reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n La salida de un convertidor cont\u00ednuo a discreto C-D es una se\u00f1al discreta en tiempo con un n\u00famero infinito de alias. Al observar un gr\u00e1fico de espectro de frecuencias \u03c9 es necesario recordar que existen m\u00e1s se\u00f1ales fuera del intervalo mostrado.<\/p>\n\n\n\n Considere una se\u00f1al x(t) simple, de una sola frecuencia, cuyo espectro contiene dos l\u00edneas a \u00b1\u03c90<\/sub>\u00a0con amplitudes de tambi\u00e9n tiene dos frecuencias \u03c9 en \u00b1\u03c90<\/sub>\/fs<\/sub>, con todos los alias en reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan ejercicio 4.5 p133<\/p>\n\n\n\n Realice el espectro cont\u00ednuo de la se\u00f1al x(t), la se\u00f1al muestreada a fs<\/sub>=500 y el espectro discreto resultante. Observe que la frecuencia de muestreo es superior a la frecuencia de la se\u00f1al x(t) para evitar el\u00a0problema de aliasing<\/em>. El proceso se conoce como\u00a0sobre-muestreo<\/strong>. Para el ejercicio se usa una frecuencia 2.5 veces la recomendada por Nyquist.<\/p>\n\n\n\n x(t) = \\cos( 2\\pi (100)t+\\pi\/3) <\/span>\n\n\n\n Los convertidores D-C trasforman el espectro discreto en tiempo a una salida de espectro cont\u00ednuo en el tiempo, seleccionando solo un par de las l\u00edneas de todas las posibilidades mostradas.<\/p>\n\n\n\n Para ser consistentes con la operaci\u00f3n Digital hacia Anal\u00f3gico (D-A) se tomar\u00e1 siempre la frecuencia mas baja de cada grupo de alias o alias principal <\/strong><\/em>con |\u03c9|<\u03c0. En resumen, en sobre-muestreo<\/strong> la frecuencia original f0<\/sub> es menor que fs<\/sub>\/2 permite la reconstrucci\u00f3n mas exacta.<\/p>\n\n\n\n Para el an\u00e1lisis con el algoritmo se obtienen los siguientes par\u00e1metros para realizar la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n Las instrucciones del bloque de ingreso para el algoritmo son:<\/p>\n\n\n\n reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Cuando fs<\/sub> < 2f0<\/sub> la se\u00f1al se encuentra sub-muestreada<\/strong> y se produce el aliasing<\/strong>. Para el ejercicio anterior, si el ejercicio lo realiza con fs = 80Hz<\/strong>, siendo f0=100 Hz, la tasa de muestreo es menor que la frecuencia de Nyquist y se presenta la se\u00f1al de alias.<\/p>\n\n\n\n las instrucciones para el bloque de ingreso del algoritmo son las mismas que en el ejercicio anterior, excepto que fs<\/sub> = 80 Hz<\/strong><\/p>\n\n\n\n el resultado con el algoritmo es una se\u00f1al reconstruida de tan solo 20Hz<\/p>\n\n\n\n x_0(t)=\\cos(2\\pi(20)t+\\pi\/3) <\/span>\n\n\n\n reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para una se\u00f1al x(t) de 100 Hz se aplica muestreo insuficiente en el intervalo [f0<\/sub>,2f0<\/sub>] se presenta aliasing denominado \"folding<\/strong>\" o plegado de se\u00f1al. Para el ejercicio de prueba y con\u00a0fs<\/sub>\u00a0= 