{"id":25739,"date":"2026-09-08T15:10:25","date_gmt":"2026-09-08T20:10:25","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=25739"},"modified":"2026-09-09T08:19:49","modified_gmt":"2026-09-09T13:19:49","slug":"s3eva2026paoi_t2-pista-seguidor-linea","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2026paoi_t2-pista-seguidor-linea\/","title":{"rendered":"s3Eva2026PAOI_T2 Pista para veh\u00edculo seguidor de l\u00ednea"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2026PAOI_T2 Pista para veh\u00edculo seguidor de l\u00ednea<\/a><\/p>\n\n\n\n

Las ecuaciones y los intervalos del ejercicio son:<\/p>\n\n\n\n

\n
\n x(t) = 2\\cos(t) +2 <\/span>\n\n\n\n y(t) = 2\\sin(2t) +2 <\/span>\n\n\n\n

Intervalos = [ [0, \u03c0],
[ \u03c0, 47\/64(2\u03c0)],
[7\/8(2\u03c0), 2\u03c0]]<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n
\"Pista<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Para el planteamiento del ejercicio se selecciona el primer intervalo de tiempo [0, \u03c0]. En el intervalo se seleccionan al menos 3 tramos o 4 muestras para obtener un polinomio de grado 3. Con el algoritmo se podr\u00e1 revisar el resultado en la gr\u00e1fica y observar si es necesario aumentar el n\u00famero de muestras<\/p>\n\n\n\n

Solo 2 tramos o 3 muestras para un polinomio de grado 2 ser\u00e1 una par\u00e1bola que no representa el intervalo. Adicionalmente el resultado ser\u00eda una l\u00ednea horizontal al tener valor igual a los extremos en el centro del intervalo.<\/p>\n\n\n\n

El tama\u00f1o de paso h = (\u03c0-0)\/3 = \u03c0\/3<\/p>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Con lo que se obtienen los valores para interpolar y obtener el polinomio p(x) usando las coordenadas x,y.<\/p>\n\n\n\n

i<\/td>0<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td><\/tr>
t<\/td>0<\/td>\u03c0\/3<\/td>2\u03c0\/3<\/td>\u03c0<\/td><\/tr>
x(t)<\/strong><\/td>4<\/td>3<\/td>1<\/td>0<\/td><\/tr>
y(t)<\/strong><\/td>2<\/td>3.732<\/td>0.2679<\/td>2<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Las expresiones siguiendo el algoritmo para el m\u00e9todo de Lagrange son:<\/p>\n\n\n\n p_3(x) = 2\\frac{(x-3)(x-1)(x-0)}{(4-3)(4-1)(4-0)} <\/span>\n\n\n\n + 3.732\\frac{(x-4)(x-1)(x-0)}{(3-4)(3-1)(3-0)} <\/span>\n\n\n\n + 0.2679\\frac{(x-4)(x-3)(x-0)}{(1-4)(1-3)(1-0)} <\/span>\n\n\n\n + 2\\frac{(x-4)(x-3)(x-1)}{(0-4)(0-3)(0-1)} <\/span>\n\n\n\n

La simplificaci\u00f3n de la expresi\u00f3n realizada con sym.expand()<\/p>\n\n\n\np_3(x) = 2.0 - 4.61880215351701 x + 3.46410161513775 x^2-0.577350269189626x^3 <\/span>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

La gr\u00e1fica del polinomio obtenido, junto a la gr\u00e1fica param\u00e9trica x(t),y(t) permite observar el nivel de aproximaci\u00f3n para el grado 3 de polinomio.<\/p>\n\n\n\n

