{"id":23068,"date":"2026-03-01T18:31:27","date_gmt":"2026-03-01T23:31:27","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=23068"},"modified":"2026-04-15T20:36:35","modified_gmt":"2026-04-16T01:36:35","slug":"curvas-ecuaciones-parametricas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/cv-unidades\/curvas-ecuaciones-parametricas\/","title":{"rendered":"1.1 Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas en 2D con Python"},"content":{"rendered":"\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#parab\u00f3lica\">Parab\u00f3lica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#circular\">Circular<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#trigonometricas\" data-type=\"internal\" data-id=\"#trigonometricas\">trigonom\u00e9tricas<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#cicloide\">cicloide<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"parabolica\">1. Ejemplo - Trayectoria parab\u00f3lica de una part\u00edcula<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image alignright size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf01.gif\" alt=\"Curvas para Ecuaciones Param\u00e9tricas gr\u00e1fico ejemplo 01\" class=\"wp-image-23130\" style=\"width:350px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Stewart 10.1 Ejemplo 1 p640<\/p>\n\n\n\n<p>Imagina que una part\u00edcula se mueve a lo largo de la curva definida por las ecuaciones param\u00e9tricas:<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x= t^2 - 2t <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y= t+1 <\/span>\n\n\n\n<p>Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [-2,4]<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"algoritmo\">1.1 Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n<p>El resultado del algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas\ni,&#091;ti,xi,yi]\n0 &#091;-2.0, 8.0, -1.0]\n1 &#091;-1.0, 3.0, 0.0]\n2 &#091;0.0, 0.0, 1.0]\n3 &#091;1.0, -1.0, 2.0]\n4 &#091;2.0, 0.0, 3.0]\n5 &#091;3.0, 3.0, 4.0]\n6 &#091;4.0, 8.0, 5.0]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Instrucciones en Python para curvas param\u00e9tricas.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# Ejercicio Stewart 10.1 p640\n# Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda t: t**2 - 2*t\nfy = lambda t: t + 1\na = -2 # intervalo entre &#x5B;a,b]\nb = 4\nmuestras = 7\ntitulo = 'Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas'\nverdecimales = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nti = np.linspace(a,b,muestras)\nxi = fx(ti)\nyi = fy(ti)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(verdecimales)\nprint(titulo)\nprint('i,&#x5B;ti,xi,yi]')\nfor i in range(0,muestras,1):\n    print(i,&#x5B;ti&#x5B;i],xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]])\n<\/pre><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"grafica\">1.2 Gr\u00e1fica con Python<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf01.gif\" alt=\"Curvas para Ecuaciones Param\u00e9tricas gr\u00e1fico ejemplo 01\" class=\"wp-image-23130\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>La gr\u00e1fica requiere a\u00f1adir muestras para suavizar la curva. Por ejemplo se crean el triple de muestras para la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# suavizar la curva\nmuestras_graf = 4*muestras\n\ntk = np.linspace(a,b,muestras_graf)\nxk = fx(tk)\nyk = fy(tk)\ndt = tk&#x5B;1]-tk&#x5B;0]\n\nplt.plot(xk,yk,label='f(x)') # suave\nplt.plot(xi,yi,'o',label='&#x5B;xi,yi]') # muestras\n\n# etiquetas\nfor i in range(0,muestras,1):\n    if muestras&lt;=10: # etiquetas de tiempo\n        plt.annotate('t='+str(np.round(ti&#x5B;i],verdecimales)),\n                     xy=&#x5B;xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]],\n                     xytext=&#x5B;xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]])\n    if muestras&lt;=10 and i&lt;muestras: # etiqueta direccion\n        plt.annotate(&quot;&quot;, xytext=(xi&#x5B;i], yi&#x5B;i]),\n                     xy=(fx(ti&#x5B;i]+dt),fy(ti&#x5B;i]+dt)),\n                     arrowprops=dict(arrowstyle=&quot;-&gt;&quot;))\n\n# entorno de grafica\nplt.axhline(0,color='gray')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('y')\nplt.legend()\nplt.title(titulo)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#parab\u00f3lica\">Parab\u00f3lica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#circular\">Circular<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#trigonometricas\" data-type=\"internal\" data-id=\"#trigonometricas\">trigonom\u00e9tricas<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#cicloide\">cicloide<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"circular\">2. Ejemplo - Trayectoria circular de una part\u00edcula<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image alignright size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf02.