{"id":22029,"date":"2016-10-08T08:21:36","date_gmt":"2016-10-08T13:21:36","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=1656"},"modified":"2026-04-05T16:45:08","modified_gmt":"2026-04-05T21:45:08","slug":"s2eva2017tii_t1-pdf-expax","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-ejemplos\/s2eva2017tii_t1-pdf-expax\/","title":{"rendered":"s2Eva2017TII_T1 PDF exp(ax)"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>:2Eva2017TII_T1 PDF exp(ax)<\/a><\/p>\n\n\n\n

Tema 1<\/strong>. Propuesta de soluci\u00f3n<\/p>\n\n\n Y(x) = e^{-\\alpha x} <\/span>\n\n\n\n

Siendo X de tipo uniforme entre (0,T]<\/p>\n\n\n f_x(x) = \\frac{1}{T} <\/span>\n\n\n\n

Se puede calcular la funci\u00f3n de densidad por cada punto de intersecci\u00f3n al trazar una paralela al eje x que pasa por el punto y0<\/sub><\/p>\n\n\n f_Y(y) = \\sum_k \\frac{f_x(x)}{|\\frac{dy}{dx}|} \\Big|_{x=x_0} <\/span>\n\n\n\n

De la gr\u00e1fica del enunciado se encuentra que existe un solo punto de intersecci\u00f3n  (y0<\/sub>, x0<\/sub>).<\/p>\n\n\n\n

Para un valor de y0<\/sub> se encuentra su valor equivalente en x0<\/sub>,<\/p>\n\n\n y_0 = e^{-\\alpha x_0} <\/span>\n\n\n \\ln (y_0) = \\ln (e^{-\\alpha x_0}) <\/span>\n\n\n \\ln (y_0) = -\\alpha x_0 <\/span>\n\n\n x_0 = \\frac{\\ln (y_0)}{-\\alpha} <\/span>\n\n\n\n

la derivada dy\/dx ser\u00e1<\/p>\n\n\n \\frac{dy}{dx} = -\\alpha e^{-\\alpha x} <\/span>\n\n\n\n

Reemplazando en la ecuaci\u00f3n para fY<\/sub>(y):<\/p>\n\n\n f_Y(y) = \\frac{\\frac{1}{T}}{|-\\alpha e^{-\\alpha x_0}|} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T|-\\alpha e^{-\\alpha \\frac{ln(y_0)}{-\\alpha}}|} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T|-\\alpha e^{ln(y_0)}|} <\/span>\n\n\n f_Y(y) = \\frac{1}{T\\alpha y} <\/span>\n\n\n\n

los valores de x se encuentran entre (0,T], por lo que los valores de y se encuentran:<\/p>\n\n\n y_0 = e^{-\\alpha(0)} = 1 <\/span>\n\n\n y_T = e^{-\\alpha (T)} = e^{-\\alpha T}<\/span>\n\n\n\n

el rango para y se encuentra entre 1 y e-\u03b1T<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n

La funci\u00f3n de distribuci\u00f3n acumulada:<\/p>\n\n\n F_Y(y) = \\int_{1}^{y} f_Y(y) dy <\/span>\n\n\n = \\int \\frac{1}{T\\alpha y} dy <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T\\alpha} \\int \\frac{1}{y} dy <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T\\alpha} ln(y) \\Big|_{1}^{y} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T\\alpha}(ln(y) - ln(1)) <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T\\alpha}( ln(y) - 0) <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{T\\alpha}ln(y) <\/span>\n\n\n F_Y(y) = \\frac{ln(y)}{T\\alpha} <\/span>\n\n\n\n

Gr\u00e1fica:<\/strong><\/em> Para que la gr\u00e1fica tenga una forma representativa, \u03b1=-1. \"\"<\/a><\/p>\n\n\n\n

La auto-correlaci\u00f3n aplica para funciones que dependen del tiempo, con diferencias de tiempo \u03c4.<\/p>\n\n\n\n

Para \u00e9ste caso, no aplica la autocorrelaci\u00f3n. tampoco se dispone de otra variable en el problema para realizar la correlaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Instrucciones en Python para presentar las gr\u00e1ficas del problema<\/p>\n\n\n

\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nalfa = -1\nT = 1\n# Rango de x\na = 0\nb = a + T\n# muestreo\nm = 100\n\n# PROCEDIMIENTO\nfunciony = lambda x: np.exp(alfa*x)\npdf = lambda y: 1\/(T*np.abs(alfa*y))\ncdf = lambda y: np.log(y)\/(np.abs(alfa)*T)\n\nx = np.linspace(a,b,m)\nyi = funciony(x)\n\nya = funciony(alfa*a)\nyb = funciony(alfa*b)\ny = np.linspace(yb,ya,m)\n\nfy = pdf(y)\nFy = cdf(y)\n\n# SALIDA\nplt.subplot(311)\nplt.plot(x, yi,label='y')\nplt.legend()\nplt.subplot(312)\nplt.plot(y,fy, label='fy')\nplt.legend()\nplt.subplot(313)\nplt.plot(y,Fy, label='Fy')\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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