\"pista<\/figure>\n\n\n\n

Los resultados del algoritmo para el ejercicio son:<\/p>\n\n\n\n

    valores de xi:  [4. 3. 1. 0.]\n    valores de yi:  [2.         3.73205081 0.26794919 2.        ]\ndivisores en L[i]:  [ 12.  -6.   6. -12.]\n\nInterpolaci\u00f3n Lagrange Pista concurso\n0.166666666666667*x*(x - 3.0)*(x - 1.0) +\n0.0446581987385205*x*(x - 4.0)*(x - 3.0) +\n-0.166666666666667*(x - 4.0)*(x - 3.0)*(x - 1.0) +\n-0.622008467928146*x*(x - 4.0)*(x - 1.0)\n\nPolinomio de Lagrange: \n-0.577350269189626*x**3 + 3.46410161513775*x**2 - 4.61880215351701*x + 2.0\np(x):\n                     3                     2                           \n- 0.577350269189626\u22c5x  + 3.46410161513775\u22c5x  - 4.61880215351701\u22c5x + 2.0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n\n
Usando el algoritmo base de la unidad 5 para interpolaci\u00f3n con el m\u00e9todo de Lagrange:<\/p>\n\n\n
\n# Pista para veh\u00edculo autonomo\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nfx = lambda t: 2*np.cos(t)+2\nfy = lambda t: 2*np.sin(2*t)+2\nttramo = [[0,np.pi],[np.pi,47\/64*(2*np.pi)],[7\/8*(2*np.pi),2*np.pi]]\na = ttramo[0][0]\nb = ttramo[0][1]\nmuestras = 4\n\n# PROCEDIMIENTO\nti = np.linspace(a,b,muestras)\nxi = fx(ti)\nfi = fy(ti)\n\n# Interpolacion de Lagrange\n# divisoresL solo para mostrar valores denominador\ntitulo = 'Interpolaci\u00f3n Lagrange Pista concurso'\n \n# PROCEDIMIENTO\n# Vectores como arreglo, numeros reales\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\nn = len(xi)\n \n# Polinomio de Lagrange\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0*x   # sym.S.Zero en Sympy\ndivisorL = np.zeros(n, dtype = float)\nfor i in range(0,n,1):\n     \n    # Termino de Lagrange\n    numerador = 1\n    denominador = 1\n    for j  in range(0,n,1):\n        if (j!=i):\n            numerador = numerador*(x-xi[j])\n            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])\n    terminoLi = numerador\/denominador\n \n    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]\n    divisorL[i] = denominador\n \npolisimple = polinomio.expand() # simplifica los (x-xi)\npx = sym.lambdify(x,polisimple) # evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\n \n# SALIDA\nprint('    valores de xi: ',xi)\nprint('    valores de yi: ',fi)\nprint('divisores en L[i]: ',divisorL)\nprint()\nprint(titulo)\n#print(polinomio)\nterminos = sym.Add.make_args(polinomio)\nn_term = len(terminos)\nfor i in range(0,n_term,1):\n    if i<(n_term-1):\n        print(terminos[i],'+')\n    else:\n        print(terminos[i])\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange: ')\nprint(polisimple)\nprint('p(x):')\nsym.pprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica --------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n \nmuestras2 = 4*muestras   # resoluci\u00f3n gr\u00e1fica\n\ntk = np.linspace(a,b,muestras2)\nxf = fx(tk)\nyf = fy(tk)\n\na = np.min(xi)  # intervalo [a,b]\nb = np.max(xi)\nxk = np.linspace(a,b,muestras2)\nyk = px(xk)\n\nplt.plot(xi,fi,'o', label = '[xi,fi]')\nplt.plot(xk,yk, label = 'p(x)')\nplt.plot(xf,yf, label = '[xf,yf]')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title(titulo)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
Para determinar la cota de error, ser\u00e1 necesario aumentar el n\u00famero de muestras y calcular el error entre las que no se usan para generar el polinomio. por ejemplo con tama\u00f1o de paso  \u03c0\/6 en t<\/p>\n\n\n\n
