{"id":221,"date":"2017-03-04T09:10:39","date_gmt":"2017-03-04T14:10:39","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/fiec05058\/?p=221"},"modified":"2026-02-13T16:37:14","modified_gmt":"2026-02-13T21:37:14","slug":"sistemas-invarianza-en-el-tiempo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u02\/sistemas-invarianza-en-el-tiempo\/","title":{"rendered":"2.3 Sistemas Invariantes y Variantes en el tiempo con Sympy-Python"},"content":{"rendered":"\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"concepto\">1. Sistema Invariante en tiempo<\/h2>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim 1.6.5 p50, Lathi 1.7-2 p102, Hsu 1.5.F p18<\/p>\n\n\n\n<p>Si el comportamiento de un sistema y sus par\u00e1metros no cambian en el tiempo, se los denomina sistemas <em><strong>invariantes en el tiempo.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"494\" height=\"213\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/InvariantetiempoDiagrama01.png\" alt=\"Invariante tiempo Diagrama 01\" class=\"wp-image-19528\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, para un circuito RC, los valores de la resistencia y capacitor fijos no var\u00edan si se realiza un experimento o medici\u00f3n hoy o ma\u00f1ana.<\/p>\n\n\n\n<p>Expresando lo mismo como:<\/p>\n\n\n\n<p>Un sistema es invariante en el tiempo si, ante un desplazamiento de tiempo en la se\u00f1al de entrada, se ocasiona el mismo desplazamiento en el tiempo en la se\u00f1al de salida. El resultado se repite si el desplazamiento del tiempo se aplica a la salida del sistema en lugar de la entrada.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) \\rightarrow y(t) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t-t_0) \\rightarrow y(t-t_0) <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Sistemas Invariantes y Varientes en tiempo. Revisi\u00f3n con Sympy-Python. Se\u00f1ales y Sistemas\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mXfj-HT-sJA?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"sinxt\">2. Sistema con comportamiento senoidal - ejemplo<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Oppenheim 1.14 p51<\/p>\n\n\n\n<p>Para muestra de lo indicado, considere un sistema definido como:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t) = \\sin[x(t)] <\/span>\n\n\n\n<p>Para revisar si es <strong>invariante en el tiempo<\/strong>, se debe determinar si sus propiedades de mantienen para cualquier entrada ante cualquier desplazamiento t<sub>0<\/sub>.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_1 (t) = \\sin[x(t - t_0)] <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_2(t) = y(t - t_0) <\/span>\n\n\n\n<p>Suponga x<sub>1<\/sub>(t)= e<sup>(-t)<\/sup>u(t) la se\u00f1al bajo prueba, siendo x<sub>2<\/sub>(t)= e<sup>(-(t-t<sub>0<\/sub>))<\/sup>u(t-t<sub>0<\/sub>) la entrada x<sub>1<\/sub>(t) desplazada en t<sub>0<\/sub>. Haciendo t<sub>0<\/sub>=1, se puede observar en la gr\u00e1fica si al aplicar el retraso antes o despu\u00e9s del sistema tienen resultados iguales.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_1 (t) = y_2(t)<\/span>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/invarianteTiempo01.png\" alt=\"invariante Tiempo 01\" class=\"wp-image-19529\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>En \u00e9ste caso se observa que la se\u00f1al de salida se mantiene invariante en su forma y desplazada en sincron\u00eda con la se\u00f1al de entrada. Por lo que el sistema es INVARIANTE en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<p>La gr\u00e1fica y el siguiente resultado se realizaron con el algoritmo desarrollado a partir del tema anterior sobre sistemas lineales. El algoritmo se adjunta al final.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>yf:\n   \u239b -t     \u239e\nsin\u239d\u212f  \u22c5\u03b8(t)\u23a0\nyw:\n   \u239b                  -t          \u239e\nsin\u239d2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b8(t - 1.0)\u23a0\nyf(t-t0):\n   \u239b                  -t          \u239e\nsin\u239d2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b8(t - 1.0)\u23a0<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Por otro lado, si la respuesta de la se\u00f1al se modifica en el tiempo, el sistema ser\u00e1 VARIANTE en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"algoritmo\">3. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n<p>Desarrollado a partir del algoritmo usado para <a href=\"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-unidades\/ss-u02\/sistemas-lineales-y-no-lineales\/\" data-type=\"post\" data-id=\"183\">sistemas lineales y no lineales<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo 1. Sistema con comportamiento senoidal<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# entradas desplazadas en t, revisar salida\n# Revisa Invarianza en tiempo\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nequivalentes = &#x5B;{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n                'numpy']\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nx = sym.Symbol('x', real=True)\n\n# Oppenheim 1.14 p51 pdf82\nt0 = 1.0 \n# se\u00f1ales de entrada\nf = sym.exp(-t)*sym.Heaviside(t)\nw = f.subs(t,t-t0) # desplaza f\n\n# sistema\ny = sym.sin(x)\n\n# intervalo de t&#x5B;a,b] para graficar\na = 0\nb = 2*np.pi\nmuestras = 101\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Sistema sobre se\u00f1al de entrada\nyf = y.subs(x,f).doit()\nyw = y.subs(x,w).doit()\nyf0 = yf.subs(t,t-t0).doit()\n\n# Para gr\u00e1fica\nti = np.linspace(a,b,muestras)\n# se\u00f1ales de entrada\nft = sym.lambdify(t,f)\nwt = sym.lambdify(t,w)\n\n# se\u00f1ales de salida\nyft = sym.lambdify(t,yf,modules=equivalentes)\nywt = sym.lambdify(t,yw,modules=equivalentes)\nyf0t = sym.lambdify(t,yf0,modules=equivalentes)\n\n# evalua entradas ti\nfi = ft(ti)\nwi = wt(ti)\n# evalua salidas ti\nyfi = yft(ti)\nywi = ywt(ti)\nyfi0 = yf0t(ti)\n\n# SALIDA\nprint('yf:')\nsym.pprint(yf)\nprint('yw:')\nsym.pprint(yw)\nprint('yf(t-t0):')\nsym.pprint(yf0)\n<\/pre><\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"grafica\">3.1 Gr\u00e1fica con Python<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\nplt.subplot(211) # entradas\nplt.plot(ti,fi,'--', label='f(t)')\nplt.plot(ti,wi,'--',color='green',\n         label='w(t)=f(t-t0)')\n\nplt.axhline(0, color='gray')\nplt.xlabel('ti')\nplt.ylabel('entradas')\nplt.title('Sistemas Invariante: y='+str(y))\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.subplot(212) # salidas\nplt.plot(ti,yfi,'--',label='yf=y&#x5B;f(t)]')\nplt.plot(ti,ywi,'--',color='green',\n         label='yw=y&#x5B;w(t)]')\nplt.plot(ti,yfi0,'.',color='red', \n         label='yft0=yf&#x5B;t-t0]')\n\nplt.axhline(0, color='gray')\nplt.xlabel('ti')\nplt.ylabel('salidas')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"comprime\">4. Sistema comprime en tiempo. Ejemplo<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Oppenheim 1.16 p52. Hsu ejercicio 1.39 p48<\/p>\n\n\n\n<p>Considere el sistema que tiene escalamiento en el tiempo.:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t) = x(2t) <\/span>\n\n\n\n<p>y(t) es una versi\u00f3n comprimida en tiempo de x(t) en un factor de 2.<br>Los desplazamientos en el tiempo de la se\u00f1al de entrada&nbsp; al pasar por el sistema tambi\u00e9n se \"comprimen\" por un factor de 2.<\/p>\n\n\n\n<p>Haciendo f(t) = \u03bc(t+2)-\u03bc(t-2) una se\u00f1al rectangular centrada en el origen con color azul en la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n<p>Si la entrada w(t) = f(t-2)= \u03bc(t)-\u03bc(t-4) es una real rectangular desplazada en 2 (en color verde), su resultado en la salida se encuentra centrado en 1.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"554\" height=\"436\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/invarianteTiempo02.png\" alt=\"invariante Tiempo 02\" class=\"wp-image-19530\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Al desplazar el resultado de la se\u00f1al de entrada en su forma original en azul, por t0 se obtiene la se\u00f1al de salida en color rojo. Claramente los resultados de aplicar un retraso antes o despu\u00e9s del sistema son diferentes.