{"id":22013,"date":"2016-11-22T17:54:09","date_gmt":"2016-11-22T22:54:09","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=307"},"modified":"2026-04-04T10:50:13","modified_gmt":"2026-04-04T15:50:13","slug":"cadena-markov-ejemplos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/cadena-markov-ejemplos\/","title":{"rendered":"Cadena Markov - Ejemplos"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"style-scope ytd-watch-metadata\">The Strange Math That Predicts (Almost) Anything. Veritasium. 25-Julio-2025<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"The Strange Math That Predicts (Almost) Anything\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KZeIEiBrT_w?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p><strong><em>Referencia<\/em><\/strong>: Ross p192, 196-197, 216<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo 1 - Pron\u00f3stico del clima<\/h2>\n\n\n\n<p>Suponga que la posibilidad que llueva ma\u00f1ana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los d\u00edas anteriores, solo del estado del clima de hoy.<\/p>\n\n\n\n<p>Suponga tambi\u00e9n que si llueve hoy, entonces llover\u00e1 ma\u00f1ana con una probabilidad \u03b1, y&nbsp;si no llueve hoy, entonces llover\u00e1 ma\u00f1ana con una probabilidad \u03b2.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"580\" height=\"157\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/Ross_Example4_1.png\" alt=\"Ross Example4_1\" class=\"wp-image-21965\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Si se dice que el proceso esta en estado cero cuando llueve y en estado 1 cuando no llueve, entonces el problema se puede realizar con una cadena de Markov de dos estados cuyas probabilidades de transici\u00f3n se encuentran dadas por:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p=\\begin{pmatrix} \\alpha &amp; 1-\\alpha\\\\ \\beta &amp; 1-\\beta \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">(4.8) Pron\u00f3stico del clima<\/h3>\n\n\n\n<p>Considere ahora que \u03b1 = 0.7 y \u03b2 = 0.4.<br>Calcule la probabilidad que llover\u00e1 en cuatro d\u00edas a partir de hoy, dado que est\u00e1 lloviendo hoy.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"580\" height=\"167\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/Ross_Example4_8.png\" alt=\"Ross Example4_8\" class=\"wp-image-309\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Probabilidad de un paso: solo un d\u00eda, de hoy a ma\u00f1ana es p<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p=\\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0.3\\\\ 0.4 &amp; 0.6 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Soluci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p>Transiciones:<\/p>\n\n\n\n<p>Probabilidad en dos dias, pasado ma\u00f1ana: p<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p^{(2)}=\\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0.3\\\\ 0.4 &amp; 0.6 \\end{pmatrix} . \\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0.3\\\\ 0.4 &amp; 0.6 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\begin{pmatrix} (0.7)(0.7)+(0.3)(0.4) &amp; (0.7)(0.3)+(0.3)(0.6)\\\\ (0.4)(0.7)+(0.6)(0.4) &amp; (0.4)(0.3)+(0.6)(0.6) \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\begin{pmatrix} 0.61 &amp; 0.39\\\\ 0.52 &amp; 0.48\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<p>Probabilidad en tres dias: p<sup>3<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>Probabilidades en cuatro dias: p<sup>4<\/sup><\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p^{(4)} = p^{(2)} p^{(2)}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p^{(4)}= \\begin{pmatrix} 0.61 &amp; 0.39\\\\ 0.52 &amp; 0.48 \\end{pmatrix}.