{"id":228,"date":"2024-10-24T09:53:20","date_gmt":"2024-10-24T14:53:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1034\/?p=228"},"modified":"2026-03-27T21:23:02","modified_gmt":"2026-03-28T02:23:02","slug":"espectro-xn-senal-discreta-en-tiempo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/espectro-xn-senal-discreta-en-tiempo\/","title":{"rendered":"2.3 Espectro x[n] - Se\u00f1al discreta en tiempo"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

espectro_n<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Espectro de frecuencias de x[n]<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 4.1.4 p129<\/p>\n\n\n\n

De forma semejante al Espectro para Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia<\/a>, se aplica el concepto de frecuencias en radiantes. El espectro permitir\u00e1 analizar las se\u00f1ales alias: alias<\/strong> principal<\/strong> junto a otros alias<\/strong> generados con\u00a0\u00b12\u03c0 en cada frecuencia. Por ejemplo, para:<\/p>\n\n\n\n

x1<\/sub>[n] = cos(0.4\u03c0 n)<\/p>\n\n\n\n

Es se\u00f1al b\u00e1sica con frecuencia en radianes en 0.4\u03c0, ser\u00eda alias principal<\/strong>, con componentes en \u00b10.4\u03c0. En el dominio discreto 'n<\/strong>', las se\u00f1ales alias se forman con cada componente desplazados en 2\u03c0k<\/strong> a la derecha y -2\u03c0k<\/strong> a la izquierda. Siendo k<\/strong> un n\u00famero entero. Para k<\/strong>=1.<\/p>\n\n\n\n

Se\u00f1al<\/td>otros alias, k=1<\/td><\/tr>
alias principal
\u03c91[n] = 0.4\u03c0<\/span><\/td>		\u03c93[n] = 0.4\u03c0 + 2\u03c0 = 2.4
\u03c94[n] = 0.4\u03c0 - 2\u03c0 = -1.6<\/span><\/td><\/tr>
alias folded
(pliegue negativo)
\u03c92[n] = - 0.4\u03c0<\/span><\/td>		\u03c95[n] = -0.4\u03c0 + 2\u03c0 = 1.6
\u03c96[n] = -0.4\u03c0 - 2\u03c0 = -2.4<\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

el espectro con se\u00f1ales alias para k=1 es:<\/p>\n\n\n\n

\"espectro<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n

espectro_n<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

El punto de partida es el algoritmo usado en Espectro para Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia<\/a>, donde las operaciones son semejantes y aplicadas al dominio 't<\/code>', que deben cambiarse al domino 'n<\/code><\/strong>'. Se aplica un cambio de variable y una bandera 'esdiscreta<\/code>' para ajustar el eje de frecuencias a radianes en el an\u00e1lisis de la funci\u00f3n cos_spectrum_list<\/strong>(x_senales)<\/code> del archivo telg1034.py<\/strong><\/code>. con lo que se logra obtener b\u00e1sicamente los resultados del espectro ajustados al nuevo dominio<\/p>\n\n\n\n