125<\/strong>, se tiene:<\/p>\n\n\n\n x(t) = \\cos (2\\pi(100)t+\\pi\/3) <\/span>\n\n\n\n Los componentes de frecuencia entre \u00b1\u03c0 tambi\u00e9n son \u00b10.4\u03c0, sin embargo\u00a0 el componente en +0.4\u03c0 es un alias del componente de la frecuencia negativa -1.6\u03c0, que genera el \"plegado\" o \"folding\". La reconstrucci\u00f3n de la se\u00f1al se realiza a f = 0.4(fs<\/sub>\/2\u03c0) = fs<\/sub>\/5 = 25 Hz. Tambi\u00e9n se observa una\u00a0inversi\u00f3n de fase<\/strong><\/em>. El resultado es semejante a una se\u00f1al muestreada de 25 Hz con inversi\u00f3n de fase.<\/p>\n\n\n\n Otro caso a observar es cuando fs<\/sub>=100Hz, el resultado es una constante, pues siempre se obtiene la muestra de la se\u00f1al con la misma magnitud.<\/p>\n\n\n\n reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El algoritmo contiene componentes desarrollados en secciones anteriores. Para el espectro de frecuencias en dominio del tiempo se basa en lo descrito en\u00a0Espectro \u2013 Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia<\/a>.<\/p>\n\n\n\n El desarrollo del muestreo usando la se\u00f1al x(t) y fs<\/sub> toma como referencia lo descrito en Muestreo y aliasing<\/a>.<\/p>\n\n\n\n La construcci\u00f3n del espectro discreto a partir de x[n] usa lo desarrollado en\u00a0Espectro x[n] \u2013 Se\u00f1al discreta en tiempo<\/a><\/p>\n\n\n reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Con los componentes descritos en la parte de algoritmos, se ajustan las gr\u00e1ficas de cada secci\u00f3n para cada sub-gr\u00e1fica en la figura.<\/p>\n\n\n reconstrucci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n muestreo:<\/p>\n\n\n\n sobre<\/a><\/p>\n\n\n\n sub<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Se reescribe un poco el algoritmo, agrupando algunos bloques que deben actualizarse al cambiar la variable fs<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Muestreo y Reconstrucci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectro_n_coseno_animate.gif\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n
(1\/2 A e\u00b1\u03c90<\/sub><\/sup>)<\/p>\n\n\n\n x(t) = A \\cos(\\omega_0 t+\\varphi) <\/span>\n\n\n\n x[n] = x(n\/f_s) A \\cos\\left( (\\omega_0 \/ f_s)n + \\varphi \\right)<\/span>\n\n\n\n = \\frac{1}{2} A e^{j\\varphi} e ^{ j(\\omega_0 \/f_s)n} + \\frac{1}{2} A e^{\u2212j \\varphi} e^{j(\u2212\\omega_0\/f_s)n} <\/span>\n\n\n\n
\u00b1\u03c90<\/sub>\/fs<\/sub> + 2\u03c0k, siendo k= \u00b11, \u00b12, \u00b13, ...<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Sobre-muestreo<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectro_n_coseno_sobremuestreo01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n
