{"id":23155,"date":"2026-03-05T07:00:00","date_gmt":"2026-03-05T12:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=23155"},"modified":"2026-04-30T22:41:03","modified_gmt":"2026-05-01T03:41:03","slug":"funciones-dos-variables","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/cv-unidades\/funciones-dos-variables\/","title":{"rendered":"1.4 Funciones de dos variables - Gr\u00e1fica con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n

Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n

curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejemplo - Plano inclinado<\/h2>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Stewart 14.1 ejemplo 5 p891<\/p>\n\n\n\n

Trace la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n f(x,y) = 6-3x-2y <\/span>\n\n\n\n

La gr\u00e1fica representa un plano, cuyas intersecciones en el cada eje son: x =2, y=3 y z=6. Puntos que son referencia para el trazado de la gr\u00e1fica y que se pueden tomar como intervalos para cada eje.<\/p>\n\n\n\n

Se realiza la gr\u00e1fica para:
intervalo [0,2] en el eje x con 7 muestras,
intervalo [0,3] en el eje y con 9 muestras,<\/p>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n se a\u00f1ade el plano con z=0 como referencia visual. Observe que la matriz de puntos de muestras para el eje z=0 tiene dimensiones (muestrasy,muestrasx).<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n

Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n

curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1.1 Algoritmo en Python con wireframe<\/h3>\n\n\n
\n# Ejemplo 5 Stewart 14.1 p891\n# Funciones de dos variables\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfxy = lambda x,y: 6-3*x -2*y\nax = 0 # intervalo [ax,bx] eje x \nbx = 2\nmuestrasx = 7 # tramosx = muestrasx-1\nay = 0 # intervalo [ay,by] eje y\nby = 3\nmuestrasy = 9 # tramosy = muestrasy-1\ntitulo = 'Funciones 2 variables'\nverdecimales = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.linspace(ax,bx,muestrasx)\nyj = np.linspace(ay,by,muestrasy)\n# Malla para cada eje X,Y\nXi, Yj = np.meshgrid(xi,yj)\nF = fxy(Xi,Yj)\n# Plano XY con z=0 como referencia en gr\u00e1fica\nF0 = np.zeros((muestrasy,muestrasx),dtype=float)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(verdecimales)\nprint(titulo)\nprint('xi:')\nprint(xi)\nprint('yj:')\nprint(yj)\nprint('f(x,y):')\nprint(F)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
con el siguiente resultado:<\/p>\n\n\n\n
Funciones 2 variables\nxi:\n[0.     0.3333 0.6667 1.     1.3333 1.6667 2.    ]\nyj:\n[0.    0.375 0.75  1.125 1.5   1.875 2.25  2.625 3.   ]\nf(x,y):\n[[ 6.    5.    4.    3.    2.    1.    0.  ]\n [ 5.25  4.25  3.25  2.25  1.25  0.25 -0.75]\n [ 4.5   3.5   2.5   1.5   0.5  -0.5  -1.5 ]\n [ 3.75  2.75  1.75  0.75 -0.25 -1.25 -2.25]\n [ 3.    2.    1.    0.   -1.   -2.   -3.  ]\n [ 2.25  1.25  0.25 -0.75 -1.75 -2.75 -3.75]\n [ 1.5   0.5  -0.5  -1.5  -2.5  -3.5  -4.5 ]\n [ 0.75 -0.25 -1.25 -2.25 -3.25 -4.25 -5.25]\n [ 0.   -1.   -2.   -3.   -4.   -5.   -6.  ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.2 Gr\u00e1fica con Python<\/h3>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n
\n# GRAFICA 3D de malla ------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n \n# Malla para cada eje X,Y\nfig3D = plt.figure()\ngraf3D = fig3D.add_subplot(111, projection='3d')\n\ngraf3D.plot_wireframe(Xi,Yj,F,label='f(x,y)')\ngraf3D.plot_wireframe(Xi,Yj,F0,label='z=0', color='gray')\ngraf3D.plot(0,0,0,'ro',label='[0,0,0]')\n\n# entorno de gr\u00e1fica\ngraf3D.set_xlabel('x')\ngraf3D.set_ylabel('y')\ngraf3D.set_zlabel('z')\ngraf3D.set_title(titulo)\ngraf3D.legend()\ngraf3D.view_init(35,40) # elevaci\u00f3n, rotaci\u00f3n grados\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2. Ejemplo - paraboloide y exponencial<\/h2>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Stewart 14.1 ejemplo fig10a p892<\/p>\n\n\n\n
Use la computadora para dibujar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n f(x,y) = (x^2+3y^2) e^{-x^2-y^2}<\/span>\n\n\n\n
Se usar\u00e1n intervalos sim\u00e9tricos al origen para los ejes x, y, dado que las variables son elevadas al cuadrado se observar\u00eda simetr\u00eda respecto al origen.<\/p>\n\n\n\n
Para el trazado de la gr\u00e1fica se prefiere en \u00e9ste caso usar el tipo de superficie.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2.1 Algoritmo en Python con surface<\/h3>\n\n\n\n
Para el ejercicio no es necesario mostrar el plano xy con z=0, por lo que no se usa al cambiar la instrucci\u00f3n F0 a comentario (#).<\/p>\n\n\n\n
Se aumentan las muestras en cada eje a 21 para mejorar la resoluci\u00f3n de la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n
