{"id":2256,"date":"2018-08-29T06:13:48","date_gmt":"2018-08-29T11:13:48","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=2256"},"modified":"2026-04-05T20:14:59","modified_gmt":"2026-04-06T01:14:59","slug":"s2eva2018ti_t1-paracaidista-wingsuit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva20\/s2eva2018ti_t1-paracaidista-wingsuit\/","title":{"rendered":"s2Eva2018TI_T1 EDO Paracaidista wingsuit"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 2Eva2018TI_T1 EDO Paracaidista wingsuit<\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Plantear con: <\/p>\n\n\n\n

[ Runge-Kutta<\/a> para f''<\/code><\/strong>(x) ]<\/p>\n\n\n\n

[ Runge-Kutta<\/a> para f'<\/strong>(x) ]<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

a. Planteamiento con Runge-Kutta 2do Orden para Segunda derivada<\/h2>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{dv}{dt} = g - \\frac{cd}{m} v^2 <\/span>\n\n\n\n

se puede plantear sustituir la variable con v = -\\frac{dy}{dt} <\/span> al considerar el sentido contrario entre la velocidad al caer y la referencia de altura hacia arriba. Ver figura.<\/p>\n\n\n \\frac{d^2y}{dt^2} = g - \\frac{cd}{m} \\Big( \\frac{dy}{dt} \\Big) ^2 <\/span>\n\n\n\n

\"Paracaidista<\/figure>\n\n\n\n

Que es una EDO de 2do orden o como 2da derivada.<\/p>\n\n\n\n

La soluci\u00f3n se propone resolver de forma simultanea para t,y,v con Runge-Kutta para segunda derivada<\/a> donde:<\/p>\n\n\n f(t,y,v) = -v <\/span>\n\n\n g(t,y,v) = g - \\frac{cd}{m} v^2 <\/span>\n\n\n\n

Al sustituir los valores de las constantes en la ecuaci\u00f3n como gravedad, masa e \u00edndice de arrastre se tiene:<\/p>\n\n\n f(t,y,v) = -v <\/span>\n\n\n g(t,y,v) = 9.8 - \\frac{0.225}{90} v^2 <\/span>\n\n\n\n

con las condiciones iniciales del ejercicio  t0<\/sub> = 0 , y0<\/sub> = 1000, v0<\/sub> = 0
la velocidad se inicia con cero, si el paracaidista se deja caer desde el borde el risco, como en el video adjunto al enunciado.<\/p>\n\n\n\n

Para las iteraciones, recuerde que
t se corrige con t+h (en el algoritmo era la posici\u00f3n para x)
y se corrige con y+K1y
v se corrige con v+K1v (en el algoritmo era la posici\u00f3n para z)<\/p>\n\n\n\n

itera = 0<\/h3>\n\n\n K1y = h f(t,y,v) = 2(-(0)) = 0 <\/span>\n\n\n K1v = h g(t,y,v) = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (0)^2) = 19.6<\/span>\n\n\n\n

..
K2y = h f(t+h, y+K1y, v + K1v) = 2(-(0 + 19.6)) = -39.2 <\/span><\/p>\n\n\n K2v = h g(t+h, y+K1y, v + K1v) = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (0+19.6)^2) =17.6792 <\/span>\n\n\n\n

..
y_1 = y_0 + \\frac{K1y+K2y}{2} = 1000 + \\frac{0-39.2}{2}= 980.4 <\/span><\/p>\n\n\n v_1 = v_0 + \\frac{K1v+K2v}{2} = 0 + \\frac{19.6-17.67}{2} = 18.63 <\/span>\n\n\n t_1 =t_0 + h = 0+2 = 2 <\/span>\n\n\n\n

ti<\/th>yi<\/th>vi<\/th>K1y<\/th>K1v<\/th>K2y<\/th>K2v<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>1000<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td><\/tr>
2<\/td>980.4<\/td>18.63<\/td>0<\/td>19.6<\/td>-39.2<\/td>17.6792<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

itera = 1<\/h3>\n\n\n K1y = 2(-(18.63)) = -37.2792 <\/span>\n\n\n K1v = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (18.63)^2) = 17.8628 <\/span>\n\n\n\n K2y =2(-(18.6396+17.8628)) =-73.00 <\/span>\n\n\n K2v = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (18.6396+17.8628)^2) =12.9378 <\/span>\n\n\n\n

