](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/paracaidistawingsuit01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo anal\u00edtico - paso a paso<\/h2>\n\n\n\n
![\"wingsuit](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/wingsuitdiagrama02.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
la velocidad se inicia con cero, si el paracaidista se deja caer desde el borde el risco, como en el video adjunto al enunciado.<\/p>\n\n\n\n
t se corrige con t+h (en el algoritmo era la posici\u00f3n para x)
y se corrige con y+K1y
v se corrige con v+K1v (en el algoritmo era la posici\u00f3n para z)<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoRungeKutta2Orden_d2y_itera0.gif\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoRungeKutta2Orden_d2y_itera1.gif\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoRungeKutta2Orden_d2y_itera2.gif\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoRungeKutta2Orden_d2y_itera_n.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n