El resultado siempre se encontrar\u00e1 entre [-fs<\/sub>\/2, +fs<\/sub>\/2].<\/p>\n\n\n\nse\u00f1al(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\n espectro_t:\n freq : [-100. 100.]\n ampl : [1\/2 1\/2]\n fase : [-pi\/3 pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n freq_max : 100.0\n freq_min : 100.0\n\nmuestreo fs: 500<\/strong> ; dt: 0.002 ; fs_veces: 12\nmuestreo_tipo: sobre-muestreo\nmuestreo: 11 tama\u00f1o ki: 11 ; tama\u00f1o ti: 121\nx(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\nx[n]: cos(n*(2*pi)\/5 + pi\/3)\n\nse\u00f1al[n]: cos(n*(2*pi)\/5 + pi\/3)\n espectro_n:\n freq : [-2.4 -1.6 -0.4 0.4 1.6 2.4]\n ampl : [1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2]\n fase : [-pi\/3 pi\/3 -pi\/3 pi\/3 -pi\/3 pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n x_expand : cos(2*pi*n\/5 + pi\/3)\n freq_factor : pi\n freq_max : 2.4\n freq_min : 0.4\n BW : 2.0\n freq_alias : [ True True False False True True]\n\nse\u00f1al reconstruida con alias principal:\ncos(100*t*(2*pi) + pi\/3)<\/code><\/pre>\n\n\n\n# INGRESO\nwith sym.evaluate(False): # no simplificar freq angular w >2*pi por Sympy\n x = sym.cos(DosPi*100*t + pi\/3)\nxt_etiqueta = 'x(t)' ; xn_etiqueta = 'x[n]'\ntitulo = x # copia para titulo de grafico (antes de procesar)\n\n# se\u00f1al muestreada\nfs = 500 # muestreo discreto, freq_sampling >0\nfs_veces = 12 # suavizar x(t), sobremuestreo\nmuestras_n = 10 + 1 # para x[n]\n\naliasn = 1 # alias a\u00f1adidos a x[n]\ntolera = 1e-9 # tolerancia a error, n\u00fameros iguales<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Sub-muestreo y aliasing<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectro_n_coseno_submuestreo01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n# se\u00f1al muestreada\nfs = 80 # muestreo discreto, freq_sampling >0<\/code><\/pre>\n\n\n\nse\u00f1al(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\n espectro_t:\n freq : [-100. 100.]\n ampl : [1\/2 1\/2]\n fase : [-pi\/3 pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n freq_max : 100.0\n freq_min : 100.0\n\nmuestreo fs: 80<\/strong> ; dt: 0.0125 ; fs_veces: 12\nmuestreo_tipo: sub-muestreo\nmuestreo: 11 tama\u00f1o ki: 11 ; tama\u00f1o ti: 121\nx(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\nx[n]: cos(5*n*(2*pi)\/4 + pi\/3)\n\nse\u00f1al[n]: cos(5*n*(2*pi)\/4 + pi\/3)\n espectro_n:\n freq : [-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5]\n ampl : [1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2]\n fase : [-pi\/3 pi\/3 -pi\/3 pi\/3 -pi\/3 pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n x_expand : cos(5*pi*n\/2 + pi\/3)\n freq_factor : pi\n freq_max : 2.5\n freq_min : 0.5\n BW : 2.0\n freq_alias : [ True True False False True True]\n\nse\u00f1al reconstruida con alias principal:\ncos(20*t*(2*pi) + pi\/3)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Folding o plegado de se\u00f1al por sub-muestreo<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2025\/12\/espectro_n_coseno_folding01.png\")
