{"id":2282,"date":"2018-01-16T08:10:35","date_gmt":"2018-01-16T13:10:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=2282"},"modified":"2026-04-05T21:28:34","modified_gmt":"2026-04-06T02:28:34","slug":"s2eva2016tii_t3-lti-dt-sistemas-en-serie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s2eva\/s2eva2016tii_t3-lti-dt-sistemas-en-serie\/","title":{"rendered":"s2Eva2016TII_T3 LTI DT sistemas en serie"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 2Eva2016TII_T3 LTI DT sistemas en serie<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"2E2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n S1: w[n] = \\frac{1}{2}w[n-1] + x[n]<\/span>\n\n\n S2: y[n] = \\alpha y[n-1] + \\beta w[n]<\/span>\n\n\n SG: y[n] = -\\frac{1}{8}y[n-2] + \\frac{3}{4}y[n-1]+x[n]<\/span>\n\n\n\n

usando transformada z:<\/p>\n\n\n\n

S1:<\/p>\n\n\n W(z) = \\frac{1}{2} z^{-1} W(z) + X(z)<\/span>\n\n\n W(z) - \\frac{1}{2} z^{-1} W(z) = X(z)<\/span>\n\n\n W(z)\\Big[1 - \\frac{1}{2} z^{-1} \\Big] = X(z)<\/span>\n\n\n W(z) = \\frac{ X(z)}{\\Big[1 - \\frac{1}{2} z^{-1} \\Big]}<\/span>\n\n\n\n

S2:<\/p>\n\n\n Y(z) = \\alpha z^{-1} Y(z) + \\beta W(z)<\/span>\n\n\n Y(z) - \\alpha z^{-1} Y(z) = \\beta W(z)<\/span>\n\n\n Y(z) \\Big[1 - \\alpha z^{-1} \\Big] = \\beta W(z) <\/span>\n\n\n\n

sustituyendo la ecuacion de S1 para W(z)<\/p>\n\n\n Y(z) \\Big[1 - \\alpha z^{-1} \\Big] = \\beta \\frac{ X(z)}{\\Big[1 - \\frac{1}{2} z^{-1} \\Big]} <\/span>\n\n\n Y(z) \\frac{1}{\\beta} \\Big[1 - \\alpha z^{-1} \\Big]\\Big[1 - \\frac{1}{2} z^{-1} \\Big] = X(z) <\/span>\n\n\n Y(z) \\Big[ \\frac{1}{\\beta} - \\frac{1\/2+\\alpha}{\\beta} z^{-1}+ \\frac{1}{2} \\frac{\\alpha}{\\beta} z^{-2}\\Big]= X(z) <\/span>\n\n\n\n

SG:<\/p>\n\n\n Y(z) = -\\frac{1}{8} z^{-2} Y(z) + \\frac{3}{4} z^{-1}Y(z)+X(z)<\/span>\n\n\n Y(z)+\\frac{1}{8} z^{-2} Y(z) - \\frac{3}{4} z^{-1}Y(z) = X(z)<\/span>\n\n\n Y(z)\\big[ 1 - \\frac{3}{4} z^{-1} +\\frac{1}{8} z^{-2} \\Big] = X(z)<\/span>\n\n\n\n

comparando con la ecuaci\u00f3n de S2<\/p>\n\n\n \\frac{1}{\\beta} = 1<\/span>\n\n\n \\beta = 1<\/span>\n\n\n \\frac{1}{2} \\frac{\\alpha}{\\beta} = \\frac{1}{8}<\/span>\n\n\n \\alpha = \\frac{2\\beta}{8} = \\frac{1}{4} <\/span>\n\n\n\n

comprobar con<\/p>\n\n\n - \\frac{1\/2+\\alpha}{\\beta} = \\frac{3}{4}<\/span>\n\n\n\n

