EDP Hiperb\u00f3licas<\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Chapra PT8.1 p860, Rodr\u00edguez 10.4 p435<\/p>\n\n\n\n Las E<\/strong>cuaciones D<\/strong>iferenciales P<\/strong>arciales tipo hiperb\u00f3licas <\/em><\/strong>semejantes a la mostrada, para un ejemplo en particular, representa la ecuaci\u00f3n de onda de una dimensi\u00f3n u[x,t], que representa el desplazamiento vertical de una cuerda.<\/p>\n\n\n \\frac{\\partial ^2 u}{\\partial t^2}=c^2\\frac{\\partial ^2 u}{\\partial x^2}<\/span>\n\n\n\n Los extremos de la cuerda de longitud unitaria est\u00e1n sujetos y referenciados a una posici\u00f3n 0 a la izquierda y 1 a la derecha.<\/p>\n\n\n\n u[x,t] , 0<x<1, t\u22650 Al inicio, la cuerda est\u00e1 estirada por su punto central:<\/p>\n\n\n u(x,0) = \\begin{cases} -0.5x &, 0\\lt x\\leq 0.5 \\\\ 0.5(x-1) &, 0.5\\lt x \\lt 1 \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Se suelta la cuerda, con velocidad cero desde la posici\u00f3n inicial:<\/p>\n\n\n \\frac{\\partial u(x,0)}{\\partial t} = 0<\/span>\n\n\n\n EDP Hiperb\u00f3licas<\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n La soluci\u00f3n se realiza de forma semejante al procedimiento para EDP parab\u00f3licas y el\u00edpticas. Se cambia a la forma discreta usando diferencias finitas divididas:<\/p>\n\n\n \\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\\Delta t)^2} =c^2 \\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\\Delta x)^2} <\/span>\n\n\n\n El error es del orden O(\\Delta x)^2 + O(\\Delta t)^2<\/span>. El t\u00e9rmino constante, por facilidad se simplifica con el valor de 1<\/p>\n\n\n \\lambda = \\frac{c^2 (\\Delta t)^2}{(\\Delta x)^2} =1 <\/span>\n\n\n\n si c = 2 y \u0394x = 0.2, se deduce que \u0394t = 0.1<\/p>\n\n\n\n que al sustituir en la ecuaci\u00f3n, se simplifica anulando el t\u00e9rmino u[i,j]:<\/p>\n\n\n u_{i,j+1}+u_{i,j-1} = u_{i+1,j}+u_{i-1,j} <\/span>\n\n\n\n en los que intervienen solo los puntos extremos. Despejando el punto superior del rombo:<\/p>\n\n\n u_{i,j+1} = u_{i+1,j}-u_{i,j-1}+u_{i-1,j} <\/span>\n\n\n\n Convergencia:<\/p>\n\n\n \\lambda = \\frac{c^2 (\\Delta t)^2}{(\\Delta x)^2} \\leq 1 <\/span>\n\n\n\n para simplificar a\u00fan m\u00e1s el problema, se usa la condici\u00f3n velocidad inicial de la cuerda igual a cero<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta u_{i,0}}{\\delta t}=\\frac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2\\Delta t} = 0<\/span>\n\n\n u_{i,-1}=u_{i,1}<\/span>\n\n\n\n que se usa para cuando el tiempo es cero, permite calcular los puntos para t[1]:<\/p>\n\n\n\n j=0<\/p>\n\n\n u_{i,1} = u_{i+1,0}-u_{i,-1}+u_{i-1,0} <\/span>\n\n\n u_{i,1} = u_{i+1,0}-u_{i,1}+u_{i-1,0} <\/span>\n\n\n 2 u_{i,1} = u_{i+1,0}+u_{i-1,0} <\/span>\n\n\n u_{i,1} = \\frac{u_{i+1,0}+u_{i-1,0}}{2} <\/span>\n\n\n\n Aplicando solo cuando j = 0<\/p>\n\n\n\n que al ponerlos en la malla se logra un sistema expl\u00edcito para cada u[i,j], con lo que se puede resolver con un algoritmo:<\/p>\n\n\n\n EDP Hiperb\u00f3licas<\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n con lo que se obtienen los resultados num\u00e9ricos, <\/p>\n\n\n\n EDP Hiperb\u00f3licas<\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Ejercicio - EDP Hiperb\u00f3licas<\/h2>\n\n\n\n
![\"EDP](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/10\/EDPCuerda01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
u(0,t) = 0 , t\u22650
u(1,t) = 0 , t\u22650<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
se reagrupa de la forma:<\/p>\n\n\n u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1} = \\frac{c^2 (\\Delta t)^2}{(\\Delta x)^2} \\big( u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j} \\big) <\/span>\n\n\n\n![\"EDP](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/10\/EDPCuerda02.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"EDP](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/10\/EDPCuerda03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"EDP](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/10\/EDP_hiperbolica_ani.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n
\n# Ecuaciones Diferenciales Parciales\n# Hiperb\u00f3lica. M\u00e9todo explicito\nimport numpy as np\n\ndef cuerdainicio(xi):\n n = len(xi)\n y = np.zeros(n,dtype=float)\n for i in range(0,n,1):\n if (xi[i]<=0.5):\n y[i]=-0.5*xi[i]\n else:\n y[i]=0.5*(xi[i]-1)\n return(y)\n\n# INGRESO\nx0 = 0 # Longitud de cuerda\nxn = 1\ny0 = 0 # Puntos de amarre\nyn = 0\nt0 = 0 # tiempo inicial\nc = 2 # constante EDP\n# discretiza\ntramosx = 16\ntramost = 32\ndx = (xn-x0)\/tramosx \ndt = dx\/c\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.arange(x0,xn+dx\/2,dx)\ntj = np.arange(0,tramost*dt+dt\/2,dt)\nn = len(xi)\nm = len(tj)\n\nu = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)\nu[:,0] = cuerdainicio(xi)\nu[0,:] = y0\nu[n-1,:] = yn\n# Aplicando condici\u00f3n inicial\nj = 0\nfor i in range(1,n-1,1):\n u[i,j+1] = (u[i+1,j]+u[i-1,j])\/2\n# Para los otros puntos\nfor j in range(1,m-1,1):\n for i in range(1,n-1,1):\n u[i,j+1] = u[i+1,j]-u[i,j-1]+u[i-1,j]\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision=2)\nprint('xi =')\nprint(xi)\nprint('tj =')\nprint(tj)\nprint('matriz u =')\nprint(u)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n