<\/figure>\n\n\n\nse\u00f1al(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\n espectro_t:\n freq : [-100. 100.]\n ampl : [1\/2 1\/2]\n fase : [-pi\/3 pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n freq_max : 100.0\n freq_min : 100.0\n\nmuestreo fs: 125<\/strong> ; dt: 0.008 ; fs_veces: 12\nmuestreo_tipo: sub-muestreo y folding\nmuestreo: 11 tama\u00f1o ki: 11 ; tama\u00f1o ti: 121\nx(t): cos(((2*pi)*100)*t + pi\/3)\nx[n]: cos(4*n*(2*pi)\/5 + pi\/3)\n\nse\u00f1al[n]: cos(4*n*(2*pi)\/5 + pi\/3)\n espectro_n:\n freq : [-2.4 -1.6 -0.4 0.4 1.6 2.4]\n ampl : [1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2 1\/2]\n fase : [pi\/3 -pi\/3 pi\/3 -pi\/3 pi\/3 -pi\/3]\n etiq : ['$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(\\\\frac{\\\\pi}{3})$'\n '$\\\\frac{1}{2}$$ e^j(- \\\\frac{\\\\pi}{3})$']\n x_expand : cos(8*pi*n\/5 + pi\/3)\n freq_factor : pi\n freq_max : 2.4\n freq_min : 0.3999999999999999\n BW : 2.0\n freq_alias : [ True True False False True True]\n\nse\u00f1al reconstruida con alias principal:\ncos(25*t*(2*pi) - (pi\/3))<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectro_n_coseno_folding02.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
\n# ejercicio 4.5 p133 Muestreo y Reconstrucci\u00f3n de se\u00f1ales sinusoidales\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\nimport telg1034 as dsp\n\n# variables continuas\nfrom telg1034 import t,A,w,f,p,pi,DosPi,I,equivalentes\n# variables discretas\nfrom telg1034 import n\n\n# INGRESO\nwith sym.evaluate(False): # no simplificar freq angular w >2*pi por Sympy\n x = sym.cos(DosPi*100*t + pi\/3)\nxt_etiqueta = 'x(t)' ; xn_etiqueta = 'x[n]'\ntitulo = x # copia para titulo de grafico (antes de procesar)\n\n# se\u00f1al muestreada\nfs = 500 # muestreo discreto, freq_sampling >0\nfs_veces = 12 # suavizar x(t), sobremuestreo\nmuestras_n = 10 + 1 # para x[n]\n\naliasn = 1 # alias a\u00f1adidos a x[n]\ntolera = 1e-9 # tolerancia a error, n\u00fameros iguales\n\n# PROCEDIMIENTO ----------------\n# espectro x(t) - operaciones\n# Ref: Blog|Espectro-Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia\n# unase\u00f1al = x.subs(pi,np.pi) # mantener valores >2pi como float\nx_term = dsp.x_list_term_Add(x)\nXe_term = dsp.cos_to_euler_one_term(x_term)\nx_term_expand = dsp.euler_to_cos_list(Xe_term)\nun_espectro_t = dsp.cos_spectrum_list(x_term)\n\n# espectro de cada se\u00f1al\nfreq = un_espectro_t['freq']\nampl = un_espectro_t['ampl']\nfase = un_espectro_t['fase']\netiqueta = un_espectro_t['etiq']\n\n# freq_max y freq_min\nfreq_max = float(max(freq))\nif len(freq[freq>0])>0:\n freq_min = float(min(freq[freq>0]))\nelse:\n freq_min = 0\nun_espectro_t['freq_max'] = freq_max\nun_espectro_t['freq_min'] = freq_min\n\n# revisa muestreo Nyquist\nif abs(2*freq_max-fs)<tolera:\n muestreo_tipo = 'Nyquist'\nif fs>(freq_max*2):\n muestreo_tipo = 'sobre-muestreo'\nif fs<(freq_max*2):\n muestreo_tipo = 'sub-muestreo'\nif fs<(freq_max*2) and fs>freq_max:\n muestreo_tipo = 'sub-muestreo y folding'\n\n# Muestreo de se\u00f1ales