\n# Ejemplo Stewart 14.1 fig10a p892\n# Funciones de varias variables\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfxy = lambda x,y: (x**2+3*y**2)*np.exp(-x**2-y**2)\nax = -3 # intervalo [ax,bx] eje x \nbx = 3\nmuestrasx = 21 # tramosx = muestrasx-1\nay = -3 # intervalo [ay,by] eje y\nby = 3\nmuestrasy = 21 # tramosy = muestrasy-1\ntitulo = 'Funciones 2 variables'\nverdecimales = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.linspace(ax,bx,muestrasx)\nyj = np.linspace(ay,by,muestrasy)\n# Malla para cada eje X,Y\nXi, Yj = np.meshgrid(xi,yj)\nF = fxy(Xi,Yj)\n# Plano XY con z=0 como referencia en gr\u00e1fica\n#F0 = np.zeros((muestrasy,muestrasx),dtype=float)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(verdecimales)\nprint(titulo)\nprint('xi:')\nprint(xi)\nprint('yj:')\nprint(yj)\n#print('f(x,y):')\n#print(F)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2.2 Gr\u00e1fica de superficie con Python<\/h3>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n\n
Se actualiza la instrucci\u00f3n de la gr\u00e1fica a \"plot_surface\", indicando la paleta de colores a usar para diferenciar los valores en el eje z. <\/p>\n\n\n\n
En la paleta de colores se pueden usar varias combinaciones, como rainbow, Blues, etc.<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA 3D de superficie ------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n \n# Malla para cada eje X,Y\nfig3D = plt.figure()\ngraf3D = fig3D.add_subplot(111, projection='3d')\n\ngraf3D.plot_surface(Xi,Yj,F,label='f(x,y)',\n                    cmap=plt.cm.rainbow)\n#graf3D.plot_wireframe(Xi,Yj,F00,label='z=0', color='gray')\n#graf3D.plot(0,0,0,'ro',label='[0,0,0]')\n\n# entorno de gr\u00e1fica\ngraf3D.set_xlabel('x')\ngraf3D.set_ylabel('y')\ngraf3D.set_zlabel('z')\ngraf3D.set_title(titulo)\ngraf3D.legend()\ngraf3D.view_init(35,40) # elevaci\u00f3n, rotaci\u00f3n grados\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Ejemplo - paraboloide y exponencial en curvas de nivel<\/h2>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n\n
Un m\u00e9todo, tomado de los cart\u00f3grafos, es un mapa de contorno en el que puntos de elevaci\u00f3n constante se unen para formar curvas de contorno o curvas de nivel.<\/p>\n\n\n\n
Las curvas de nivel de una funci\u00f3n f de dos variables son las curvas con ecuaciones f(x, y) =k, donde k es una constante (en el rango de f).<\/p>\n\n\n\n
Para el ejercicio con la ecuaci\u00f3n mostrada, realizar la gr\u00e1fica con curvas de nivel<\/p>\n\n\n\n f(x,y) = (x^2+3y^2) e^{-x^2-y^2}<\/span>\n\n\n\n
\"Funciones<\/figure>\n\n\n\n
4.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n
En general el desarrollo es el mismo que para la gr\u00e1fica en 3D, sin embargo las instrucciones cambian a 2D y se usa la instrucci\u00f3n \"contour\"<\/p>\n\n\n\n
Instrucciones en Python:<\/p>\n\n\n
\n# Ejemplo Stewart 14.1 fig10a p892\n# Funciones de varias variables\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfxy = lambda x,y: (x**2+3*y**2)*np.exp(-x**2-y**2)\nax = -3 # intervalo [ax,bx] eje x \nbx = 3\nmuestrasx = 21 # tramosx = muestrasx-1\nay = -3 # intervalo [ay,by] eje y\nby = 3\nmuestrasy = 21 # tramosy = muestrasy-1\ntitulo = 'Funciones 2 variables, Curva de nivel'\nverdecimales = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.linspace(ax,bx,muestrasx)\nyj = np.linspace(ay,by,muestrasy)\n# Malla para cada eje X,Y\nXi, Yj = np.meshgrid(xi,yj)\nF = fxy(Xi,Yj)\n# Plano XY con z=0 como referencia en gr\u00e1fica\n#F0 = np.zeros((muestrasy,muestrasx),dtype=float)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(verdecimales)\nprint(titulo)\nprint('xi:')\nprint(xi)\nprint('yj:')\nprint(yj)\n#print('f(x,y):')\n#print(F)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
4.2 Gr\u00e1fica en Python para curvas de nivel<\/h3>\n\n\n\n
El gr\u00e1fico es en 2D, con instrucciones simples \"plt\" para el entorno de la gr\u00e1fica. La instrucci\u00f3n principal es plt.contour.<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA de curva de nivel ------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n \n# cs: contour surface\ncs = plt.contour(Xi,Yj,F)\nplt.clabel(cs, fontsize=10) # etiquetas de valores\n\n# entorno de gr\u00e1fica\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('y')\nplt.title(titulo)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Ejercicio - Esfera<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Stewart 14.1 ejemplo 6 p891<\/p>\n\n\n\n
Trace la gr\u00e1fica de:<\/p>\n\n\n\n g(x,y) = \\sqrt{9-x^2-y^2}<\/span>\n\n\n\n
representa una esfera en el origen de radio 3. Sin embargo g(x,y) representa solo la mitad superior de la esfera.<\/p>\n\n\n\n
Usando el algoritmo para gr\u00e1fica de superficies se obtiene:<\/p>\n\n\n\n
\"Funci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
Tarea<\/strong>: use el algoritmo de superficies y modifique lo necesario para incluir en la gr\u00e1fica la parte inferior<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Plano<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica wireframe<\/a><\/p>\n\n\n\n
Paraboloide y e(x+y)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica surface<\/a><\/p>\n\n\n\n
curvas nivel<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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