{"id":25746,"date":"2026-09-08T15:20:00","date_gmt":"2026-09-08T20:20:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=25746"},"modified":"2026-09-08T18:13:39","modified_gmt":"2026-09-08T23:13:39","slug":"s3eva2026paoi_t3-area-recorrido-ejex-desplazado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2026paoi_t3-area-recorrido-ejex-desplazado\/","title":{"rendered":"s3Eva2026PAOI_T3 \u00c1rea entre recorrido y eje x desplazado"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2026PAOI_T3 \u00c1rea entre recorrido y eje x desplazado<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

El ejercicio se puede plantear a partir del polinomio obtenido en el tema anterior<\/p>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n se puede plantear a partir del n\u00famero de muestras de las funciones x(t), y(t)<\/p>\n\n\n\n

Se presenta la opci\u00f3n primera, usando el resultado del polinomio que del desarrollo del anterior para el primer tramo es:<\/p>\n\n\n\np_3(x) = 2.0 - 4.61880215351701 x + 3.46410161513775 x^2-0.577350269189626x^3 <\/span>\n\n\n\n

\n
\n
\"Trayectoria<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

El eje x se desplaza 2 unidades hacia arriba, por lo que el polinomio resta 2 unidades:<\/p>\n\n\n\nf(x) = p(x) - 2 <\/span>\n\n\n\nf(x) = - 4.6188 x + 3.4641 x^2 - 0.5773 x^3 <\/span>\n\n\n\n

Como se dispone de la funci\u00f3n a lo lago del eje x, se procede a usar el m\u00e9todo de cuadratura de Gauss, completando al mismo tiempo el literal 3. Tambi\u00e9n como la gr\u00e1fica es sim\u00e9trica se realizar\u00e1 solo para la mitad del intervalo, pues la otra mitad es la imagen.<\/p>\n\n\n\n

Intervalo en x es de [2,4]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n x_a = \\frac{b+a}{2} - \\frac{b-a}{2}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right) <\/span>\n\n\n\n x_a = \\frac{4+2}{2} - \\frac{4-2}{2}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right) = 2.42265 <\/span>\n\n\n\n x_b = \\frac{b+a}{2} + \\frac{b-a}{2}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right) <\/span>\n\n\n\n x_b = \\frac{4+2}{2} + \\frac{4-2}{2}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right) = 3.57735 <\/span>\n\n\n\n

donde se eval\u00faa la funci\u00f3n en xa y xb<\/p>\n\n\n\nf(2.42265) = - 4.6188 (2.42265) + 3.4641 (2.42265)^2-0.5773(2.42265) ^3 = 0.93248 <\/span>\n\n\n\nf(3.57735) = - 4.6188 (3.57735) + 3.4641 (3.57735)^2-0.5773(3.57735)^3 =1.37692 <\/span>\n\n\n\n

con lo que el valor aproximado del integral con 2 puntos es:<\/p>\n\n\n\n

con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n\n I \\cong \\frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b)) <\/span>\n\n\n\n

con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n\n I \\cong \\frac{4-2}{2}(0.93248 + 1.37692) = 2.3094 <\/span>\n\n\n\n

El valor del integral es el mismo con signo negativo para el intervalo [0,2]. <\/p>\n\n\n\n

Lo que cumple con la separaci\u00f3n por segmento positivo y negativo<\/p>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

La cota de error de truncamiento para el ejercicio usando la tabla es del orden de f(4)<\/sup>(x). Siendo la funci\u00f3n un polinomio de grado 3, el error es casi cero al desaparecer los t\u00e9rminos con la 3ra derivada.<\/p>\n\n\n\n