sinusoidales\n# Ref: blog|Muestreo con Python\nxt = sym.lambdify(t,x, modules=equivalentes)\nxn = x.subs(t,n\/fs)\n\n# muestreo x[n]\ndt = 1\/fs # tama\u00f1o de paso con fs\nki = np.arange(0,muestras_n,1,dtype=int)\ntki = ki*dt\nxki = xt(tki)\n\nnT = int(np.max(tki)\/dt) # periodos a graficar\n\n# muestreo x(t)\ndtc = dt\/fs_veces # suavizar x(t), sobremuestreo\nti = np.arange(0,(muestras_n-1)*dt+dtc, dtc)\nxti = xt(ti)\n\n# operaciones para espectro x[n]\n# Ref: blog|Espectro x[n] \u2013 Se\u00f1al discreta en tiempo\n#xn = xn.doit()#.subs(pi,np.pi).doit() # mantener valores >2pi\nx_term = dsp.x_list_term_Add(xn)\nXe_term = dsp.cos_to_euler_one_term(x_term)\nx_term_expand = dsp.euler_to_cos_list(Xe_term)\nun_espectro_n = dsp.cos_spectrum_list(x_term)\n# espectro de cada se\u00f1al\nfreq_n = np.array(un_espectro_n['freq'])\nampl_n = np.array(un_espectro_n['ampl'])\nfase_n = np.array(un_espectro_n['fase'])\netiq_n = np.array(un_espectro_n['etiq'])\nun_espectro_n['x_expand'] = x_term_expand\n\nfreqn_conteo = len(freq_n)\n\n# normaliza w frecuencia angular\nfor i in range(0,freqn_conteo,1):\n while abs(freq_n[i].subs(pi,np.pi))>np.pi:\n if freq_n[i]>0:\n freq_norm = freq_n[i]-2*pi\n else:\n freq_norm = freq_n[i]+2*pi\n freq_n[i] = freq_norm\n\n# A\u00f1adir alias a se\u00f1al\nfreqn_alias = np.zeros(freqn_conteo,dtype=bool)\nfreq_m = np.zeros(0,dtype=float)\nfor i in range(0,freqn_conteo,1):\n freq_i = freq_n[i]\n ampl_i = ampl_n[i]\n fase_i = fase_n[i]\n etiq_i = etiq_n[i]\n for k in range(1,aliasn+1,1):\n freq_k = (freq_i+2*pi*k)\n if not((freq_k in freq_n) or (freq_k in freq_m)):\n # a\u00f1ade freq_n[i] + 2*pi*k\n freq_m = np.concatenate([freq_m,[freq_i+2*pi*k]])\n ampl_n = np.concatenate([ampl_n,[ampl_i]])\n fase_n = np.concatenate([fase_n,[fase_i]])\n etiq_n = np.concatenate([etiq_n,[etiq_i]])\n freqn_alias = np.concatenate([freqn_alias,[True]])\n freq_k = (freq_i-2*pi*k)\n if not((freq_k in freq_n) or (freq_k in freq_m)):\n # a\u00f1ade freq_n[i] - 2*pi*k\n freq_m = np.concatenate([freq_m,[freq_i-2*pi*k]])\n ampl_n = np.concatenate([ampl_n,[ampl_i]])\n fase_n = np.concatenate([fase_n,[fase_i]])\n texto = '$' + sym.latex(ampl_i)+'$'\n if fase_i!=sym.S.Zero:\n texto = texto+f'$ e^j('+sym.latex(fase_i)+')$'\n etiq_n = np.concatenate([etiq_n,[texto]])\n freqn_alias = np.concatenate([freqn_alias,[True]])\nfreq_n = np.concatenate([freq_n,freq_m])\n\n# ordena frecuencias\norden = np.argsort(freq_n)\nfreq_n = freq_n[orden]\nampl_n = ampl_n[orden]\nfase_n = fase_n[orden]\netiq_n = etiq_n[orden]\nfreqn_alias = freqn_alias[orden]\n\n# revisa factor pi en freq_n\nunfactor = sym.S.One ; factor_pi = False\nfreqn_conteo = len(freq_n)\nfor i in range(0,freqn_conteo,1):\n if freq_n[i].has(pi):\n factor_pi = True\nif factor_pi:\n freq_n = np.array(freq_n\/pi,dtype=float)\n unfactor = pi\n# actualiza espectro de se\u00f1al con factor