{"id":24519,"date":"2024-12-17T11:02:00","date_gmt":"2024-12-17T16:02:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=24519"},"modified":"2026-05-07T12:31:55","modified_gmt":"2026-05-07T17:31:55","slug":"dft-transformada-fourier-discreta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/dft-transformada-fourier-discreta\/","title":{"rendered":"3.1 DFT - Transformada de Fourier Discreta -"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

DFT<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Transformada de Fourier Discreta<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Chapra 19.5 p556<\/p>\n\n\n\n

Una funci\u00f3n representada por valores muestra o discretos se puede dividir en intervalos de 0 a t en N sub-intervalos de igual tama\u00f1o \u0394t=T\/N.<\/p>\n\n\n\n

La transformada discreta de Fourier se escribe como:<\/p>\n\n\n\n

\n F_k = \\sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i \\omega_0 n}<\/span>\n\n\n\n

k = 0 a N-1<\/p>\n\n\n\n

y la transformada inversa como:<\/p>\n\n\n\n f_n = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} F_k e^{i \\omega_0 n}<\/span>\n\n\n\n

n = 0 a N-1<\/p>\n\n\n\n

donde \u03c90<\/sub>= 2\u03c0\/N<\/p>\n<\/div>

\"Muestras<\/figure><\/div>\n\n\n\n

La DTF requiere N2<\/sup> operaciones complejas. Observe que el factor 1\/N es un factor de escala que se puede incluir en una ecuaci\u00f3n pero No en ambas<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

2. Ejercicio para DTF<\/h2>\n\n\n\n

Para las muestras de la funci\u00f3n coseno, realizar la transformada discreta de Fourier.<\/p>\n\n\n\n f_n = cos(2 \\pi 12.5 t)<\/span>\n\n\n\n

considere f0<\/sub>=12.5, \u0394t=0.01, N=16.<\/p>\n\n\n\n

3. Algoritmo<\/h2>\n\n\n\n

El algoritmo calcula las muestras para f(t) que se usan en el procedimiento de la transformada seg\u00fan la f\u00f3rmula dada.<\/p>\n\n\n\n

El factor 1\/N se usar\u00e1 en la primer expresi\u00f3n, para que el primer coeficiente F0 sea igual a la media aritm\u00e9tica de las muestras.<\/p>\n\n\n\n

El resultado a mostrar para el ejemplo es:<\/p>\n\n\n\n

[[ k, fi[k], k_real, k_imag ]]\n[[ 0.          1.          0.          0.        ]\n [ 1.          0.70710678  0.          0.        ]\n [ 2.          0.          0.5         0.        ]\n [ 3.         -0.70710678  0.          0.        ]\n [ 4.         -1.          0.          0.        ]\n [ 5.         -0.70710678  0.          0.        ]\n [ 6.          0.          0.          0.        ]\n [ 7.          0.70710678  0.          0.        ]\n [ 8.          1.          0.          0.        ]\n [ 9.          0.70710678  0.          0.        ]\n [10.          0.          0.          0.        ]\n [11.         -0.70710678  0.          0.        ]\n [12.         -1.          0.          0.        ]\n [13.         -0.70710678  0.          0.        ]\n [14.          0.          0.5         0.        ]\n [15.          0.70710678  0.          0.        ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Las instrucciones en Python son:<\/p>\n\n\n
\n DFT Transformada Discreta de Fourier\n# Ref. Chapra 5ed 19.5 p556\nimport sympy as sym\nimport numpy as np\n \n# INGRESO\nN = 16\nf0 = 12.5\nfx = lambda t: np.cos(2*np.pi*f0*t)\ndt = 0.01\n\n# fx Discreta, N muestras, tramos dt\nti = np.arange(0,N*dt,dt)\nfi = fx(ti)\n\n# PROCEDIMIENTO\ncasicero = 1e-14 # valores son cero\nverdigitos = 4 # ver digitos en la tabla\n#np.set_printoptions(4,legacy="1.25") # no muestra tipo datos\n\nw0 = 2*np.pi\/N\ntabla = []\nfor k in range(0,N,1): # [0,N)=[0,N-1]\n    k_real = 0\n    k_imag = 0\n    for n in range(0,N,1): # [0,N)=[0,N-1]\n        angulo = k*w0*n\n        k_real = k_real + fi[n]*np.cos(angulo)\/N\n        k_imag = k_imag + fi[n]*np.sin(angulo)\/N\n    tabla.append([k,fi[k],k_real,k_imag])\n\ntabla = np.array(tabla,dtype=float)\n# revisa casicero\ntabla = np.where(abs(tabla) < casicero, 0, tabla)\n\n# SALIDA\nprint("[[ k, fi[k], k_real, k_imag ]]")\nprint(tabla)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
4. Gr\u00e1fica<\/h2>\n\n\n\n
\"DFT<\/figure>\n\n\n
\n# GRAFICA ---------\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfs_veces = 10 # suavizar x(t), sobremuestreo\n# muestreo x(t)\ndtc = dt\/fs_veces # sobremuestreo para x(t)\ntj = np.arange(0,N*dt + dtc, dtc)\nfj = fx(tj)\n\nplt.subplot(211)\nplt.plot(tj,fj,color="gray",label='f(t)')\nplt.stem(ti,fi,linefmt = 'C0:', label='f[n]')\nplt.xlabel('t')\nplt.legend()\n\nplt.subplot(212)\nplt.stem(tabla[:,2], linefmt = 'C1:',label='k_real')\nplt.stem(tabla[:,3], linefmt = 'C2:',label='k_imag')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('|k|')\nplt.legend()\n<\/pre><\/div>\n\n\n

El Algoritmo M\u00e1s Importante De Todos Los Tiempos. Veritasium. 21 enero 2023.<\/p>\n\n\n\n
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