    #...<\/span>\n    for<\/span> i in<\/span> range<\/span>(0,x_conteo,1):\n        unasenal = x_senales[i]\n        \n        # revisa si unasenal es discreta con n<\/span>\n        esdiscreta = False<\/span>\n        varindepend = unasenal.free_symbols\n        if<\/span> (n in<\/span> varindepend) and<\/span> not<\/span>(t in<\/span> varindepend):\n            unasenal = unasenal.subs<\/strong>(n<\/strong>,t<\/strong>)\n            esdiscreta<\/strong> = True<\/span>\n        # analiza unasenal con t<\/span>\n        #...<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
cuando la se\u00f1al es discreta, las frecuencias consideran el factor 2\u03c0, que se separaba cuando se calculaban en Hz.<\/p>\n\n\n\n
            if<\/span> esdiscreta<\/strong>:\n                freq_k = freq_k*2*pi<\/strong>\n            x_freq_spectr.append(freq_k)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que el algoritmo se ajusta a la variable y es funcional.<\/p>\n\n\n\n
Para la secci\u00f3n gr\u00e1fica<\/strong>, se puede considerar el factor \u03c0 como un elemento a simplificar en el vector de frecuencias. Se revisa si existe el factor en el arreglo de frecuencias y se procede a separarlo dentro del algoritmo de espectro para t<\/code>. Se actualizan los valores en los resultados.<\/p>\n\n\n\n
...\n# revisa factor pi en freq_n<\/span>\nunfactor = sym.S.One ; factor_pi = False<\/span>\nfreqn_conteo = len<\/span>(freq_n)\nfor<\/span> i in<\/span> range<\/span>(0,freqn_conteo,1):\n    if<\/span> freq_n[i].has(pi):\n        factor_pi = True<\/span>\nif<\/span> factor_pi:\n    freq_n = np.array(freq_n\/pi,dtype=float<\/span>)\n    unfactor = pi\n# actualiza espectro de se\u00f1al con factor pi<\/span>\nun_espectro_n['freq_factor'<\/span>] = unfactor\nun_espectro_n['freq'<\/span>] = freq_n\n...<\/code><\/pre>\n\n\n\n
2.1 Revisi\u00f3n de se\u00f1ales \"alias\" en x_senales<\/code> en algoritmo para espectro<\/h3>\n\n\n\n
Para tener un marcador de frecuencias <\/em>alias<\/em><\/strong> en las se\u00f1ales analizadas, se compara cada frecuencia del espectro para diferentes valores de k<\/strong> en la operaci\u00f3n \u00b12\u03c0, mientras no sobrepase la frecuencia m\u00e1xima del intervalo de freq<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
...\n# aliasing, Revisa espectro de frecuencias <\/span>\nfreq_conteo = len<\/span>(freq_n)\nfreq_alias  = np.zeros(freq_conteo,dtype=bool<\/span>)\nfor<\/span> i in<\/span> range<\/span> (0,freq_conteo,1):\n    unafreq = freq_n[i]\n    k = 1\n    unalias = unafreq + k*2\n    while<\/span> unalias<=freq_max:\n        for<\/span> j in<\/span> range<\/span>(i+1,freq_conteo,1):\n            if<\/span> abs<\/span>(unalias - freq_n[j])<tolera:\n                if<\/span> abs<\/span>(freq_n[i])>abs<\/span>(freq_n[j]):\n                    freq_alias[i] = True<\/span>\n                else<\/span>:\n                    freq_alias[j] = True<\/span>\n        k = k+1\n        unalias = unafreq + k*2\nun_espectro_n['freq_alias'<\/span>] = freq_alias\n...<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se marcan las frecuencias alias en la lista freq_alias<\/code> para diferenciarlas con otro color en la gr\u00e1fica de espectro, obteniendo el resultado presentado en el ejercicio.<\/p>\n\n\n\n
2.2 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n
La se\u00f1al para el espectro se construye con los componentes alias<\/strong> presentados en la parte te\u00f3rica. Se analiza solo la se\u00f1al x4<\/sub>[n] para el espectro.<\/p>\n\n\n\n
El par\u00e1metro tolera<\/code> en el bloque de ingreso es la tolerancia para redondear los valores de frecuencia en la gr\u00e1fica cuando tienen varios d\u00edgitos decimales.<\/p>\n\n\n