<\/p>\n\n\n\n<p>Por lo que, por \u00e9sta raz\u00f3n el sistema <em><strong>NO es invariante en el tiempo<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>yf:\n-\u03b8(2\u22c5t - 2) + \u03b8(2\u22c5t + 2)\nyw:\n\u03b8(2\u22c5t) - \u03b8(2\u22c5t - 4.0)\nyf(t-t0):\n-\u03b8(2\u22c5t - 6.0) + \u03b8(2\u22c5t - 2.0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Siguiendo las indicaciones en el problema presentado, donde <strong>T<\/strong> se conoce como el \"<strong><em>operador lineal<\/em><\/strong>\". El sistema tiene una relaci\u00f3n de entrada-salida dada por:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t) = T{x(t)} = x(2t) <\/span>\n\n\n\n<p>y t<sub>0<\/sub> es un desplazamiento en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<p>Sea y<sub>2<\/sub>(t) la respuesta a x<sub>2<\/sub>(t) = x(t-t<sub>0<\/sub>) entonces:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">y<sub>2<\/sub>(t) = <strong>T<\/strong>{x<sub>2<\/sub>(t)} = x<sub>2<\/sub>(2t) = x(2t-t<sub>0<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n<p>Si se desplaza el resultado de la se\u00f1al de salida sin desplazar se tiene:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">y(t-t<sub>0<\/sub>) = x(2(t-t<sub>0<\/sub>)) = x(2t-2t<sub>0<\/sub>))<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">y(t-t<sub>0<\/sub>) \u2260 y<sub>2<\/sub>(t)<\/p>\n\n\n\n<p>por lo que el sistema <em><strong>no es invariante en el tiempo<\/strong><\/em>.<br>El sistema x(2t) se conoce como compresor, pues crea una secuencia de salida cada 2 valores de la secuencia de entrada.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Algoritmo en Python - Sistema comprime en tiempo<\/h3>\n\n\n\n<p>Para aplicar cambios en la variable tiempo, en el algoritmo se <strong>sustituye<\/strong> en la expresi\u00f3n de la se\u00f1al de entrada la variable t por 2t.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; first-line: 10; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nx = sym.Symbol('x', real=True)\n\n# Oppenheim 1.16 p52.Hsu ejercicio 1.39 p48\nt0 = 2.0\n# se\u00f1ales de entrada\nf = sym.Heaviside(t+2)-sym.Heaviside(t-2)\nw = f.subs(t,t-t0) # desplaza f\n\n# sistema\ny = sym.Subs(x,t,2*t,evaluate=False)\n\n# intervalo de t&#x5B;a,b] para graficar\na = -5\nb = 5\nmuestras = 101\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"multiplica\">5. Sistema multiplica por tiempo - ejemplo<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Oppenheim 1.13 p49, Oppenheim 1.17 p54, Hsu ejercicio 1.38 p47<\/p>\n\n\n\n<p>Considere el siguiente sistema, cuya salida depende del intervalo de tiempo evaluado. Los desplazamientos afectan a la se\u00f1al de salida.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t) = t x(t) <\/span>\n\n\n\n<p>Desarrollar semejante al ejercicio anterior, en forma anal\u00edtica y usando Python, para la entrada:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x(t) = \\sin (t) <\/span>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"565\" height=\"435\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/invarianteTiempo03.png\" alt=\"invariante Tiempo 03\" class=\"wp-image-19531\" \/><\/figure>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>yf:\nt\u22c5sin(t)\nyw:\nt\u22c5sin(t - 2.0)\nyf(t-t0):\n(t - 2.0)\u22c5sin(t - 2.0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Para el sistema dado, al depender su magnitud de la variable t, la salida tiende a crecer con el tiempo, por lo que se puede intuir que el sistema es inestable.<\/p>\n\n\n\n<p>Observando los resultados y la gr\u00e1fica se tiene que el sistema <strong>NO es invariante<\/strong> en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<p>Algoritmo Python - Sistema multiplica por tiempo<\/p>\n\n\n\n<p>Se actualiza el bloque de ingreso del algoritmo con las instrucciones siguientes:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; first-line: 10; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nx = sym.Symbol('x', real=True)\n\n# Oppenheim 1.13 p49.Hsu ejercicio 1.38 p47\nt0 = 2.0\n# se\u00f1ales de entrada\nf = sym.sin(t)\nw = f.subs(t,t-t0) # desplaza f\n\n# sistema\ny = t*x\n\n# intervalo de t&#x5B;a,b] para graficar\na = 0\nb = 3*np.pi\nmuestras = 101\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"deriva\">6. Sistema deriva la entrada - ejemplo<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Lathi 1.11 p103<\/p>\n\n\n\n<p>Determine la invariabilidad de tiempo del siguiente sistema<\/p>\n\n\n\n<p><span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t) = \\frac{d}{dt} x(t) <\/span>,<\/p>\n\n\n\n<p>Suponga x<sub>1<\/sub>(t)= e<sup>(-t)<\/sup>u(t), semejante a lo usado en el ejercicio 1.