{"id":25722,"date":"2026-09-08T15:00:00","date_gmt":"2026-09-08T20:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=25722"},"modified":"2026-09-09T08:13:26","modified_gmt":"2026-09-09T13:13:26","slug":"s3eva2026paoi_t1-trayectoria-parametrica-cerca-origen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2026paoi_t1-trayectoria-parametrica-cerca-origen\/","title":{"rendered":"s3Eva2026PAOI_T1 Trayectoria param\u00e9trica cerca a origen"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2026PAOI_T1 Trayectoria param\u00e9trica cerca a origen<\/a><\/p>\n\n\n\n

La trayectoria de un objeto se describe por las ecuaciones param\u00e9tricas mostradas.<\/p>\n\n\n\n x(t)=2.3 \\cos(10t) + \\cos(23t)<\/span>\n\n\n\n y(t)=2.3sen(10t)-sen(23t)<\/span>\n\n\n\n

intervalo entre [\u03c0\/2, 19\u03c0\/32]<\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Realice el planteamiento:<\/p>\n\n\n\n

Se empieza por determinar la distancia de cada punto en la trayectoria al origen [0,0]<\/p>\n\n\n\n

d2<\/sup>= (x2<\/sub>-x1<\/sub>)2<\/sup> +(y2<\/sub>-y1<\/sub>)2<\/sup><\/p>\n\n\n\n d = \\sqrt{\\left(2.3 \\cos(10t) + \\cos(23t)-0\\right)^2+\\left( 2.3sen(10t)-sen(23t)-0\\right)^2} <\/span>\n\n\n\n d = \\sqrt{\\left(2.3 \\cos(10t) + \\cos(23t)\\right)^2+\\left( 2.3sen(10t)-sen(23t)\\right)^2} <\/span>\n\n\n\n

Para encontrar el punto mas cercano se observa el comportamiento de la gr\u00e1fica dentro del intervalo dada en el enunciado del ejercicio:<\/p>\n\n\n\n

\n
\n
\"Trayectoria<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

Se observa que existen dos m\u00ednimos dentro del intervalo, por lo que para el an\u00e1lisis se reduce el intervalo a [\u03c0\/2, 1.65] enfocando el algoritmo a la primera ra\u00edz.<\/p>\n\n\n\n

Para encontrar el m\u00ednimo se obtienen la derivada de la distancia dfd<\/code> que se puede simplificar usando las tablas trigonom\u00e9tricas<\/a>. Tambi\u00e9n es posible realizar la operaci\u00f3n con asistencia de la instrucci\u00f3n sym.diff()<\/a> de Sympy usadas desde la unidad 1 para el Polin\u00f3mio de Taylor y simplificar la expresi\u00f3n con sym.simplify()<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