pi,alias,orden\nun_espectro_n['freq_factor'] = unfactor\nun_espectro_n['freq'] = freq_n\nun_espectro_n['ampl'] = ampl_n\nun_espectro_n['fase'] = fase_n\nun_espectro_n['etiq'] = etiq_n\n\n# ancho de banda, freq_max y freq_min\nfreq_posi = freq_n[freq_n>0]\nfreq_max_n = float(max(freq_posi))\nfreq_min_n = 0\nif len(freq_posi)>0:\n freq_min_n = float(min(freq_posi))\nfreq_centro_n = (freq_max_n + freq_min_n)\/2\nun_espectro_n['freq_max'] = freq_max_n\nun_espectro_n['freq_min'] = freq_min_n\nun_espectro_n['BW'] = freq_max_n - freq_min_n\n\n# alias principal, Revisa espectro de frecuencias \nfreq_conteo = len(freq_n)\nfreq_alias = np.zeros(freq_conteo,dtype=bool)\nfor i in range (0,freq_conteo,1):\n unafreq = freq_n[i]\n if abs(unafreq) > 1:\n freq_alias[i] = True\nfreq_alias_conteo = np.sum(freq_alias)\nun_espectro_n['freq_alias'] = freq_alias\n\n# reconstruye se\u00f1al con alias principal\nfreq_alias0 = np.invert(freq_alias)\nfreq_x0 = freq_n[freq_alias0]\nampl_x0 = ampl_n[freq_alias0]\nfase_x0 = fase_n[freq_alias0]\nx0_cuenta = len(freq_x0)\nx0t = sym.S.Zero\nfor i in range(0,x0_cuenta,1):\n if freq_x0[i]>0:\n una_freq = float(freq_x0[i]*unfactor*(fs\/(2*pi)))\n x0t = x0t + 2*ampl_x0[i]*sym.cos(DosPi*una_freq*t+sym.UnevaluatedExpr(fase_x0[i])) \n if freq_x0[i]>=0 and freq_x0[i]<tolera: # es cero\n una_freq = float(freq_x0[i]*unfactor*(fs\/(2*pi)))\n x0t = x0t + ampl_x0[i]*sym.cos(DosPi*una_freq*t+sym.UnevaluatedExpr(fase_x0[i]))\nx0t = dsp._float_is_int(x0t) # si es entero\nx0tr = x0t.subs(pi,np.pi)\nif x0tr.has(t): # dos componentes en la constante.\n x0tr = sym.lambdify(t,x0tr,modules=equivalentes)\nelse: # componentes constantes\n constante = float(x0tr.doit())\n x0tr = lambda t: constante +0*t\n x0t = x0t.simplify()\nx0_ti = x0tr(ti)\n\n# SALIDA\nprint('se\u00f1al(t): ',x)\nprint(' espectro_t:')\nfor parametro in un_espectro_t:\n print(' ',parametro,':',un_espectro_t[parametro])\n\nprint('\\nmuestreo fs:',fs,' ; dt:',dt, ' ; fs_veces:',fs_veces)\nprint('muestreo_tipo: ',muestreo_tipo)\nprint('muestreo:',muestras_n,\n ' tama\u00f1o ki:',len(ki),'; tama\u00f1o ti:',len(ti))\nprint('x(t):',x)\nprint('x[n]:',xn)\n\nprint('\\nse\u00f1al[n]: ',xn)\nprint(' espectro_n:')\nfor parametro in un_espectro_n:\n print(' ',parametro,':',un_espectro_n[parametro])\n\nprint('\\nse\u00f1al reconstruida con alias principal:')\nprint(x0t)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n6. Gr\u00e1fica<\/h2>\n\n\n\n
\n# GRAFICAS ----------------------------------------\n# Grafica de espectro de frecuencias\n# Ref: blog|Espectro x[n] \u2013 Se\u00f1al discreta en tiempo\ngraf_dx = 0.12 # margen en eje x\nfig_espectro = plt.figure()\n\n# grafica espectro x(t) continuo en tiempo ---------\ngraf_fasor = fig_espectro.add_subplot(311)\nampl_max = float(max(ampl))\nfreq_max = float(max(max(freq),fs))*(1+graf_dx\/2)\nif freq_max!