BIBO<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n RHP=0<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n RHP>=1<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || complejos<\/p>\n\n\n\n j \u00fanicos<\/strong><\/a>, <\/p>\n\n\n\n j repetidos<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || H(s)<\/p>\n\n\n\n exponencial<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo estabilidad<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 4.3-3 p371, Lathi 2.4-2 p198<\/p>\n\n\n\n En un sistema acotado <\/strong>(bounded) estable, sometido a una se\u00f1al de entrada en la que se conoce que su salida siempre es la misma, se lo considera un sistema BIBO-estable<\/strong>. (Bounded input, Bounded output)<\/p>\n\n\n\n La funci\u00f3n de transferencia H(s) de un sistema es una descripci\u00f3n externa con la forma:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{P(s)}{Q(s)} <\/span>\n\n\n\n El polinomio Q(s) representa una descripci\u00f3n interna, en la que si todos los polos de H(s) se encuentran en la parte izquierda del plano (left half plane, LHP), todos los t\u00e9rminos h(t) son exponenciales decrecientes y h(t) es absolutamente integrable. En consecuencia el sistema es BIBO-estable<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Se asume que H(s) es una funci\u00f3n en la que M \u2264 N, siendo M el grado de P(s) y N e grado de Q(s), caso contrario el sistema es es BIBO-inestable<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n 1. Un sistema LTI CT es asint\u00f3ticamente estable<\/strong> si y solo si todos los polos de su funci\u00f3n de transferencia H(s) se encuentran en el lado izquierdo del plano, pudiendo ser simples o repetidos.<\/p>\n\n\n\n 2. Un sistema LTI CT es inestable<\/strong> si y solo si se dan una o ambas de las condiciones:<\/p>\n\n\n\n 2.1 Existe al menos un polo de H(s) en el lado derecho del plano RHP. 3. Un sistema LTI CT es marginalmente estable<\/strong> si y solo si, no hay polos de H(s) en el lado derecho del plano RHP y algunos polos NO repetidos sobre en el eje imaginario (parte Real = 0).<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n BIBO<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n RHP=0<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n RHP>=1<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || complejos<\/p>\n\n\n\n j \u00fanicos<\/strong><\/a>, <\/p>\n\n\n\n j repetidos<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || H(s)<\/p>\n\n\n\n exponencial<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo estabilidad<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.14a p201<\/p>\n\n\n\n Revise la estabilidad BIBO de los siguientes sistemas LTI\u00a8CT descritos por las ecuaciones:<\/p>\n\n\n (D+1)(D^2 + 4D +8) y(t) = (D-3) x(t) <\/span>\n\n\n\n Se expresa la ecuaci\u00f3n de operadores diferenciales D por la transformada de Laplace.<\/p>\n\n\n (s+1)(s^2 + 4s +8) Y(s) = (s-3) X(s) <\/span>\n\n\n \\frac{Y(s)}{X(s)} = \\frac{s-3}{(s+1)(s^2 + 4s +8)} <\/span>\n\n\n\n El grado del polinomio Q es N=3 y es mayor que el grado del polinomio P es M=1.<\/p>\n\n\n\n La expresi\u00f3n de entrada se escribe en el algoritmo como:<\/p>\n\n\n\n Los polos se obtienen como las ra\u00edces del denominador Q, necesario para plantear las fracciones parciales y simplificar la expresi\u00f3n como la suma de componentes m\u00e1s simples.