\n# trayectoria avion y distancia a origen\n# literal a\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t')\nfx = 2.3*sym.cos(10*t)+sym.cos(23*t)\nfy = 2.3*sym.sin(10*t)-sym.sin(23*t)\nfd = sym.sqrt(fx**2 + fy**2)\n\n# PROCEDIMIENTO\nfd_s = sym.simplify(fd)\ndfd = sym.diff(fd_s,t,1)\ndfd_s = sym.simplify(dfd)\n\n# SALIDA\nprint('fd: ',fd)\nprint('fd simplificado:')\nsym.pprint(fd_s)\nprint("fd':")\nsym.pprint(dfd_s)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
con lo que se obtiene la expresi\u00f3n para la b\u00fasqueda de ra\u00edces:<\/p>\n\n\n\n
fd:  sqrt((2.3*sin(10*t) - sin(23*t))**2 + (2.3*cos(10*t) + cos(23*t))**2)\nfd simplificado:\n                   _______________________________________\n8.57904423581089\u22c5\u2572\u2571 0.0625\u22c5cos(33\u22c5t) + 0.0854619565217391 \nfd':\n      -8.84713936817998\u22c5sin(33\u22c5t)        \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  _______________________________________\n\u2572\u2571 0.0625\u22c5cos(33\u22c5t) + 0.0854619565217391 <\/code><\/pre>\n\n\n\n
literal b<\/h2>\n\n\n\n
Se puede utilizar un m\u00e9todo num\u00e9rico, se escoge Bisecci\u00f3n por ser el m\u00e1s b\u00e1sico que el estudiante aprendi\u00f3 en la primeras clases. Aunque se espera que seleccione uno m\u00e1s eficiente.<\/p>\n\n\n\n
Siendo la fd' para obtener el cruce por cero, se tiene que:<\/p>\n\n\n\n  f(t) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33t)}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 t) + 0.0854619565217391}}<\/span>\n\n\n\n
Se valida el intervalo revisando el cambio de signo:<\/p>\n\n\n\n  f \\left(\\frac{\\pi}{2} \\right) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33\\left(\\frac{\\pi}{2} \\right))}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 \\left(\\frac{\\pi}{2} \\right)) + 0.0854619565217391}} = -30.2633<\/span>\n\n\n\n  f(1.65) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33(1.65))}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 (1.65)) + 0.0854619565217391}}= 32.8955 <\/span>\n\n\n\n
con lo que se comprueba el cambio de signo dentro del intervalo seleccionado. Se inician las iteraciones<\/p>\n\n\n\n
itera 0<\/h3>\n\n\n\n
a=\u03c0\/2, b = 1.65<\/p>\n\n\n\n c = \\frac{a+b}{2} = \\frac{\\frac{\\pi}{2}+1.65}{2} = 1.6104<\/span>\n\n\n\n  f(1.6104) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33(1.6104))}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 (1.6104)) + 0.0854619565217391}}= -14.5607 <\/span>\n\n\n\n
cambio de signo a la derecha:  a=1.6104,b =1.65<\/p>\n\n\n\n
tramo = |1.65-1.6104| = 0.03960<\/p>\n\n\n\n
itera 1<\/h3>\n\n\n\n
a=1.6104, b = 1.65<\/p>\n\n\n\n c =\\frac{1.6104+1.65}{2} = 1.6302<\/span>\n\n\n\n f(1.6302) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33(1.6302))}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 (1.6302)) + 0.0854619565217391}}= 20.2057 <\/span>\n\n\n\n
cambio de signo a la izquierda: a=1.6104,b =1.6302<\/p>\n\n\n\n
tramo = |1.6302-1.6104| = 0.01980<\/p>\n\n\n\n
itera 2<\/h3>\n\n\n\n
a=1.6104, b = 1.6302<\/p>\n\n\n\n c = \\frac{1.6104+1.6302}{2} = 1.6203<\/span>\n\n\n\n f(1.6203) = \\frac{-8.84713936817998 \\sin(33(1.6203))}{\\sqrt{0.0625\\cos(33 (1.6203)) + 0.0854619565217391}}= 3.6532 <\/span>\n\n\n\n
cambio de signo a la izquierda: a=1.6104,b =1.6203<\/p>\n\n\n\n
tramo = |1.6203-1.6104| = 0.0099<\/p>\n\n\n\n
Aun el error o tramo es mayor que la tolerancia del ejercicio de 10-3<\/sup>, por lo que el valor final se lo obtiene usando el algoritmo<\/p>\n\n\n\n
literal c<\/h2>\n\n\n\n
Revisando los errores seg\u00fan los tramos en cada iteraci\u00f3n, estos disminuyen, por lo que el m\u00e9todo converge. Seg\u00fan la tabla de resultados.txt la ra\u00edz se encuentra en ra\u00edz en 1.6184 con error de 0.0006187<\/p>\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
los resultados del algoritmo se presentan como:<\/p>\n\n\n\n
m\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n\ni ['a', 'c', 'b'] ['f(a)', 'f(c)', 'f(b)']\n   tramo\n0 [1.5708 1.6104 1.65  ] [-30.2633 -14.5607  32.8955]\n   0.03960183660255168\n1 [1.6104 1.6302 1.65  ] [-14.5607  20.2057  32.8955]\n   0.019800918301275727\n2 [1.6104 1.6203 1.6302] [-14.5607   3.6532  20.2057]\n   0.009900459150637753\n3 [1.6104 1.6153 1.6203] [-14.5607  -5.8224   3.6532]\n   0.004950229575318765\n4 [1.6153 1.6178 1.6203] [-5.8224 -1.1031  3.6532]\n   0.0024751147876593826\n5 [1.6178 1.6191 1.6203] [-1.1031  1.2804  3.6532]\n   0.0012375573938296913\n6 [1.6178 1.6184 1.6191] [-1.1031  0.0888  1.2804]\n   0.0006187786969147346\nf: -8.84713936817998*sin(33*t)\/sqrt(0.0625*cos(33*t) + 0.0854619565217391)\nM\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n\niteraciones: 7\nra\u00edz en:  1.6184422864573413\nerrado: 0.0006187786969147346<\/code><\/pre>\n\n\n\n
la gr\u00e1fica de b\u00fasqueda de ra\u00edz es:<\/p>\n\n\n\n
\"Trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n\n
Continua a partir de literal a y el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n publicado como funci\u00f3n para observar la tabla y valores a usar en las iteraciones.<\/p>\n\n\n