=0:\n graf_fasor.set_xlim([-freq_max*(1+graf_dx),\n freq_max*(1+graf_dx)])\nelse:\n graf_fasor.set_xlim([-1,1])\ngraf_fasor.set_ylim([0,ampl_max*(1+graf_dx*4)])\ngraf_fasor.grid()\ngraf_fasor.axhline(0,color='black')\ngraf_fasor.axvline(0,linestyle='dotted',color='grey')\ngraf_fasor.set_ylabel('Magnitud '+xt_etiqueta)\ngraf_fasor.set_xlabel('freq Hz', labelpad=0,)\n\n# espectro x(t) continuo en tiempo\ngraf_fasor.stem(freq,ampl) # grafica espectro magnitud\nfor k in range(0,len(freq),1): # etiquetas de fasor\n graf_fasor.annotate(etiqueta[k],xy=(freq[k],ampl[k]),\n xytext=(0,5),textcoords='offset points',ha='center')\n \n# fs frecuencia de muestreo\ngraf_fasor.stem(fs,ampl_max\/2,linefmt = 'C3:', ) # fs\ngraf_fasor.annotate('fs',xy=(fs,ampl_max\/2),\n xytext=(0,5),textcoords='offset points',ha='center')\ntexto = '$' + sym.latex(titulo)+'$' +' ; fs='+str(fs)\ntexto = texto + ' ; alias='+str(aliasn)\ngraf_fasor.set_title(texto)\n\n# GRAFICA x(t), x[n], x(t)_alias0 ---------\ngraf_xt = fig_espectro.add_subplot(312)\ngraf_xt.set_xlabel('t')\ngraf_xt.set_ylabel('amplitud')\ngraf_xt.grid()\n\ngraf_xt.plot(ti,xti, color='gray',label='x(t)')\ngraf_xt.plot(ti,x0_ti, color='blue',label='x(t)_alias0',\n linestyle='dotted')\ngraf_xt.stem(tki,xki,linefmt = 'C0:',label='x[n]_alias0')\ngraf_xt.legend()\n\n# grafica espectro x[n] de frecuencias discretas---------\n# Ref: blog|Espectro x[n] \u2013 Se\u00f1al discreta en tiempo\ngraf_fasorn = fig_espectro.add_subplot(313)\n# grafica x[n] - entorno\nfreq_n = un_espectro_n['freq']\nampl_n = un_espectro_n['ampl']\netiq_n = un_espectro_n['etiq']\nfreq_alias = un_espectro_n['freq_alias']\nampl_max = float(max(ampl_n))*(1+graf_dx*4)\nfreq_max = float(max(un_espectro_n['freq_max'],1))*(1+graf_dx\/2)\ngraf_fasorn.set_xlim([-freq_max,freq_max])\ngraf_fasorn.set_ylim([min([min(ampl_n),0]),ampl_max])\ngraf_fasorn.grid()\ngraf_fasorn.axhline(0,color='black')\ngraf_fasorn.axvline(0,linestyle='dotted',color='grey')\ngraf_fasorn.set_ylabel('Magnitud '+xn_etiqueta)\ngraf_fasorn.set_xlabel('freq rad')\n\n# grafica x[n] - magnitud\nfreq_alias0 = np.invert(freq_alias) \ngraf_fasorn.stem(freq_n[freq_alias0],ampl_n[freq_alias0],\n linefmt = 'C0--',label = 'alias0')\nif len(freq_n[freq_alias])>0:\n graf_fasorn.stem(freq_n[freq_alias],ampl_n[freq_alias],\n linefmt = 'C1--',label = 'alias')\n\nif un_espectro_n['freq_factor'] != sym.S.One:\n unfactor_txt = r'$'+sym.latex(un_espectro_n['freq_factor'])+'$'\n freq_etiq = []\n for un_num in freq_n:\n freq_etiq.append(f''+str(round(un_num,4))+unfactor_txt)\n graf_fasorn.set_xticks(ticks=freq_n,labels=freq_etiq)\nfor k in range(0,len(freq_n),1): # etiquetas de fasor\n graf_fasorn.annotate(etiq_n[k],xy=(freq_n[k],ampl_n[k]),\n xytext=(0,5),textcoords='offset points',\n ha='center')\ngraf_fasorn.legend()\n\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n7. Gr\u00e1fica Interactiva con Python<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectro_n_coseno_interactivo01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n