Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Stewart 14.2 Ejemplo 3 p651<\/p>\n\n\n\n Encuentre el \u00e1rea bajo uno de los arcos de la cicloide<\/p>\n\n\n\n x = r(\\theta - \\sin(\\theta)) <\/span>\n\n\n\n y = r(1 - \\cos(\\theta)) <\/span>\n\n\n\n en el intervalo de un arco 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi <\/span><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Como la variable de integraci\u00f3n es diferente a la coordenada de posici\u00f3n x,y, por ser curva param\u00e9trica, se usa la regla de la sustituci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n Area = \\int_{0}^{2\\pi}y dx = \\int_{0}^{2\\pi}y \\frac{dx}{dt}dt<\/span>\n\n\n\n = \\int_{0}^{2\\pi} r(1 - \\cos(\\theta)) r(1-\\cos(\\theta)) d\\theta <\/span>\n\n\n\n = \\int_{0}^{2\\pi} r^2 ( 1 - \\cos(\\theta))^2 d\\theta <\/span>\n\n\n\n = r^2 \\int_{0}^{2\\pi} \\left( 1 - 2\\cos(\\theta) + \\cos ^2 (\\theta)\\right) d\\theta <\/span>\n\n\n\n = r^2 \\int_{0}^{2\\pi} \\left( 1 - 2\\cos(\\theta) + \\frac{1}{2}(1+\\cos(2\\theta)) \\right) d\\theta <\/span>\n\n\n\n = r^2 \\left( \\int_{0}^{2\\pi} \\frac{3}{2} d\\theta - \\int_{0}^{2\\pi} 2\\cos(\\theta) d\\theta + \\int_{0}^{2\\pi}\\frac{1}{2}\\cos(2\\theta) d\\theta \\right) <\/span>\n\n\n\n = r^2 \\left( \\frac{3}{2} \\theta - 2\\sin (\\theta) + \\frac{1}{4}\\sin(2\\theta)\\right) \\Big|_0^{2\\pi} <\/span>\n\n\n\n = r^2 \\left( \\frac{3}{2} 2\\pi\\right) = 3\\pi r^2 <\/span>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Ejercicio - \u00c1rea bajo arco del cicloide<\/h2>\n\n\n\n
![\"Curvas](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2026\/03\/CurvasParametricas01_Areacicloide.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo con Sympy de Python<\/h2>\n\n\n\n
Curvas param\u00e9tricas, Areas\ndxdt =\nr\u22c5(1 - cos(t))\nydx =\n 2 2\nr \u22c5(1 - cos(t)) \nydx_0 =\n 2 2 2 2\nr \u22c5cos (t) - 2\u22c5r \u22c5cos(t) + r \nI_ydx =\n 2 2 \u239bt sin(t)\u22c5cos(t)\u239e 2 \nr \u22c5t + r \u22c5\u239c\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u239f - 2\u22c5r \u22c5sin(t)\n \u239d2 2 \u23a0 \nArea =\n 2\n3\u22c5\u03c0\u22c5r <\/code><\/pre>\n\n\n\n# Ejercicio Steward 10.2 Ejemplo3 p651\n# integrales con sympy\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t')\nr = sym.Symbol('r')\nfx = r*(t-sym.sin(t))\nfy = r*(1-sym.cos(t))\n\na = 0 # intervalo entre [a,b]\nb = 2*sym.pi\nr0 = 1\n\nmuestras = 9\n\ntitulo = 'Curvas param\u00e9tricas, Areas'\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Integrales, formula Sympy\ndxdt = sym.diff(fx,t,1) # dx\/dt\nydx = fy*dxdt # fy*dx dentro de integral\nydx_0 = sym.expand(ydx) # como terminos suma\nI_ydx = sym.integrate(ydx_0,t) # integrado por evaluar\nArea = sym.integrate(ydx_0,(t,a,b)) # integrado con intervalo\n\n# formulas Numpy\nfx = fx.subs(r,r0)\nfy = fy.subs(r,r0)\nfx = sym.lambdify(t,fx)\nfy = sym.lambdify(t,fy)\nb = float(b.subs(sym.pi,np.pi))\n\n# SALIDA\nprint(titulo)\nprint('dxdt','=')\nsym.pprint(dxdt)\nprint('ydx','=')\nsym.pprint(ydx)\nprint('ydx_0','=')\nsym.pprint(ydx_0)\nprint('I_ydx','=')\nsym.pprint(I_ydx)\nprint('Area','=')\nsym.pprint(Area)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n