\n# Tema 1 trayectoria avion y distancia a origen\n# M\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n\n# [a,b] se seleccionan de la gr\u00e1fica de f(x)\nimport numpy as np\n# INGRESO\nf = sym.lambdify(t,dfd)\n\n# intervalo grafica\na0 = np.pi\/2\nb0 = np.pi*19\/32\n\n# intervalo bUsqueda de raiz\na = np.pi\/2\nb = 1.65\nmuestras = 41\ntolera = 0.001\nverdigitos=4\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef biseccion(fx,a,b,tolera,iteramax = 50,\n                    vertabla=False, precision=6):\n    '''Algoritmo de Bisecci\u00f3n\n    Los valores de [a,b] son seleccionados\n    desde la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n\n    error = tolera\n    '''\n    fa = fx(a)\n    fb = fx(b)\n    tramo = np.abs(b-a)\n    itera = 0\n    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fb)\n    tabla=[]\n \n    if cambia<0: # existe cambio de signo f(a) vs f(b)\n        if vertabla==True:\n            print('m\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n')\n            print('i', ['a','c','b'],[ 'f(a)', 'f(c)','f(b)'])\n            print('  ','tramo')\n            np.set_printoptions(precision)\n              \n        while (tramo>=tolera and itera<=iteramax):\n            c = (a+b)\/2\n            fc = fx(c)\n            cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)\n            unafila = np.array([a,c,b,fa,fc,fb])\n            if (cambia<0):\n                b = c\n                fb = fc\n            else:\n                a = c\n                fa = fc\n            tramo = np.abs(b-a)\n            unafila = np.concatenate([unafila,[tramo]],axis=0)\n            tabla.append(unafila)\n            if vertabla==True:\n                print(itera,unafila[0:3],unafila[3:6])\n                print('  ',tramo)\n            itera = itera + 1\n        respuesta = c\n        # Valida respuesta\n        if (itera>=iteramax):\n            respuesta = np.nan\n  \n    else: \n        print(' No existe cambio de signo entre f(a) y f(b)')\n        print(' f(a) =',fa,',  f(b) =',fb) \n        respuesta=np.nan\n    tabla = np.array(tabla,dtype=float)\n    return(respuesta,tabla)\n \nc,tabla = biseccion(f,a,b,tolera,\n                    vertabla=True,\n                    precision=verdigitos)\nn = len(tabla)\nerrado = tabla[n-1,6]\n \n# SALIDA\nprint('f:', dfd.simplify())\nprint('M\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n')\nprint('iteraciones:',n)\nprint('ra\u00edz en: ',c)\nprint('errado:',errado)\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\ntk = np.linspace(a0,b0,muestras)\nfk = f(tk)\nplt.plot(tk,fk)\nplt.plot(a,f(a),'o',label='[a,f(a)]')\nplt.plot(b,f(b),'o',label='[b,f(b)]')\nplt.axhline(0)\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('f(t)')\nplt.title('Intervalo ['+str(a0)+','+str(b0)+']')\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal e<\/h2>\n\n\n\n
Con el algoritmo completo, modifique los par\u00e1metros de la ecuaciones iniciales para acercar m\u00e1s la trayectoria al punto 0,0<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo disminuya las amplitudes de las sinusoides de 2.3 a 0.9 y observe los resultados. Se adjunta solo la gr\u00e1fica, realice los cambios como parte de la tarea.<\/p>\n\n\n\n
\"Trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Otras gr\u00e1ficas mostradas en el ejercicio, no obligatorias para el tema se obtienen con instrucciones adicionales:<\/p>\n\n\n
\n# Distancia a origen\nfdk = sym.lambdify(t,fd)\ndk = fdk(tk)\n\nplt.plot(tk,dk)\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('d')\nplt.title('trayectoria objeto: distancia a [0,0]')\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n\n# Trayectoria avion\nfxk = sym.lambdify(t,fx)\nfyk = sym.lambdify(t,fy)\nxk = fxk(tk)\nyk = fyk(tk)\nplt.plot(xk,yk)\nplt.plot([0],[0],'o')\nplt.annotate('[0,0]',xy=[0,0],xytext=[0+0.1,0+0.1])\nplt.plot(xk[0],yk[0],'o')\nplt.annotate('t0',xy=[xk[0],yk[0]],xytext=[xk[0]+0.1,yk[0]-0.05])\nplt.xlabel('x(t)')\nplt.ylabel('y(t)')\nplt.title('trayectoria objeto')\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
literal a (alterno)<\/h2>\n\n\n\n
A partir de la expresi\u00f3n de la distancia,<\/p>\n\n\n d = \\sqrt{\\left(2.3 \\cos(10t) + \\cos(23t)\\right)^2+\\left( 2.3sen(10t)-sen(23t)\\right)^2} <\/span>\n\n\n\n
Si se separa de la magnitud f\u00edsica y se enfoca en la expresi\u00f3n, se puede considerar que los valores m\u00ednimos de mantienen al expresar f respecto a d2<\/sup>.<\/p>\n\n\n d^2 = \\left(2.3 \\cos(10t) + \\cos(23t)\\right)^2+\\left( 2.3sen(10t)-sen(23t)\\right)^2 <\/span>\n\n\n\n
Con lo que f ya no es distancia, pero mantiene la forma de la gr\u00e1fica para encontrar el m\u00ednimo. La expresi\u00f3n derivada y simplificada con Sympy se convierte en:<\/p>\n\n\n\n
fd:  (2.3*sin(10*t) - sin(23*t))**2 + (2.3*cos(10*t) + cos(23*t))**2\nfd':\n-151.8\u22c5sin(33\u22c5t)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Queda como tarea realizar los otros literales con \u00e9sta opci\u00f3n, el resultado debe ser el mismo que el presentado en el desarrollo anterior.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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