\\begin{pmatrix} 0.61 &amp; 0.39\\\\ 0.52 &amp; 0.48 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\begin{pmatrix} 0.5749 &amp; 0.4251\\\\ 0.5668 &amp; 0.4332 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<p>Probabilidad que este llover\u00e1 en cuatro d\u00edas, dado que est\u00e1 lloviendo hoy: p<sup>(4)<\/sup><sub>00<\/sub>= 0.5749<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>El c\u00e1lculo de la matriz elevado a la potencia n se puede resolver con la instrucci\u00f3n de Numpy:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><code>np.linalg.matrix_power(p,n)<\/code><\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\np = np.array(&#x5B;&#x5B;0.7, 0.3],\n              &#x5B;0.4, 0.6]])\nn  = 4\n# PROCEDIMIENTO\npn = np.linalg.matrix_power(p,n)\n\n# SALIDA\nprint(pn)\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&#091;&#091; 0.5749  0.4251]\n &#091; 0.5668  0.4332]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Obteniendo nuevamente el resultado p<sup>(4)<\/sup><sub>00<\/sub>= 0.5749<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>(4.20) Las probabilidades al l\u00edmite o a largo plazo se pueden encontrar escribiendo las ecuaciones para cada \u03c0<sub>i<\/sub> a partir de la matriz de transici\u00f3n p:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p=\\begin{pmatrix} \\alpha &amp; 1-\\alpha \\\\ \\beta &amp; 1-\\beta \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_0 = \\alpha \\pi_0 + \\beta \\pi_1 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_1 = (1 - \\alpha)\\pi_0 + (1 - \\beta )\\pi_1 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_0 + \\pi_1 = 1 <\/span>\n\n\n\n<p>resolviendo con las ecuaciones numeradas como (1), (2) y (3):<\/p>\n\n\n\n<p>usando ecuaci\u00f3n (1)<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> (1-\\alpha)\\pi_0= \\beta \\pi_1 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_0=\\frac{\\beta}{1-\\alpha} \\pi_1 <\/span>\n\n\n\n<p>usando ecuaci\u00f3n (3)<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\frac{\\beta}{1-\\alpha} \\pi_1 + \\pi_1 =1 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\frac{\\beta+(1-\\alpha)}{1-\\alpha} \\pi_1 = 1 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_1=\\frac{1-\\alpha}{1+\\beta-\\alpha} <\/span>\n\n\n\n<p>usando la ecuaci\u00f3n (2)<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_0=\\frac{\\beta}{(1-\\alpha)} \\frac{1-\\alpha}{(1+\\beta-\\alpha)} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\pi_0=\\frac{\\beta}{1+\\beta-\\alpha} <\/span>\n\n\n\n<p>Si \u03b1 = 0.7 y \u03b2 = 0.4 como se usaba en el ejemplo anterior, la probabilidad a largo plazo que llueva ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n<p>\u03c0<sub>0<\/sub> = 4\/7 = 0.571<br>resultado que tambi\u00e9n se obtiene en la columna 0 llevando la matriz p<sup>(n)<\/sup> a un tiempo n muy grande como en el ejemplo:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\np = np.array(&#x5B;&#x5B;0.7,0.3],\n              &#x5B;0.4,0.6]])\nn = 50\n\n# PROCEDIMIENTO\npn = np.linalg.matrix_power(p,n)\n\n# SALIDA\nprint(pn)\n<\/pre><\/div>\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&#091;&#091; 0.57142857  0.42857143]\n &#091; 0.57142857  0.42857143]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo -  Pronostico del clima con dos d\u00edas<\/h2>\n\n\n\n<p><strong><em>Referencia<\/em><\/strong>: Ross p.193, 197<\/p>\n\n\n\n<p>Suponga que si llueve o no hoy depende de las condiciones del clima de los dos \u00faltimos d\u00edas.<\/p>\n\n\n\n<p>Si ha llovido en los dos \u00faltimos d\u00edas, entonces que llueva ma\u00f1ana tiene probabilidad de 0.7;<br>si llovi\u00f3 hoy pero no ayer, entonces que llueva ma\u00f1ana tiene probabilidad de 0.5;<br>si llovi\u00f3 ayer pero no hoy, entonces que llueva ma\u00f1ana tiene probabilidad de 0.4;<br>si no ha llovido ni ayer ni hoy, entonces que llueva ma\u00f1ana tiene probabilidad de 0.2<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Soluci\u00f3n propuesta<\/h3>\n\n\n\n<p>Se puede hacer un modelo de cadena de Markov haciendo que el estado del clima ma\u00f1ana sea determinado por las condiciones de hoy y ayer:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>Estado 0: si ha llovido hoy y ayer\nEstado 1: si ha llovido hoy pero no ayer\nEstado 2: Si ha llovido ayer pero no hoy\nEstado 3: si no ha llovido ayer y tampoco hoy<\/code><\/pre>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"346\" height=\"124\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/Ross_Example4_4a.png\" alt=\"Ross Example4_4a\" class=\"wp-image-320\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para considerar los posibles estados a\u00f1adiendo los valores cuando est\u00e1 soleado, dado que el problema enuncia solo cuando llover\u00e1.