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas circunferencia ejemplo graf 02\" class=\"wp-image-23131\" style=\"width:350px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Stewart 10.1 Ejemplo 2 p641<\/p>\n\n\n\n<p>Considera una part\u00edcula se mueve a lo largo de la curva definida por las ecuaciones param\u00e9tricas:<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x= cos(t) <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y= sen(t) <\/span>\n\n\n\n<p>Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2\u03c0 ]<\/p>\n\n\n\n<p>Usando el algoritmo anterior, el bloque de ingreso se actualiza a:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# INGRESO\nfx = lambda t: np.cos(t)\nfy = lambda t: np.sin(t)\na = 0 # intervalo t entre &#x5B;a,b]\nb = 2*np.pi \nmuestras = 9\n<\/pre><\/div>\n\n\n<p>Obteniendo los siguientes resultados:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>i,&#091;ti,xi,yi]\n0 &#091;0.0, 1.0, 0.0]\n1 &#091;0.7853981633974483, 0.7071067811865476, 0.7071067811865476]\n2 &#091;1.5707963267948966, 6.123233995736766e-17, 1.0]\n3 &#091;2.356194490192345, -0.7071067811865475, 0.7071067811865476]\n4 &#091;3.141592653589793, -1.0, 1.2246467991473532e-16]\n5 &#091;3.9269908169872414, -0.7071067811865477, -0.7071067811865475]\n6 &#091;4.71238898038469, -1.8369701987210297e-16, -1.0]\n7 &#091;5.497787143782138, 0.7071067811865474, -0.7071067811865477]\n8 &#091;6.283185307179586, 1.0, -2.4492935982947064e-16]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Para que los ejes sean de la misma proporci\u00f3n, necesaria para dibujar el c\u00edrculo, se a\u00f1ade en la secci\u00f3n gr\u00e1fica de entorno la instrucci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>plt.axis('equal')<\/code><\/pre>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf02.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas circunferencia ejemplo graf 02\" class=\"wp-image-23131\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Sin embargo, para el caso de la circunferencia, tambi\u00e9n se puede usar gr\u00e1fica superior y lateral para observar t vs x, t vs y.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"638\" height=\"479\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf03.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas circulo t,x t,y x,y grafica 03\" class=\"wp-image-23133\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>El algoritmo requiere actualiza la parte gr\u00e1fica para incorporar los sub-gr\u00e1ficos:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# Ejercicio Stewart 10.2 p641\n# Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda t: np.cos(t)\nfy = lambda t: np.sin(t)\na = 0 # intervalo t entre &#x5B;a,b]\nb = 2*np.pi \nmuestras = 9\ntitulo = 'Curvas por ecuaciones param\u00e9tricas'\nverdecimales = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nti = np.linspace(a,b,muestras)\nxi = fx(ti)\nyi = fy(ti)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(verdecimales)\nprint(titulo)\nprint('i,&#x5B;ti,xi,yi]')\nfor i in range(0,muestras,1):\n    print(i,&#x5B;ti&#x5B;i],xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]])\n\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# suavizar la curva\nmuestras_graf = 4*muestras\n\ntk = np.linspace(a,b,muestras_graf)\nxk = fx(tk)\nyk = fy(tk)\ndt = tk&#x5B;1]-tk&#x5B;0]\n\nplt.subplot(221) # t vs x ---------\nplt.plot(xk,tk)  # suave\nplt.plot(xi,ti,'o',label='&#x5B;ti,xi]')\n# entorno de grafica\nplt.axhline(0,color='gray')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('t')\nplt.legend()\n\nplt.subplot(223) # x vs y ---------\nplt.plot(xk,yk)  # suave\nplt.plot(xi,yi,'o',label='&#x5B;xi,yi]')\n\n# etiquetas\nfor i in range(0,muestras,1):\n    if muestras&lt;=10: # etiquetas de tiempo\n        plt.annotate('t='+str(np.round(ti&#x5B;i],verdecimales)),\n                     xy=&#x5B;xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]],\n                     xytext=&#x5B;xi&#x5B;i],yi&#x5B;i]])\n    