{"id":2102,"date":"2017-10-05T09:15:14","date_gmt":"2017-10-05T14:15:14","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=2102"},"modified":"2026-03-15T05:47:49","modified_gmt":"2026-03-15T10:47:49","slug":"edp-elipticas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u07\/edp-elipticas\/","title":{"rendered":"7.2 EDP El\u00edpticas"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
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EDP El\u00edpticas<\/a><\/p>\n\n\n\n

M\u00e9todo<\/p>\n\n\n\n

iterativo<\/a><\/p>\n\n\n\n

impl\u00edcito<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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1. EDP El\u00edpticas<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Chapra 29.1 p866, Rodr\u00edguez 10.3 p425, Burden 12.1 p694<\/p>\n\n\n\n

Las E<\/strong>cuaciones D<\/strong>iferenciales P<\/strong>arciales tipo el\u00edpticas <\/em><\/strong> semejantes a la mostrada:<\/p>\n\n\n \\frac{\\partial ^2 u}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial ^2 u}{ \\partial y^2} = 0<\/span>\n\n\n\n

\"EDP<\/figure>\n\n\n\n

(ecuaci\u00f3n de Laplace, Ecuaci\u00f3n de Poisson con f(x,y)=0)<\/p>\n\n\n\n

Se interpreta como una placa met\u00e1lica de dimensiones Lx y Ly, delgada con aislante que recubren las caras de la placa, y sometidas a condiciones en las fronteras:<\/p>\n\n\n\n

Lx = dimensi\u00f3n x de placa met\u00e1lica\nLy = dimensi\u00f3n y de placa met\u00e1lica\nu[0,y]  = Ta\nu[Lx,y] = Tb\nu[x,0]  = Tc\nu[x,Ly] = Td<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para el planteamiento se usa una malla en la que cada nodo corresponden a los valores u<\/strong>[xi<\/sub><\/strong>,yj<\/sub><\/strong>]. Para simplificar la nomenclatura se usan los sub\u00edndices i<\/em> para el eje de las x,  j<\/em> para el eje t, quedando u<\/strong>[i<\/em>,j<\/em>].<\/p>\n\n\n\n
\"EDP<\/figure>\n\n\n\n
vista superior, plano xy:<\/p>\n\n\n\n
\"EDP<\/figure>\n\n\n\n
La ecuaci\u00f3n se cambia a la forma discreta, usando diferencias divididas que se sustituyen en la ecuaci\u00f3n, por ejemplo:<\/p>\n\n\n \\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\\Delta x)^2} + \\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\\Delta y)^2}=0 <\/span>\n\n\n\n
Se agrupan los t\u00e9rminos de los diferenciales:<\/p>\n\n\n \\frac{(\\Delta y)^2}{(\\Delta x)^2} \\Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \\Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0 <\/span>\n\n\n \\lambda \\Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \\Big)+ u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=0 <\/span>\n\n\n \\lambda u_{i+1,j} - 2\\lambda u_{i,j} + \\lambda u_{i-1,j} + u_{i,j+1} - 2 u_{i,j} + u_{i,j-1} = 0 <\/span>\n\n\n \\lambda u_{i+1,j} + (-2\\lambda-2) u_{i,j} +\\lambda u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1}=0 <\/span>\n\n\n\n
Obteniendo as\u00ed la soluci\u00f3n num\u00e9rica conceptual. La forma de resolver el problema determina el nombre del m\u00e9todo a seguir.<\/p>\n\n\n\n
Una forma de simplificar la expresi\u00f3n, es hacer \u03bb=1, es decir 
 \\lambda = \\frac{(\\Delta y)^2}{(\\Delta x)^2} = 1<\/span>, se determina que los tama\u00f1o de paso \u0394x, \u0394y son iguales.<\/p>\n\n\n u_{i+1,j}-4u_{i,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1} +u_{i,j-1} = 0 <\/span>\n\n\n\n
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EDP El\u00edpticas<\/a><\/p>\n\n\n\n
M\u00e9todo<\/p>\n\n\n\n
iterativo<\/a><\/p>\n\n\n\n
impl\u00edcito<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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