..
y_2 =980.4 + \\frac{ -37.2792+(-73.00)}{2}= 925.25 <\/span><\/p>\n\n\n v_2 = 18.63 + \\frac{17.8628+12.9378}{2} = 34.0399 <\/span>\n\n\n t_2 =t_1 + h = 2+2 = 4 <\/span>\n\n\n\n

ti<\/th>yi<\/th>vi<\/th>K1y<\/th>K1v<\/th>K2y<\/th>K2v<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>1000<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td><\/tr>
2<\/td>980.4<\/td>18.63<\/td>0<\/td>19.6<\/td>-39.2<\/td>17.6792<\/td><\/tr>
4<\/td>925.25<\/td>34.0399<\/td>-37.2792<\/td>17.8628<\/td>-73.00<\/td>12.9378<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

itera = 2<\/h3>\n\n\n K1y = h f(t,y,v) = 2(-(34.0399)) = -68.0798 <\/span>\n\n\n K1v = h g(t,y,v) = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (34.0399)^2) = 13.8064 <\/span>\n\n\n\n

..
K2y = h f(t+h, y+K1y, v + K1v) = 2(-(34.0399+13.8064)) =-95.6927 <\/span><\/p>\n\n\n K2v = h g(t+h, y+K1y, v + K1v) = 2(9.8 - \\frac{0.225}{90} (34.0399+13.8064)^2) =8.1536 <\/span>\n\n\n\n

..
y_2 = 925.25 + \\frac{ -68.0798+(-95.6927)}{2}= 843.3716 <\/span><\/p>\n\n\n v_2 = 34.0399 + \\frac{13.8064+8.1536}{2} = 45.0199 <\/span>\n\n\n t_2 =t_1 + h = 4+2 = 6 <\/span>\n\n\n\n

ti<\/th>yi<\/th>vi<\/th>K1y<\/th>K1v<\/th>K2y<\/th>K2v<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>1000<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td><\/tr>
2<\/td>980.4<\/td>18.63<\/td>0<\/td>19.6<\/td>-39.2<\/td>17.6792<\/td><\/tr>
4<\/td>925.25<\/td>34.0399<\/td>-37.2792<\/td>17.8628<\/td>-73.00<\/td>12.9378<\/td><\/tr>
6<\/td>843.3716<\/td>45.0199<\/td>-68.0798<\/td>13.8064<\/td>-95.6927<\/td>8.1536<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Algoritmo con Python<\/h3>\n\n\n\n
\"paracaidista<\/figure>\n\n\n\n

Resultados: La velocidad m\u00e1xima, si no hubiese l\u00edmite en la altura, se encuentra en alrededor de 62.39 m\/s.<\/p>\n\n\n\n

Sin embargo, luego de 20 segundos se observa que la altura alcanza el valor de cero, es decir se alcanz\u00f3 tierra con velocidad de  62 m\/s, que son algo mas de 223 Km\/h, el objeto se estrella...!<\/p>\n\n\n\n