if muestras&lt;=10 and i&lt;muestras: # etiqueta direccion\n        plt.annotate(&quot;&quot;, xytext=(xi&#x5B;i], yi&#x5B;i]),\n                     xy=(fx(ti&#x5B;i]+dt),fy(ti&#x5B;i]+dt)),\n                     arrowprops=dict(arrowstyle=&quot;-&gt;&quot;))\n# entorno de grafica\nplt.axhline(0,color='gray')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('y')\nplt.legend()\n\nplt.subplot(224) # t vs y ---------\nplt.plot(tk,yk)  # suave\nplt.plot(ti,yi,'o',label='&#x5B;ti,yi]')\n# entorno de grafica\nplt.axhline(0,color='gray')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('y')\nplt.legend()\n\nplt.suptitle(titulo)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#parab\u00f3lica\">Parab\u00f3lica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#circular\">Circular<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#trigonometricas\" data-type=\"internal\" data-id=\"#trigonometricas\">trigonom\u00e9tricas<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#cicloide\">cicloide<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"trigonometricas\">3. Otras ecuaciones param\u00e9tricas<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">3.1 Ejercicio - trigonom\u00e9tricas a diferente frecuencia<\/h3>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Stewart 10.1 Ejercicio Figura 11 p643<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x= sin(9t) <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y= sen(10t) <\/span>\n\n\n\n<p>Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2\u03c0 ]<\/p>\n\n\n\n<p>Recuerde ajustar el n\u00famero de muestras para el gr\u00e1fico.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf04.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas gr\u00e1fico 04\" class=\"wp-image-23076\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">3.2 Ejercicio - suma de trigonom\u00e9tricas<\/h3>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Stewart 10.1 Ejercicio Figura 12 p643<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x= 2.3 cos(10t)+cos(23t) <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y= 2.3 sen(10t)-sen(23t) <\/span>\n\n\n\n<p>Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,2\u03c0 ]<\/p>\n\n\n\n<p>Recuerde ajustar el n\u00famero de muestras para el gr\u00e1fico.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf05.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas gr\u00e1fica 05\" class=\"wp-image-23077\" \/><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#parab\u00f3lica\">Parab\u00f3lica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#circular\">Circular<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#trigonometricas\" data-type=\"internal\" data-id=\"#trigonometricas\">trigonom\u00e9tricas<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#cicloide\">cicloide<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p id=\"cicloide\">3.3 Ejemplo Cicloide<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Stewart 10.1 Ejercicio 7 p643<\/p>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x= r(t - sin(t)) <\/span>\n\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y= r(1 - cos(t)) <\/span>\n\n\n\n<p>Realice el trazado de la curva para t en el intervalo [0,4\u03c0 ]<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# INGRESO\nr = 1\nfx = lambda t: r*(t-np.sin(t))\nfy = lambda t: r*(1-np.cos(t))\na = 0\nb = 4*np.pi\nmuestras = 9\ntitulo = 'Ecuaciones param\u00e9tricas - Cicloide'\nverdecimales = 4\n# suavizar la curva\nmuestras_graf = 4*muestras+1\n<\/pre><\/div>\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasEcuacionesParametricas_graf06_cicloide.gif\" alt=\"Curvas Ecuaciones Param\u00e9tricas cicloide gr\u00e1fica\" class=\"wp-image-23229\" \/><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#parab\u00f3lica\">Parab\u00f3lica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#algoritmo\">algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#grafica\">gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#circular\">Circular<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#trigonometricas\" data-type=\"internal\" data-id=\"#trigonometricas\">trigonom\u00e9tricas<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#cicloide\">cicloide<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Parab\u00f3lica algoritmo gr\u00e1fica Circular trigonom\u00e9tricas cicloide 1. 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