se confirma que  \u03b1 = 1\/4 y \u03b2=1<\/p>\n\n\n\n

la funci\u00f3n de transferencia es:<\/p>\n\n\n Y(z)\\Big[ 1 - \\frac{3}{4} z^{-1} +\\frac{1}{8} z^{-2} \\Big] = X(z)<\/span>\n\n\n \\frac{Y(z)}{X(z)} = \\frac{1}{\\Big[ 1 - \\frac{3}{4} z^{-1} +\\frac{1}{8} z^{-2} \\Big]} <\/span>\n\n\n H(z) = \\frac{z^2}{z^2 - \\frac{3}{4} z +\\frac{1}{8}} <\/span>\n\n\n \\frac{H(z)}{z} = \\frac{z}{z^2 - \\frac{3}{4} z +\\frac{1}{8}} <\/span>\n\n\n\n

usando las raices para:<\/p>\n\n\n z^2 - \\frac{3}{4} z +\\frac{1}{8} = \\Big[ z-\\frac{1}{4}\\Big] \\Big[z-\\frac{1}{2}\\Big]<\/span>\n\n\n\n

y la parte derecha de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{z}{\\Big[ z-\\frac{1}{4}\\Big] \\Big[z-\\frac{1}{2}\\Big]} = \\frac{C_1}{z-\\frac{1}{4}}+\\frac{C_2}{z-\\frac{1}{2}}<\/span>\n\n\n\n

despejando para C1 y haciendo z=1\/4,<\/p>\n\n\n C_1 = \\frac{z}{\\Big[z-\\frac{1}{2}\\Big]} = \\frac{\\frac{1}{4}}{\\Big[\\frac{1}{4}-\\frac{1}{2}\\Big]} = -1<\/span>\n\n\n\n

despejando para C2 y haciendo z=1\/2,<\/p>\n\n\n C_2 = \\frac{z}{\\Big[z-\\frac{1}{4}\\Big]} = \\frac{\\frac{1}{2}}{\\Big[\\frac{1}{2}-\\frac{1}{4}\\Big]} = 2<\/span>\n\n\n\n

se H(z) se resume en,<\/p>\n\n\n H(z) = - \\frac{z}{z - \\frac{1}{4}} +2\\frac{z}{z-\\frac{1}{2}} <\/span>\n\n\n\n

Para obtener h[n] usando la antitransformada,<\/p>\n\n\n h[n]=z^{-1} \\Big[ H(z) \\Big] <\/span>\n\n\n h[n]=z^{-1} \\Big[- \\frac{z}{z - \\frac{1}{4}} +2\\frac{z}{z-\\frac{1}{2}} \\Big] <\/span>\n\n\n h[n]= 2 \\Big[ \\frac{1}{2}\\Big]^n \\mu [n] + \\Big[ \\frac{1}{4}\\Big]^n \\mu [n] <\/span>\n\n\n h[n]= \\Bigg[ 2 \\Big[ \\frac{1}{2}\\Big]^n - \\Big[ \\frac{1}{4}\\Big]^n \\Bigg] \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n

siendo la forma de la respuesta un impulso, es un sistema IIR.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