Resultados con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n

Runge-Kutta Segunda derivada\ni  [ xi,  yi,  zi ]\n   [ K1y,  K1z,  K2y,  K2z ]\n0 [   0. 1000.    0.]\n   [0. 0. 0. 0.]\n1 [  2.     980.4     18.6396]\n  [  0.      19.6    -39.2     17.6792]\n2 [  4.       925.257973  34.039945]\n  [-37.2792    17.862827 -73.004853  12.937864]\n3 [  6.       843.371672  45.019966]\n  [-68.079891  13.806411 -95.692712   8.153631]\n4 [  8.       743.865726  52.131168]\n  [ -90.039933    9.466013 -108.971959    4.75639 ]\n5 [ 10.       633.591684  56.485537]\n  [-104.262336    6.011707 -116.285749    2.697031]\n6 [ 12.       516.97369   59.069216]\n  [-112.971073    3.646921 -120.264915    1.520438]\n7 [ 14.       396.681119  60.575537]\n  [-118.138432    2.154139 -122.446709    0.858504]\n8 [ 16.       274.277023  61.445121]\n  [-121.151075    1.253021 -123.657117    0.486147]\n9 [ 18.       150.664295  61.944336]\n  [-122.890243    0.722485 -124.335213    0.275943]\n10 [20.       26.361127 62.230024]\n   [-123.888671    0.414496 -124.717664    0.15688 ]\n11 [ 22.       -98.336041  62.393224]\n   [-1.244600e+02  2.371205e-01 -1.249343e+02  8.927924e-02]\n12 [  24.       -223.257917   62.486357]\n   [-1.247864e+02  1.354280e-01 -1.250573e+02  5.083841e-02]\n13 [  26.       -348.307907   62.539475]\n   [-1.249727e+02  7.727584e-02 -1.251273e+02  2.895913e-02]\n14 [  28.       -473.430927   62.56976 ]\n   [-1.250789e+02  4.407055e-02 -1.251671e+02  1.649935e-02]\n15 [  30.       -598.595572   62.587023]\n   [-1.251395e+02  2.512592e-02 -1.251898e+02  9.401535e-03]\n16 [  32.       -723.783942   62.596863]\n   [-1.251740e+02  1.432256e-02 -1.252027e+02  5.357469e-03]\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h3>\n\n\n
\n# 2Eva_IT2018_T1 Paracaidista wingsuit\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef rungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras,\n                   vertabla=False, precision = 6):\n    ''' solucion a EDO con Runge-Kutta 2do Orden Segunda derivada,\n        x0,y0 son valores iniciales, h es tamano de paso,\n        muestras es la cantidad de puntos a calcular.\n    '''\n    tamano = muestras + 1\n    tabla = np.zeros(shape=(tamano,3+4),dtype=float)\n\n    # incluye el punto [x0,y0,z0]\n    tabla[0] = [x0,y0,z0,0,0,0,0]\n    xi = x0\n    yi = y0\n    zi = z0\n    i=0\n    if vertabla==True:\n        print('Runge-Kutta Segunda derivada')\n        print('i ','[ xi,  yi,  zi',']')\n        print('   [ K1y,  K1z,  K2y,  K2z ]')\n        np.set_printoptions(precision)\n        print(i,tabla[i,0:3])\n        print('  ',tabla[i,3:])\n    for i in range(1,tamano,1):\n        K1y = h * f(xi,yi,zi)\n        K1z = h * g(xi,yi,zi)\n        \n        K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)\n        K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)\n\n        yi = yi + (K1y+K2y)\/2\n        zi = zi + (K1z+K2z)\/2\n        xi = xi + h\n        \n        tabla[i] = [xi,yi,zi,K1y,K1z,K2y,K2z]\n        if vertabla==True:\n            txt = ' '\n            if i>=10:\n                txt='  '\n            print(str(i)+'',tabla[i,0:3])\n            print(txt,tabla[i,3:])\n    return(tabla)\n\n\n# PROGRAMA PRUEBA\n# INGRESO\nf = lambda t,y,v: -v # el signo, revisar diagrama cuerpo libre\ng = lambda t,y,v: 9.8 - (0.225\/90)*(v**2)\nt0 = 0\ny0 = 1000\nv0 = 0\nh  = 2\nmuestras = 15+1\n\n# PROCEDIMIENTO\ntabla = rungekutta2_fg(f,g,t0,y0,v0,h,muestras, vertabla=True)\nti = tabla[:,0]\nyi = tabla[:,1]\nvi = tabla[:,2]\n\n# SALIDA\n# print('tabla de resultados')\n# print(tabla)\n\n# GRAFICA\nplt.subplot(211)\nplt.plot(ti,vi,label='velocidad v(t)', color='green')\nplt.plot(ti,vi,'o')\nplt.ylabel('velocidad (m\/s)')\nplt.title('paracaidista Wingsuit con Runge-Kutta')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.subplot(212)\nplt.plot(ti,yi,label='Altura y(t)',)\nplt.plot(ti,yi,'o',)\nplt.axhline(0, color='red')\nplt.xlabel('tiempo (s)')\nplt.ylabel('Altura (m)')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plantear con: <\/p>\n\n\n\n
[ Runge-Kutta<\/a> para f''<\/code><\/strong>(x) ]<\/p>\n\n\n\n
[ Runge-Kutta<\/a> para f'<\/strong>(x) ]<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
b. Usando Runge-Kutta 2do Orden para Primera Derivada o velocidad,<\/h2>\n\n\n\n
El problema para un tiempo de observaci\u00f3n t>0, se puede dividir en dos partes: velocidad y altura.<\/p>\n\n\n\n
\"Paracaidista<\/figure>\n\n\n\n
    \n
  1. Determinar velocidad<\/strong>: Se aplica Runge-Kutta a la expresi\u00f3n con primera derivada o velocidad. Use  los valores iniciales dados, descarte calcular las alturas.<\/li>\n\n\n\n
  2. Determinar las altura<\/strong>:  Con los valores de velocidades y la altura inicial de 1 km = 1000 m puede integrar con trapecio para obtener la tabla de alturas. Se integra tramo a tramo.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
    Observe las unidades de medida y que la  velocidad es contraria  al eje de altura dy\/dt = -v.<\/p>\n\n\n\n
    \n