\n# ejercicio 4.4 p130 Espectro de se\u00f1ales senoidales discretas\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\nimport telg1034 as dsp\n\n# variables continuas\nfrom telg1034 import t,A,w,f,p,pi,DosPi,I,equivalentes\n# variables discretas\nfrom telg1034 import n\n\n# INGRESO\nwith sym.evaluate(False): # no simplificar freq angular w >2*pi\n    x1 = sym.cos(0.4*pi*n)\n    x2 = sym.cos(1.6*pi*n)\n    x3 = sym.cos(2.4*pi*n)\n    xn = x1+x2+x3\nx_etiqueta_n = 'x[n]'\n\nfs = 60  # muestreo discreto, freq_sampling\nfs_veces = 12  # suavizar x(t), sobremuestreo\nmuestrasN = 6 + 1  # para x[n]\n\ntolera = 1e-9 # tolerancia a error, n\u00fameros iguales\n\n# PROCEDIMIENTO\ntitulo = xn # copia para titulo de grafico (antes de procesar)\n# espectro x[n]\n# Ref: Blog|Espectro-Operaciones en dominio de tiempo y frecuencia\nxn = xn.subs(pi,np.pi) # mantener valores >2pi\nx_term = dsp.x_list_term_Add(xn)\nXe_term = dsp.cos_to_euler_one_term(x_term)\nx_term_expand = dsp.euler_to_cos_list(Xe_term)\nun_espectro_n = dsp.cos_spectrum_list(x_term)\nun_espectro_n['x_expand'] = x_term_expand\n\n# espectro de cada se\u00f1al\nfreq_n = un_espectro_n['freq']\nampl_n = un_espectro_n['ampl']\nfase_n = un_espectro_n['fase']\netiq_n = np.array(un_espectro_n['etiq'])\n\n# revisa factor pi en freq_n\nunfactor = sym.S.One ; factor_pi = False\nfreqn_conteo = len(freq_n)\nfor i in range(0,freqn_conteo,1):\n    if freq_n[i].has(pi):\n        factor_pi = True\nif factor_pi:\n    freq_n = np.array(freq_n\/pi,dtype=float)\n    unfactor = pi\n# actualiza espectro de se\u00f1al con factor pi\nun_espectro_n['freq_factor'] = unfactor\nun_espectro_n['freq'] = freq_n\n\n# ancho de banda, freq_max y freq_min\nfreq_posi = freq_n[freq_n>0]\nfreq_max = float(max(freq_posi))\nfreq_min = 0\nif len(freq_posi)>0:\n    freq_min = float(min(freq_posi))\nfreq_centro = (freq_max+freq_min)\/2\nun_espectro_n['freq_max'] = freq_max\nun_espectro_n['freq_min'] = freq_min\nun_espectro_n['BW'] = freq_max-freq_min\n\n# aliasing, Revisa espectro de frecuencias \nfreq_conteo = len(freq_n)\nfreq_alias  = np.zeros(freq_conteo,dtype=bool)\nfor i in range (0,freq_conteo,1):\n    unafreq = freq_n[i]\n    k = 1\n    unalias = unafreq + k*2\n    while unalias<=freq_max:\n        for j in range(i+1,freq_conteo,1):\n            if abs(unalias - freq_n[j])<tolera:\n                if abs(freq_n[i])>abs(freq_n[j]):\n                    freq_alias[i] = True\n                else:\n                    freq_alias[j] = True\n        k = k+1\n        unalias = unafreq + k*2\nun_espectro_n['freq_alias'] = freq_alias\n\n# SALIDA\nprint('senal[n]:  ',titulo)\nprint('senal[n]:  ',xn)\nprint(' espectro:')\nfor parametro in un_espectro_n:\n    print(' ',parametro,':',un_espectro_n[parametro])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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espectro_n<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Gr\u00e1fica espectro dominio n<\/h2>\n\n\n\n
Se a\u00f1aden la gr\u00e1fica para el espectro de frecuencias ajustada al dominio n<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICAS de espectro de frecuencias discretas---------\ngraf_dx = 0.12\nfig_espectro = plt.figure()\nfreq_alias_conteo = np.sum(freq_alias)\nampl_max = float(max(ampl_n))*(1+graf_dx*2)\nfreq_max = float(max(un_espectro_n['freq_max'],1))*(1+graf_dx\/2)\n\n# grafica entorno\ngraf_fasorn = fig_espectro.add_subplot(111)\ngraf_fasorn.set_xlim([-freq_max,freq_max])\ngraf_fasorn.set_ylim([min([min(ampl_n),0]),ampl_max])\ngraf_fasorn.grid()\ngraf_fasorn.axhline(0,color='black')\ngraf_fasorn.axvline(0,linestyle='dotted',color='grey')\ntexto = '$' + sym.latex(titulo)+'$' +'  ; fs='+str(fs)\ngraf_fasorn.set_title(texto)\ngraf_fasorn.set_ylabel(x_etiqueta_n)\ngraf_fasorn.set_xlabel('freq rad')\n\n# grafica magnitud\nfreq_noalias = np.invert(freq_alias) \ngraf_fasorn.stem(freq_n[freq_noalias],ampl_n[freq_noalias],\n                 linefmt = 'C0--') #\nif freq_alias_conteo>0: # hay alias, graficar\n    graf_fasorn.stem(freq_n[freq_alias],ampl_n[freq_alias],\n                     linefmt = 'C1--', label='alias')\nfor k in range(0,len(freq_n),1): # etiquetas de fasor\n    graf_fasorn.annotate(etiq_n[k],xy=(freq_n[k],ampl_n[k]),\n                         xytext=(0,5),textcoords='offset points',\n                         ha='center')\n\n# etiquetas eje x usando unfactor\nif un_espectro_n['freq_factor'] != sym.S.One:\n    unfactor = r'$'+sym.latex(un_espectro_n['freq_factor'])+'$'\n    freq_etiq = []\n    for un_num in freq_n:\n        freq_etiq.append(f''+str(round(un_num,4))+unfactor)\n    graf_fasorn.set_xticks(ticks=freq_n,labels=freq_etiq)\n    \ngraf_fasorn.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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espectro_n<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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