Usando la expresi\u00f3n H(z) se obtiene:<\/p>\n\n\n\n

 Hz:\n      2     \n     z      \n------------\n 2   3*z   1\nz  - --- + -\n      4    8\n\n Hz en fracciones parciales\n     z        2*z  \n- ------- + -------\n  z - 1\/4   z - 1\/2\n\n Hz en factores\n          2         \n         z          \n--------------------\n(z - 0.5)*(z - 0.25)\n\n {Q_polos:veces}: {1\/2: 1, 1\/4: 1}\n {P_ceros:veces}: {0: 2}\n\nestabilidad asint\u00f3tica en z:\ncirc1_dentro : 2\ncirc1_repetidos : 0\ncirc1_sobre : 0\ncirc1_fuera : 0\nunicos : 2\nrepetidos : 0\nasintota : estable\n\n h[n]:\n\/      n        n\\             \n\\- 0.25  + 2*0.5 \/*Heaviside(n)\n>>> \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
a\u00f1adiendo instrucciones para graficar h[n] se obtiene<\/p>\n\n\n\n
se\u00f1al discreta h[n]\nn   : [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]\nh[n]: [1.         0.75       0.4375     0.234375   0.12109375\n       0.06152344 0.03100586 0.01556396 0.00779724 0.00390244]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Nota<\/strong>: cuando se produzca el siguiente error con Numpy para evaluar una expresi\u00f3n con exponente negativo,<\/p>\n\n\n\n
Traceback (most recent call last):\n  File \"D:\\MATG1052Ejemplos\\Transformadaz\\ejercicio....py\", line 93, in \n    fi  = f_n(ki)\n  File \"\", line 2, in _lambdifygenerated\n    return (9\/59)*4**(-n)*Heaviside(n, 1\/2)\nValueError: Integers to negative integer powers are not allowed.<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
proceda actualizando los valores a evaluar como tipo real (dtype float), tan solo usando en la l\u00ednea de ki con lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n
ki  = np.arange(0,muestras_fn,1.0<\/strong>)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
quedando las instrucciones de la siguiente forma, que si evalua valores para realizar gr\u00e1ficas.<\/p>\n\n\n
\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/lti-dt-transformada-z-xz-fracciones-parciales-con-python\/\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as fcnm\n#sym.SYMPY_DEBUG=True\n\n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\nn = sym.Symbol('n', real=True)\n\n# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros\na0 = sym.Rational(3,4)\na1 = sym.Rational(1,8)\n\nPz = z**2\nQz = z**2-a0*z+a1\n\n#Pz = z*z**2\n#Qz = (z-1)*(z**2-(a0)*z+a1)\n\nF = Pz\/Qz\n\n# para graficar\nf_nombre = 'H'    # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc\nmuestras_fn = 10  # muestras para f[n]\n\n# PROCEDIMIENTO\nFz  = fcnm.apart_z(F)\nFz_factor = sym.factor(F.evalf())\nFz_factor = fcnm._round_float_is_int(Fz_factor)\n\n# polos y ceros de Hz\n[P,Q] = Fz.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,z)\nQ = sym.poly(Q,z)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n\nestable_z = fcnm.estabilidad_asintotica_z(Q_polos)\n\n# Inversa de transformada z\nfn = 0*n ; Fz_revisar = [] ; Qz2_term =[]\nterm_sum = sym.Add.make_args(Fz)\nfor term_k in term_sum:\n    term_kn = fcnm.inverse_z_transform(term_k,z,n)\n    if type(term_kn)==tuple:\n        fn = fn + term_kn[0]\n    elif term_kn is not None:\n        fn = fn + term_kn\n    elif term_kn is None:\n        f_noeval = f_noeval + term_k\n    Qz2 = fcnm.Q_cuad_z_parametros(term_k)\n    if Qz2:\n        Qz2_term.append(Qz2)\nfn = fn.collect(sym.Heaviside(n))\nfn = fn.collect(sym.DiracDelta(n))\nfn = fcnm._round_float_is_int(fn)\n\n# SALIDA\nprint('\\n '+f_nombre+'z:')\nsym.pprint(F)\nprint('\\n '+f_nombre+'z en fracciones parciales')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\n '+f_nombre+'z en factores')\nsym.pprint(Fz_factor)\nprint('\\n {Q_polos:veces}:',Q_polos)\nprint(' {P_ceros:veces}:',P_ceros)\nif len(Qz2_term)>0:\n    print('\\nparametros cuadraticos: ')\n    for i in range(0,len(Qz2_term),1):\n        for unterm in Qz2_term[i]:\n            print(' termino:',unterm)\n            fcnm.print_resultado_dict(Qz2_term[i][unterm])\nprint('\\nestabilidad asint\u00f3tica en z:')\nfcnm.print_resultado_dict(estable_z)\nprint('\\n '+f_nombre.lower()+'[n]:')\nsym.pprint(fn)\nif len(Fz_revisar)>0:\n    print('revisar terminos sin transformada de tabla:')\n    for un_term in Fz_revisar:\n        print(un_term)\n\n# # GRAFICA  -----------\nfig_ROC = fcnm.graficar_Fz_polos(Fz_factor,Q_polos,P_ceros,\n                      