<\/p>\n\n\n\n Las fracciones parciales de H(s) usando el algoritmo de la secci\u00f3n anterior se obtiene<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{5}\\frac{4}{s+1}+\\frac{1}{5} \\frac{4s+17}{s^2 + 4s +8} <\/span>\n\n\n\n Con el algoritmo se tiene el siguiente resultado:<\/p>\n\n\n\n En la gr\u00e1fica se observa que todos los polos se encuentran en el lado izquierdo del plano LHP. Por lo que se considera que existen as\u00edntotas en la funci\u00f3n correspondiente a tiempo, y el sistema es \"asint\u00f3ticamente estable<\/strong>\". Tambi\u00e9n se considera BIBO estable por no tener los polos en el lado derecho RHP=0<\/p>\n\n\n\n la gr\u00e1fica de h(t) muestra lo indicado por el an\u00e1lisis de polos<\/p>\n\n\n\n El algoritmo es una continuaci\u00f3n del manejo de Polos y Ceros realizado en la secci\u00f3n anterior, donde se a\u00f1ade la revisi\u00f3n de las ra\u00edces de Q cuando son de tipo imaginarias.<\/p>\n\n\n\n Por simplicidad para el an\u00e1lisis se usan solo las partes esenciales, as\u00ed el enfoque es sobre la posici\u00f3n de los polos y su relaci\u00f3n con h(t).<\/p>\n\n\n\n En el proceso, se agrupan las partes reales en Q_real y las imaginaria en Q_imag para realizar el conteo de lo repetido.<\/p>\n\n\n BIBO<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n RHP=0<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n RHP>=1<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || complejos<\/p>\n\n\n\n j \u00fanicos<\/strong><\/a>, <\/p>\n\n\n\n j repetidos<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || H(s)<\/p>\n\n\n\n exponencial<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo estabilidad<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.14b p201<\/p>\n\n\n\n Revise la estabilidad BIBO de los siguientes sistemas LTIC descritos por las ecuaciones:<\/p>\n\n\n (D-1)(D^2 + 4D +8) y(t) = (D+2) x(t) <\/span>\n\n\n\n Se expresa la ecuaci\u00f3n de operadores diferenciales D por la transformada de Laplace.<\/p>\n\n\n (s-1)(s^2 + 4s +8) Y(s) = (s+2) X(s) <\/span>\n\n\n \\frac{Y(s)}{X(s)} = \\frac{s+2}{(s-1)(s^2 + 4s +8)} <\/span>\n\n\n\n El grado del polinomio Q es N=3 y es mayor que el grado del polinomio P es M=1.<\/p>\n\n\n\n Los polos se obtienen como las ra\u00edces del denominador Q, necesario para plantear las fracciones parciales y simplificar la expresi\u00f3n en componentes m\u00e1s simples.<\/p>\n\n\n\n La expresi\u00f3n para el algoritmo se escribe como:<\/p>\n\n\n\n y el resultado de polos obtenido es:<\/p>\n\n\n\n Las fracciones parciales de H(s) usando el algoritmo de la secci\u00f3n anterior se obtiene<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{3}{13}\\frac{1}{s-1}+\\frac{1}{13} \\frac{3s+2}{s^2 + 4s +8} <\/span>\n\n\n\n Con el algoritmo se tiene el siguiente resultado:<\/p>\n\n\n\n En la gr\u00e1fica se observa que un polo<\/strong> se encuentra en el lado derecho del plano RHP. Un polo en RHP<\/strong> genera un componente creciente en el tiempo, en consecuencia, el sistema es \"asint\u00f3ticamente inestable\". Tambi\u00e9n el sistema es BIBO inestable<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n la gr\u00e1fica de h(t) complementa lo interpretado con la posici\u00f3n de los polos en el plano s<\/p>\n\n\n\n BIBO<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n RHP=0<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n RHP>=1<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || complejos<\/p>\n\n\n\n j \u00fanicos<\/strong><\/a>, <\/p>\n\n\n\n j repetidos<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || H(s)<\/p>\n\n\n\n exponencial<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo estabilidad<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.14c p201<\/p>\n\n\n\n Revise la estabilidad BIBO de los siguientes sistemas LTIC descritos por las ecuaciones:<\/p>\n\n\n(D+2)(D^2 +4)y(t) = (D^2+D+1)x(t)<\/span>\n\n\n\n Se expresa la ecuaci\u00f3n de operadores diferenciales D por la transformada de Laplace.