y = t^3 - 3t <\/span>\n\n\n\na. Trace la curva y su tangente.<\/p>\n\n\n\n
b. Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3,0) y encuentre sus ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n
c. Encuentre el punto C donde la recta tangente es horizontal o vertical.<\/p>\n\n\n\n
d. Determine d\u00f3nde la curva es c\u00f3ncava hacia arriba o hacia abajo.<\/p>\n\n\n\n
1.1 Desarrollo Anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n Se obtienen las derivadas a ser usadas en la gr\u00e1fica<\/p>\n\n\n\n \\frac{dx}{dt} = 2t <\/span>\n\n\n\n \\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 <\/span>\n\n\n\n \\frac{dy}{dx} =\\frac{\\frac{dy}{dt}}{\\frac{dx}{dt}} = \\frac{3t^2 - 3}{2t} <\/span>\n\n\n\nSe realizar\u00e1 la observaci\u00f3n en la gr\u00e1fica para el intervalo de tiempo entre [-2,2] con 9 muestras.<\/p>\n\n\n\n
Se selecciona un punto de ejemplo t0<\/sub> = 2 para trazar la tangente a la trayectoria en el plano xy.<\/p>\n\n\n\n \\frac{dx}{dt} = 2t = 2(2) = 4 <\/span>\n\n\n\n \\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 3(2)^2 - 3 = 9<\/span>\n\n\n\n f'(x_0) = \\frac{dy}{dx} =\\frac{9}{4} =2.25 <\/span>\n\n\n\nLa tangente se modela con la recta:<\/p>\n\n\n\n y = f'(x_0)x + b_0 <\/span>\n\n\n\nen conocimiento que para el ejercicio, la tangente pasa por el punto [x0<\/sub>,y0<\/sub>], se reemplaza y despeja b0<\/sub>,<\/p>\n\n\n\n y_0 = f'(x_0)x_0 + b_0 <\/span>\n\n\n\n b_0 = y_0 - f'(x_0)x_0 <\/span>\n\n\n\nLa ecuaci\u00f3n de la recta tangente se expresa como,<\/p>\n\n\n\n tan_{xy} = f'(x_0)x +(y_0 - f'(x_0)x_0) <\/span>\n\n\n\n tan_{xy} = f'(x_0)(x-x_0) +y_0 <\/span>\n\n\n\nSe eval\u00faan los valores para observaci\u00f3n en x0<\/sub>,y0<\/sub> para t0<\/sub>, y se reemplazan en la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n x_0 = t^2 = (2)^2 = 4 <\/span>\n\n\n\n y _0= t^3 - 3t =(2)^3-3(2) = 2<\/span>\n\n\n\n tan_{xy} = 2.25(x-4) +2 <\/span>\n\n\n\n tan_{xy} = 2.25x-7 <\/span>\n\n\n\nExpresi\u00f3n usada para trazar la gr\u00e1fica en el intervalo del eje x del ejercicio.<\/p>\n\n\n\n
1.2 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n Se usa la opci\u00f3n de tratar las ecuaciones con Sympy en forma simb\u00f3lica para obtener las derivadas de cada ecuaci\u00f3n con sym.diff().<\/p>\n\n\n\n
Para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica, se convierten con sym.lambdify() que facilita el c\u00e1lculo num\u00e9rico vectorial para las gr\u00e1ficas.<\/p>\n\n\n\n
Las expresiones algebraicas se guardan en un diccionario para ser mostradas al final del bloque de salida, o recuperarse para otro algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
Curvas param\u00e9tricas, derivadas\nfx = t**2\nfy = t**3 - 3*t\ndx\/dt = 2*t\ndy\/dt = 3*t**2 - 3\ndy\/dx = 3*(t**2 - 1)\/(2*t)\nt0,x0,y0 = [2, 4, 2]\ntan_xy = 2.25*x - 7.0\n\ni,[ti, xi, yi, dx\/dt, dy\/dt, dy\/dx]\n0 [-2.0, 4.0, -2.0, -4.0, 9.0, -2.25]\n1 [-1.5, 2.25, 1.125, -3.0, 3.75, -1.25]\n2 [-1.0, 1.0, 2.0, -2.0, 0.0, -0.0]\n3 [-0.5, 0.25, 1.375, -1.0, -2.25, 2.25]\n4 [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.0, -inf]\n5 [0.5, 0.25, -1.375, 1.0, -2.25, -2.25]\n6 [1.0, 1.0, -2.0, 2.0, 