i<\/td>0<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>6<\/td><\/tr>
ti<\/td>0<\/td>\u03c0\/6<\/td>2\u03c0\/6<\/td>3\u03c0\/6<\/td>4\u03c0\/6<\/td>5\u03c0\/6<\/td>\u03c0<\/td><\/tr>
x(t)<\/td>4<\/td>3.73205081<\/td>3<\/td>2<\/td>1<\/td>0.26794919<\/td>0<\/td><\/tr>
y(t)<\/strong><\/td>2<\/td>3.73205081<\/td>3.73205081<\/td>2<\/td>0.26794919<\/td>0.26794919<\/td>2<\/td><\/tr>
p(x)<\/strong><\/td>2<\/td>3<\/td>3.73205081<\/td>2<\/td>0.26794919<\/td>1<\/td>2<\/td><\/tr>
error<\/td>0<\/td>0.73205081<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td>0.73205081<\/td>0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Los valores de la tabla se pueden obtener como:<\/p>\n\n\n\n
>>> tk = np.linspace(0,np.pi,7)\n>>> tk\narray([0.        , 0.52359878, 1.04719755, 1.57079633, 2.0943951 ,  2.61799388, 3.14159265])\n\n>>> fy(tk)-px(fx(tk))\narray([ 1.03028697e-13,  7.32050808e-01,  6.12843110e-14,  2.88657986e-14,\n        8.65973959e-15, -7.32050808e-01, -4.44089210e-16])\n\nNota<\/strong>: considere los valores de e-12 como casi cero por ser muy peque\u00f1os, de orden de magnitud muy bajo.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Considerando el error =max | p(x)-y(t) | = 0.73205081<\/p>\n\n\n\n
literal e<\/h2>\n\n\n\n
Para los siguientes intervalos se cambia la selecci\u00f3n usando solo el \u00edndice de fila de tramo en el algoritmo. Con los resultados es posible comentar y mejorar los resultados cambiando el grado del polinomio para que exista un mejor ajuste a la curva original de la pista.<\/p>\n\n\n\n
a = ttramo[1][0]\nb = ttramo[1][1]\n\n    valores de xi:  [0.         0.23615747 0.88885953 1.80396572]\n    valores de yi:  [2.         3.66293922 3.84775907 2.39018064]\ndivisores en L[i]:  [-0.37867192  0.2416627  -0.53090842  2.58816951]\n\nInterpolaci\u00f3n Lagrange Pista concurso\n15.1572388033053*x*(x - 1.80396571934088)*(x - 0.888859533960796) +\n0.923502358637029*x*(x - 0.888859533960796)*(x - 0.23615747130329) +\n-7.24750058330231*x*(x - 1.80396571934088)*(x - 0.23615747130329) +\n-5.28161682322365*(x - 1.80396571934088)*(x - 0.888859533960796)*(x - 0.23615747130329)\n\nPolinomio de Lagrange: \n3.55162375541638*x**3 - 11.5991928303255*x**2 + 9.58281483750129*x + 2.0\np(x):\n                  3                     2                           \n3.55162375541638\u22c5x  - 11.5991928303255\u22c5x  + 9.58281483750129\u22c5x + 2.0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Pista<\/figure>\n\n\n\n
a = ttramo[2][0]\nb = ttramo[2][1]\n\n   valores de xi:  [3.41421356 3.73205081 3.93185165 4.        ]\n    valores de yi:  [0.         0.26794919 1.         2.        ]\ndivisores en L[i]:  [-0.09637632  0.01701589 -0.00704821  0.01069663]\n\nInterpolaci\u00f3n Lagrange Pista concurso\n15.7470023202161*(x - 4.0)*(x - 3.93185165257814)*(x - 3.41421356237309) +\n186.974724475551*(x - 3.93185165257814)*(x - 3.73205080756888)*(x - 3.41421356237309) +\n-141.879981884845*(x - 4.0)*(x - 3.73205080756888)*(x - 3.41421356237309)\n\nPolinomio de Lagrange: \n60.8417449109225*x**3 - 668.562419392989*x**2 + 2446.6806568994*x - 2981.59559160881\np(x):\n                  3                     2                                       \n60.8417449109225\u22c5x  - 668.562419392989\u22c5x  + 2446.6806568994\u22c5x - 2981.59559160881<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"pista<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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