{"id":22015,"date":"2016-11-10T19:41:07","date_gmt":"2016-11-11T00:41:07","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=481"},"modified":"2026-04-04T10:48:59","modified_gmt":"2026-04-04T15:48:59","slug":"valor-esperado-aleatoria-continua","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/valor-esperado-aleatoria-continua\/","title":{"rendered":"Valor Esperado de variables aleatorias cont\u00ednuas"},"content":{"rendered":"\n

Referencia<\/em><\/strong>: Ross 2.4.2 p39, Gubner 4.2 p149, Le\u00f3n-Garc\u00eda 4.3 p 155, p16<\/p>\n\n\n\n

Si X es una variable aleatoria cont\u00ednua que tiene una funci\u00f3n densidad de probabilidad f(x), el valor esperado de X se define como:<\/p>\n\n\n E[X]= \\int_{-\\infty}^{\\infty}xf(x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n

Ejemplo<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Ross 4.7.<\/p>\n\n\n\n

Sea X una variable aleatoria cont\u00ednua uniforme [a,b], encuentre el valor esperado:<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n E[X]= \\int_{-\\infty}^{\\infty} xf(x) \\delta x = \\int_{a}^{b} x\\frac{1}{b-a}\\delta x = <\/span>\n\n\n \\left. = \\frac{1}{(b-a)} \\frac{x^2}{2} \\right|_{a}^{b} = \\frac{1}{(b-a)} \\frac{b^2-a^2}{2} = <\/span>\n\n\n = \\frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \\frac{a+b}{2} <\/span>\n\n\n\n

que es el promedio simple entre a y b cuando la funci\u00f3n es uniforme.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Ejemplo<\/h2>\n\n\n\n
\"convertidor<\/figure>\n\n\n\n

Ross 4.8\/Leon-Garc\u00eda 4.20. Un convertidor anal\u00f3gico-digital o cuantizador con resoluci\u00f3n de paso \u0394 voltios redondea en la entrada el valor m\u00e1s cercano al m\u00faltiplo de \u0394 voltios como se muestra en la figura.
<\/p>\n\n\n\n

La entrada es un voltaje Vin<\/sub> de tipo aleatorio y la salida del convertidor es A\/D es Vout<\/sub>, y su desempe\u00f1o se mide por el error cuadr\u00e1tico medio:<\/p>\n\n\n\n

E[|Vin<\/sub> - Vout<\/sub>|2<\/sup>]<\/p>\n\n\n\n

Se supone que el error Vin<\/sub> - Vout<\/sub> se puede aproximar a una funci\u00f3n aleatoria uniforme [-\u0394\/2,\u0394\/2] dado que siempre el valor siempre cae en el intervalo dado. Determine el valor esperado para la se\u00f1al de entrada, y tambi\u00e9n el valor del error cuadr\u00e1tico medio.<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n: Para el intervalo centrado en el origen<\/p>\n\n\n f(x)= \\frac{1}{b-a} <\/span>\n\n\n E[X] = \\int_{-\\Delta \/2}^{\\Delta \/2} xf(x) \\delta x = <\/span>\n\n\n =\\int_{-\\Delta \/2}^{\\Delta \/2} x\\frac{1}{\\Delta \/2 - (-\\Delta \/2)} \\delta x <\/span>\n\n\n = \\int_{-\\Delta \/2}^{\\Delta \/2} \\frac{x}{\\Delta} \\delta x = \\left. \\frac{x^2}{2 \\Delta} \\right|_{-\\Delta \/2}^{\\Delta \/2} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{2\\Delta} \\big[ {\\big( \\frac{-\\Delta}{2}\\big)}^2 - {\\big( \\frac{\\Delta}{2}\\big)}^2 \\big] = 0 <\/span>\n\n\n\n

Para el error cuadr\u00e1tico medio en [a,b], a=-\u0394\/2, b=\u0394\/2<\/p>\n\n\n E[|V_{in}-V_{out}|^2] \\approx E[X^2] <\/span>\n\n\n = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 f(x) \\delta x = \\int_{a}^{b} x^2 \\frac{1}{b - a} \\delta x <\/span>\n\n\n = \\left. \\frac{1}{b-a} \\frac{x^3}{3} \\right|_{a}^{b} = \\frac{1}{b-a} \\frac{b^3-a^3}{3} = <\/span>\n\n\n = \\frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3(b-a)} <\/span>\n\n\n = \\frac{b^2+ba+a^2}{3} <\/span>\n\n\n = \\frac{({\\frac{\\Delta}{2})}^2 + {(\\frac{\\Delta}{2})}{(\\frac{-\\Delta}{2})} + {(\\frac{-\\Delta}{2})}^2}{3} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{3} \\frac{\\Delta ^2 -\\Delta^2 + \\Delta ^2}{4} = \\frac{\\Delta ^2}{12} <\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Referencia: Ross 2.4.2 p39, Gubner 4.2 p149, Le\u00f3n-Garc\u00eda 4.3 p 155, p16 Si X es una variable aleatoria cont\u00ednua que tiene una funci\u00f3n densidad de probabilidad f(x), el valor esperado de X se define como: Ejemplo Referencia: Ross 4.7. Sea X una variable aleatoria cont\u00ednua uniforme [a,b], encuentre el valor esperado: Soluci\u00f3n: que es el […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-stp-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[213],"tags":[],"class_list":["post-22015","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-stp-u01eva"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22015","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=22015"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22015\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23247,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/22015\/revisions\/23247"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=22015"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=22015"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=22015"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}