<\/p>\n\n\n (s+2)(s^2 + 4) Y(s) = (s^2+s+1) X(s) <\/span>\n\n\n\n El grado del polinomio Q es N=3 y el grado del polinomio P es M=2, los polos del denominador muestran ra\u00edces complejas, por lo que se tendr\u00e1 componentes cuadr\u00e1ticos para la transformada inversa de Laplace.<\/p>\n\n\n\n Usando fracciones parciales con el algoritmo se tiene que,<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{3}{8}\\frac{1}{s+2}+\\frac{1}{8} \\frac{5s-2}{s^2 + 4} <\/span>\n\n\n\n resultados:<\/p>\n\n\n\n al tener polos sobre el eje imaginario el sistema es asint\u00f3ticamente marginal estable, pero BIBO-inestable.<\/p>\n\n\n\n con gr\u00e1fica de h(t)<\/p>\n\n\n\n BIBO<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n RHP=0<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n RHP>=1<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || complejos<\/p>\n\n\n\n j \u00fanicos<\/strong><\/a>, <\/p>\n\n\n\n j repetidos<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n || H(s)<\/p>\n\n\n\n exponencial<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Sistema acotado y estable<\/h2>\n\n\n\n
![\"Laplace](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Laplace_EstableUnPoloReal01.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
2.2 Existen polos repetidos de H(s) en el eje imaginario.<\/p>\n\n\n\n![\"Laplace](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Laplace_EstableDosPolosIm01.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"LTIC](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/LTIC_BIBOestable01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. H(s) con polos no repetidos, RHP=0<\/h2>\n\n\n\n
2.1 Desarrollo anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n
Hs = ((s-3)\/(s+1))*(1\/(s**2+4*s+8))<\/code><\/pre>\n\n\n\npolos: {-1: 1, -2 - 2*I: 1, -2 + 2*I: 1}<\/code><\/pre>\n\n\n\n2.2 Desarrollo con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
busca_PolosCeros:\n Q_polos : {-1: 1, -2 - 2*I: 1, -2 + 2*I: 1}\n P_ceros : {3: 1}\n polos reales: 1\n polos complejos: 2\n sobre lado derecho RHP: 0\n sobre Eje Imaginario, repetidos: 0 unicos: 0\n\n asintoticamente: estable\n\n h(t): \n -t -2*t -2*t \n 4*e *Heaviside(t) 9*e *sin(2*t)*Heaviside(t) 4*e *cos(2*t)*Heaviside(t)\n- ------------------ + ----------------------------- + -----------------------------\n 5 10 5 \n>>>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_ht_Ej01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n2.3 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n
\n# Polos y ceros de funcion de transferencia H(s)\n# Estabilidad del sistema, H(s) respuesta al impulso\n# Ps es numerador, Qs es denominador\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\n \n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t',real=True)\n \nHs = ((s-3)\/(s+1))*(1\/(s**2+4*s+8))\n#Hs = ((s+2)\/(s-1))*(1\/(s**2+4*s+8))\n \n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nt_a = -1 ; t_b = 10\nmuestras = 101 # 51 resolucion grafica\n \n# PROCEDIMIENTO\nHs_fp = ss.apart_s(Hs)\npolosceros = ss.busca_polosceros(Hs)\nP_ceros = polosceros['P_ceros']\nQ_polos = polosceros['Q_polos']\n \n# h(t) desde H_fp(s) con inversa Laplace \nht = sym.inverse_laplace_transform(Hs,s,t)\n \n# Analiza estabilidad asintotica\ncasi_cero = 1e-12\n# Separa parte real e imaginaria de raices\ncuenta_real = 0; cuenta_imag = 0\nunicos = 0 ; repetidos = 0 ; enRHP = 