<\/p>\n\n\n\n<p>El desarrollo con el algoritmo muestra que el sistema resulta invariante en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"568\" height=\"436\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/invarianteTiempo04.png\" alt=\"invariante Tiempo 04\" class=\"wp-image-19532\" \/><\/figure>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>yf:\n -t         -t     \n\u212f  \u22c5\u03b4(t) - \u212f  \u22c5\u03b8(t)\nyw:\n                  -t                                -t           \n2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b4(t - 1.0) - 2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b8(t - 1.0)\nyf(t-t0):\n                  -t                                -t           \n2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b4(t - 1.0) - 2.71828182845905\u22c5\u212f  \u22c5\u03b8(t - 1.0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>En este caso, dado que la se\u00f1al de entrada tiene una funci\u00f3n escal\u00f3n, Sympy no presenta inconvenientes en realizar la derivada. Sin embargo, la operaci\u00f3n de conversi\u00f3n con Lambdify ser\u00e1 necesario a\u00f1adir la equivalencia de DiracDelta en Numpy. Por lo que la instrucci\u00f3n de Lambdify se le a\u00f1ade el par\u00e1metro para considerar los m\u00f3dulos equivalentes.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>equivalentes = &#091;{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n                'numpy']<\/code><\/pre>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Algoritmo en Python -  Sistema deriva la entrada<\/h3>\n\n\n\n<p>Se sustituye el bloque de ingreso del algoritmo por las siguientes instrucciones:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; first-line: 10; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nx = sym.Symbol('x', real=True)\n\n# Lathi 1.11 p103\nt0 = 1.0 \n# se\u00f1ales de entrada\nf = sym.exp(-t)*sym.Heaviside(t)\nw = f.subs(t,t-t0) # desplaza f\n\n# sistema\ny = sym.diff(x,t,evaluate=False)\n\n# intervalo de t&#x5B;a,b] para graficar\na = 0\nb = 2*np.pi\nmuestras = 101\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group alignwide has-medium-font-size is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-b02886af wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">invariante<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#sinxt\" data-type=\"internal\" data-id=\"#sinxt\">sin[x(t)]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#comprime\" data-type=\"internal\" data-id=\"#comprime\">comprime<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#multiplica\" data-type=\"internal\" data-id=\"#multiplica\">multiplica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#deriva\" data-type=\"internal\" data-id=\"#deriva\">deriva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-medium-font-size\"><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>invariante ejemplo: sin[x(t)] comprime multiplica deriva algoritmo gr\u00e1fica 1. Sistema Invariante en tiempo Referencia: Oppenheim 1.6.5 p50, Lathi 1.7-2 p102, Hsu 1.5.F p18 Si el comportamiento de un sistema y sus par\u00e1metros no cambian en el tiempo, se los denomina sistemas invariantes en el tiempo. Por ejemplo, para un circuito RC, los valores de la [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[166],"tags":[],"class_list":["post-221","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u02"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=221"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21488,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221\/revisions\/21488"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=221"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=221"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=221"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}