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/files\/2017\/06\/Ross_Example4_4b.png\" alt=\"\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>con lo que se puede construir el diagrama de transici\u00f3n de estados:<\/p>\n\n\n\n<p>... tarea ...<\/p>\n\n\n\n<p>y la matriz de transici\u00f3n es entonces:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p= \\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0 &amp; 0.3 &amp; 0 \\\\ 0.5 &amp; 0 &amp; 0.5 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0.4 &amp; 0 &amp; 0.6 \\\\ 0 &amp; 0.2 &amp; 0 &amp; 0.8 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo - Pron\u00f3stico para pasado ma\u00f1ana<\/h2>\n\n\n\n<p>Siguiendo con el ejemplo anterior.<br>Dado que llovi\u00f3 el Lunes y Martes, \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad que llover\u00e1 el Jueves?<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Soluci\u00f3n propuesta<\/h3>\n\n\n\n<p>La matriz de transici\u00f3n permite hacer el pron\u00f3stico hasta el mi\u00e9rcoles, para el d\u00eda jueves es necesario hacer una matriz de dos pasos dada por p<sup>(2)<\/sup><\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p^{(2)}= \\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0 &amp; 0.3 &amp; 0 \\\\ 0.5 &amp; 0 &amp; 0.5 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0.4 &amp; 0 &amp; 0.6 \\\\ 0 &amp; 0.2 &amp; 0 &amp; 0.8 \\end{pmatrix} \\text{.} \\begin{pmatrix} 0.7 &amp; 0 &amp; 0.3 &amp; 0 \\\\ 0.5 &amp; 0 &amp; 0.5 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0.4 &amp; 0 &amp; 0.6 \\\\ 0 &amp; 0.2 &amp; 0 &amp; 0.8 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\begin{pmatrix} 0.49 &amp; 0.12 &amp; 0.21 &amp; 0.18 \\\\ 0.35 &amp; 0.20 &amp; 0.15 &amp; 0.30 \\\\ 0.20 &amp; 0.12 &amp; 0.20 &amp; 0.48 \\\\ 0.10 &amp; 0.16 &amp; 0.10 &amp; 0.64 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n<p>Que llueva el jueves es equivalente no importa si llovi\u00f3 o n\u00f3 el mi\u00e9rcoles, por lo que para la probabilidad del jueves se usa la probabilidad de la fila para estado 0, sumando si llovi\u00f3 o no el mi\u00e9rcoles.<\/p>\n\n\n\n<p>p(llover\u00e1 jueves, llovi\u00f3 lunes y martes)= p<sup>(2)<\/sup><sub>00<\/sub>+p<sup>(2)<\/sup><sub>01<\/sub>= = 0.49 + 0.12 = 0.61.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>Usando python para determinar p<sup>(2)<\/sup><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# 4.9 pronostico para pasado ma\u00f1ana\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\np = np.array(&#x5B;&#x5B;0.7,   0, 0.3, 0  ],\n              &#x5B;0.5,   0, 0.5, 0  ],\n              &#x5B;  0, 0.4,   0, 0.6],\n              &#x5B;  0, 0.2,   0, 0.8]])\n\n#PROCEDIMIENTO\np2 = np.linalg.matrix_power(p,2)\n\n# SALIDA\nprint(p2)\nprint('Para el jueves:', p2&#x5B;0,0]+p2&#x5B;0,1])\n<\/pre><\/div>\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&#091;&#091; 0.49  0.12  0.21  0.18]\n &#091; 0.35  0.2   0.15  0.3 ]\n &#091; 0.2   0.12  0.2   0.48]\n &#091; 0.1   0.16  0.1   0.64]]\nPara el jueves: 0.61<\/code><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>The Strange Math That Predicts (Almost) Anything. Veritasium. 25-Julio-2025 Referencia: Ross p192, 196-197, 216 Ejemplo 1 - Pron\u00f3stico del clima Suponga que la posibilidad que llueva ma\u00f1ana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los d\u00edas anteriores, solo del estado del clima de hoy. 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