muestras=101,f_nombre=f_nombre)\n\nfig_Fz = fcnm.graficar_Fs(Fz_factor,Q_polos,P_ceros,\n                     muestras=101,\n                     f_nombre=f_nombre)\n\n# graficar f[n] -------\nf_n = sym.lambdify(n,fn.expand(),modules=fcnm.equivalentes)\nki  = np.arange(0,muestras_fn,1.0)\nfi  = f_n(ki)\n\nprint('\\nse\u00f1al discreta '+f_nombre.lower()+'[n]')\nprint('n   :',ki)\nprint(f_nombre.lower()+'[n]:',fi)\n\n# graficar f[n]\nfig_fn, grafxn = plt.subplots()\nplt.axvline(0,color='grey')\nplt.stem(ki,fi)\nplt.grid()\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel(f_nombre.lower()+'[n]')\netiqueta = r''+f_nombre.lower()+'[n]= $'+str(sym.latex(fn))+'$'\nplt.title(etiqueta)\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
 <\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Literal c<\/h2>\n\n\n\n
revisando los polos y ceros:<\/p>\n\n\n\n
ceros : z = 0  y z = 0\npolos: z=1\/4 y z=1\/2<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Dado que todos los polos se encuentran dentro del c\u00edrculo de radio unitario , el sistema es asint\u00f3ticamente estable, por lo que es BIBO o EASA estable<\/p>\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n S(z) = \\Big[ \\frac{z}{z-1} \\Big] \\frac{z^2}{z^2-\\frac{3}{4}z + \\frac{1}{8}} <\/span>\n\n\n S(z) = \\frac{z^3}{(z-1)(z-1\/4)(z-1\/2)} <\/span>\n\n\n\n
aplicando el mismo m\u00e9todo anterior, se tiene:<\/p>\n\n\n\n
# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros<\/span>\na0 = sym.Rational(3.4)\na1 = sym.Rational(1,8)\n\nPz = z*z**2\nQz = (z-1)*(z**2-(a0)*z+a1)\nF = Pz\/Qz\n\n# para graficar<\/span>\nf_nombre = 'S'    # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc<\/span>\nmuestras_fn = 10  # muestras para f[n]<\/span>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con resultado:<\/p>\n\n\n\n
 Sz:\n           3          \n          z           \n----------------------\n        \/ 2   3*z   1\\\n(z - 1)*|z  - --- + -|\n        \\      4    8\/\n\n Sz en fracciones parciales\n     z          2*z        8*z   \n----------- - ------- + ---------\n3*(z - 1\/4)   z - 1\/2   3*(z - 1)\n\n Sz en factores\n              3             \n             z              \n----------------------------\n(z - 1)*(z - 0.5)*(z - 0.25)\n\n {Q_polos:veces}: {1: 1, 1\/2: 1, 1\/4: 1}\n {P_ceros:veces}: {0: 3}\n\n s[n]:\n\/    n             \\             \n|0.25         n   8|             \n|----- - 2*0.5  + -|*Heaviside(n)\n\\  3              3\/             \n<\/code><\/pre>\n\n\n S(z) = \\frac{1}{3}\\frac{z}{z-1\/4} -2\\frac{z}{z-1\/2} + \\frac{8}{3}\\frac{z}{z-1}<\/span>\n\n\n\n
aplicando la transformada inversa<\/p>\n\n\n s(n)= \\Bigg[ \\frac{1}{3}\\Big[ \\frac{1}{4} \\Big]^n -2\\Big[\\frac{1}{2} \\Big]^n + \\frac{8}{3} \\Bigg] \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n
se\u00f1al discreta s[n]\nn   : [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]\nh[n]: [1.         1.75       2.1875     2.421875   \n 2.54296875 2.60449219 2.63549805 2.65106201 2.65885925\n 2.66276169]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3_graf_Hzpolos03\"<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2016TII_T3<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2016TII_T3 LTI DT sistemas en serie literal a usando transformada z: S1: S2: sustituyendo la ecuacion de S1 para W(z) SG: comparando con la ecuaci\u00f3n de S2 comprobar con se confirma que  \u03b1 = 1\/4 y \u03b2=1 la funci\u00f3n de transferencia es: usando las raices para: y la parte derecha de la ecuaci\u00f3n: despejando […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-ejercicios","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[187],"tags":[199],"class_list":["post-2282","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-s2eva","tag-senalessistemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2282","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2282"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2282\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23965,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2282\/revisions\/23965"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2282"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2282"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2282"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}