0.0, 0.0]\n7 [1.5, 2.25, -1.125, 3.0, 3.75, 1.25]\n8 [2.0, 4.0, 2.0, 4.0, 9.0, 2.25]<\/code><\/pre>\n\n\n\n# Ejercicio Stewart 10.2 Ejemplo1 p650\n# derivadas con sympy\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t')\nfx = t**2\nfy = t**3-3*t\n\na = -2 # intervalo entre [a,b]\nb = 2\nmuestras = 9\n\nt0 = 2 # Observacion en tiempo\n\ntitulo = 'Curvas param\u00e9tricas, derivadas'\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Derivadas, formula Sympy\ndxdt = sym.diff(fx,t,1)\ndydt = sym.diff(fy,t,1)\ndydx = sym.simplify(dydt\/dxdt)\n\necuacion = {'fx':fx,'fy':fy,\n 'dx\/dt':dxdt,\n 'dy\/dt':dydt,\n 'dy\/dx':dydx}\n# formula Numpy\nfx = sym.lambdify(t,fx)\nfy = sym.lambdify(t,fy)\ndxdt = sym.lambdify(t,dxdt)\ndydt = sym.lambdify(t,dydt)\ndydx = dydt(t)\/dxdt(t)\n\n# curva en intervalo [a,b]\nti = np.linspace(a,b,muestras)\nxi = fx(ti)\nyi = fy(ti)\n# derivadas\ndxdti = dxdt(ti)\ndydti = dydt(ti)\ndydxi = dydti\/dxdti\n\n# Observacion en tiempo\nx0 = fx(t0)\ny0 = fy(t0)\ndx0 = dxdt(t0)\ndy0 = dydt(t0)\ndydx0 = dy0\/dx0\n\n# tangente x,y\ntan_xy = lambda x: dydx0*(x-x0)+y0\ntan_xi = np.linspace(np.min(xi),np.max(xi),muestras)\ntan_yi = tan_xy(tan_xi)\nx = sym.Symbol('x')\necuacion['t0,x0,y0'] = [t0,x0,y0]\necuacion['tan_xy']= dydx0*(x-x0)+y0\n\n# SALIDA\nprint(titulo)\nfor una_eq in ecuacion:\n print(una_eq,'=', ecuacion[una_eq])\n \nprint('i,[ti, xi, yi, dx\/dt, dy\/dt, dy\/dx]')\nfor i in range(0,muestras,1):\n print(i,[ti[i],xi[i],yi[i],dxdti[i],dydti[i],dydxi[i]])\n<\/pre><\/div>\n\n\n1.3 Gr\u00e1fica con Python<\/h3>\n\n\n\n La gr\u00e1fica se realiza con 3 sub-gr\u00e1ficas: trayectoria (x,y), velocidad dy\/dt, velocidad dx\/dt.<\/p>\n\n\n\nSemejante a los ejercicios anteriores, se suaviza la curva aumentando el n\u00famero de muestras en tk.<\/p>\n\n\n\n
Las tangentes se trazan en el punto seleccionado en t0<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# suavizar la curva\nmuestras_graf = 5*muestras\nverdecimales = 4\n\ntk = np.linspace(a,b,muestras_graf)\nxk = fx(tk)\nyk = fy(tk)\ndt = ti[1]-ti[0]\n\ndeltay = np.abs(np.max(yi)-np.min(yi))*0.05\n\nplt.subplot(221)\nplt.plot(ti,dxdti,label='dx\/dt')\nplt.plot(ti,dxdti,'o',color='lightgray')\nplt.plot(t0,dx0,'o')\n# entorno de grafica\nplt.axvline(0,color='lightgreen',linestyle='dashed')\nplt.axhline(0,color='gray',linestyle='dotted')\nplt.ylabel('t')\nplt.legend()\n\nplt.subplot(223)\nplt.plot(xk,yk,label='x,y')\nplt.plot(xi,yi,'o',color='lightgray')\nplt.plot(x0,y0,'o')\nplt.plot(tan_xi,tan_yi,label='tangente')\n# entorno de grafica\nplt.ylim(np.min(yk)-deltay,np.max(yk)+deltay)\nplt.axhline(0,color='gray',linestyle='dashed')\nplt.axvline(0,color='gray',linestyle='dotted')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('y')\nplt.legend()\n\nplt.subplot(224)\nplt.plot(ti,dydti,label='dy\/dt')\nplt.plot(ti,dydti,'o',color='lightgray')\nplt.plot(t0,dy0,'o')\n# entorno de grafica\nplt.axhline(0,color='lightgreen',linestyle='dashed')\nplt.axvline(0,color='gray',linestyle='dotted')\nplt.xlabel('t')\nplt.legend()\n\nplt.suptitle(titulo)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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