0\nfor raiz in Q_polos:\n [r_real,r_imag] = raiz.as_real_imag()\n if abs(r_real)>casi_cero and abs(r_imag)<casi_cero :\n cuenta_real = cuenta_real+1\n # para estabilidad asintotica\n conteo = Q_polos[raiz]\n if conteo==1 and r_real==0 and abs(r_imag)>0:\n unicos = unicos + 1\n if conteo>1 and r_real==0 and abs(r_imag)>0:\n repetidos = repetidos + 1\n if r_real>0:\n enRHP = enRHP + 1\ncuenta_imag = len(Q_polos)-cuenta_real\n \n# Revisa lado derecho del plano RHP\nasintota = ""\nif enRHP==0:\n asintota = 'estable'\nif enRHP>0 or repetidos>0:\n asintota = 'inestable'\nif enRHP==0 and unicos>0:\n asintota = 'marginalmente estable'\n\n# SALIDA\nprint('H:')\nsym.pprint(Hs)\nprint('H_fp:')\nsym.pprint(Hs_fp)\nprint('busca_PolosCeros:')\nfor k in polosceros.keys():\n eq_lista = ['H','H_fp']\n if k in eq_lista:\n print('',k,':')\n sym.pprint(polosceros[k])\n else:\n print('\\n',k,':',polosceros[k])\n \nprint(' polos reales: ',cuenta_real)\nprint(' polos complejos: ',cuenta_imag)\nprint(' sobre lado derecho RHP:',enRHP)\nprint(' sobre Eje Imaginario, repetidos: ',\n repetidos,' unicos:', unicos)\nprint('\\n asintoticamente: ', asintota)\n \nprint('\\n h(t): ')\nsym.pprint(ht)\n \n# GRAFICA -----------\nmuestras_H = 161\nfig_Hs = ss.graficar_Fs(Hs,Q_polos,P_ceros,\n muestras=muestras_H,\n f_nombre='H',\n solopolos=True)\nfigura_h = ss.graficar_ft(ht,t_a,t_b,f_nombre='h')\nplt.show()\n\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. H(s) con polos no repetidos, uno en RHP<\/h2>\n\n\n\n
3.1 Desarrollo anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n
Hs = ((s+2)\/(s-1))*(1\/(s**2+4*s+8))<\/code><\/pre>\n\n\n\npolos: {1: 1, -2 - 2*I: 1, -2 + 2*I: 1}<\/code><\/pre>\n\n\n\n3.2 Desarrollo con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
busca_PolosCeros:\n H :\n s + 2 \n----------------------\n \/ 2 \\\n(s - 1)*\\s + 4*s + 8\/\n H_fp :\n 3*s + 2 3 \n- ----------------- + ----------\n \/ 2 \\ 13*(s - 1)\n 13*\\s + 4*s + 8\/ \n\n P_ceros : {-2: 1}\n\n Q_polos : {1: 1, -2 - 2*I: 1, -2 + 2*I: 1}\n polos reales: 1\n polos complejos: 2\n sobre lado derecho RHP: 1\n sobre Eje Imaginario, repetidos: 0 unicos: 0\n\n asintoticamente: inestable\n\n h(t): \n t -2*t -2*t \n3*e *Heaviside(t) 2*e *sin(2*t)*Heaviside(t) 3*e *cos(2*t)*Heaviside(t)\n----------------- + ----------------------------- - -----------------------------\n 13 13 13 \n>>>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej02.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_ht_Ej02.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. H(s) con polos complejos sobre eje imaginario \u00fanicos<\/h2>\n\n\n\n
Ps = s**2+s+1\nQs = (s+2)*(s**2+4)\nHs = Ps\/Qs<\/code><\/pre>\n\n\n\n Q_polos : {-2: 1, -2*I: 1, 2*I: 1}<\/code><\/pre>\n\n\n\nbusca_PolosCeros:\n Q_polos : {-2: 1, -2*I: 1, 2*I: 1}\n P_ceros : {-1\/2 - sqrt(3)*I\/2: 1, -1\/2 + sqrt(3)*I\/2: 1}\n polos reales: 1\n polos complejos: 2\n sobre lado derecho RHP: 0\n sobre Eje Imaginario, repetidos: 0 unicos: 2\n\n asintoticamente: marginalmente estable\n\n h(t): \n -2*t \n sin(2*t)*Heaviside(t) 5*cos(2*t)*Heaviside(t) 3*e *Heaviside(t)\n- --------------------- + ----------------------- + --------------------\n 8 8 8 \n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_ht_Ej03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej04.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_ht_Ej04.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Hs](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej05.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/Hs_estabilidad_polos_Ej05-1.png\")
<\/figure>\n\n\n\n