Nota: observar el ejercicio si el grado del polinomio es mayor a 3.<\/p>\n\n\n\n

literal d<\/h2>\n\n\n\n
Factores Gauss-Legendre puntos: 2\nxgl: [-0.57735  0.57735]\ncgl: [1.0, 1.0]\ntabla por intervalos [a,b]\n[a,b] : [2. 4.]\nxi : [2.42265 3.57735]\nfi : [0.93248 1.37692]\narea : 2.309401076758377\nIntegral:  2.309401076758377<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"pista<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n\n
Usando como base el algoritmo de la unidad de integraci\u00f3n para cuadratura de Gauss de dos puntos se presenta:<\/p>\n\n\n
\n# Integraci\u00f3n: Cuadratura de Gauss de 2 puntos\n# modelo con varios tramos entre [a,b]\nimport numpy as np\n \n# INGRESO\nfx = lambda x: -4.61880215351701*x + 3.46410161513775*(x**2)-0.577350269189626*(x**3)\na = 2 # intervalo de integraci\u00f3n\nb = 4\ntramos = 1  # subintervalos a integrar\nprecision = 5 # decimales en tabla\n \n# PROCEDIMIENTO\n# cuadratura de 2 puntos\nn_puntos = 2\nxgl = np.array([-1\/np.sqrt(3), 1\/np.sqrt(3)],dtype=float)\ncgl = [1.,1.]\n# cuadratura de n_puntos, f\u00f3rmulas Gauss-Legendre\n#xgl, cgl = np.polynomial.legendre.leggauss(2)\n \nx_h = np.linspace(a,b,tramos+1)\ntabla = {}\nsuma = 0\nfor k in range(0,tramos,1):\n    a = x_h[k]\n    b = x_h[k+1]\n    centro = (a+b)\/2\n    mitad = (b-a)\/2\n    xa = centro + xgl[0]*mitad\n    xb = centro + xgl[1]*mitad\n \n    area = ((b-a)\/2)*(cgl[0]*fx(xa) + cgl[1]*fx(xb))\n    tabla[k]= {'[a,b]': np.array([a,b]),\n               'xi': np.array([xa,xb]),\n               'fi': np.array([fx(xa),fx(xb)]),\n               'area':area\n               }\n    suma = suma + area\n \n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision)\nprint('Factores Gauss-Legendre puntos:',n_puntos)\nprint('xgl:',xgl)\nprint('cgl:',cgl)\nprint('tabla por intervalos [a,b]')\nfor k in range(0,tramos,1):\n    for entrada in tabla[k]:\n        print(entrada,':',tabla[k][entrada])\nprint('Integral: ', suma)\n\n# GRAFICA -------------\n# concepto con 'pocos' tramos\/segmentos\nimport matplotlib.pyplot as plt\n \ntitulo = 'Cuadratura Gauss-Legendre puntos:'+str(n_puntos)\n \na = np.min(x_h); b = np.max(x_h)\nmuestras_k = tramos*10+1 # fx suave en grafico\nxk = np.linspace(a,b,muestras_k)\nfk = fx(xk)\n \n# tramos marcas de divisi\u00f3n\nfor i in range(0,tramos+1,1):\n    plt.axvline(x_h[i],linestyle='dashed',\n                color='tab:gray')\nfor k in range(0,tramos,1):\n    xi = tabla[k]['xi']\n    fi = tabla[k]['fi']\n    for i in range(0,n_puntos,1):\n        plt.vlines(xi[i],0,fi[i],\n                   linestyle='dotted',\n                   color='gray')\n        plt.plot(xi[i],fi[i],'o',color='gray')\nif n_puntos>2:\n    plt.fill_between(xk,0,fk,color='tab:olive')\nif n_puntos==2: # recta trapecio\n    for k in range(0,tramos,1):\n        xi = tabla[k]['xi']\n        fi = tabla[k]['fi']\n        df = (fi[1]-fi[0])\/(xi[1]-xi[0]) # pendiente\n        f0 = fi[0] + df*(x_h[k]-xi[0])   # en xi[i]\n        f1 = fi[0] + df*(x_h[k+1]-xi[0]) # en xi[i+1]\n        plt.fill_between([x_h[k],x_h[k+1]],\n                         0,[f0,f1],\n                         color='tab:olive')\n        plt.plot([x_h[k],x_h[k+1]],[f0,f1],\n                 linestyle='dashed',color='orange')\n# linea fx\nplt.plot(xk,fk, label='f(x)', color = 'blue')\nplt.title(titulo)\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal e<\/h2>\n\n\n\n
Realizado junto a los literales anteriores.<\/p>\n\n\n\n
Queda de tarea realizar usando muestras usando el intervalo de tiempo y las expresiones con x(t), y(t)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 3Eva2026PAOI_T3 \u00c1rea entre recorrido y eje x desplazado literal a El ejercicio se puede plantear a partir del polinomio obtenido en el tema anterior Tambi\u00e9n se puede plantear a partir del n\u00famero de muestras de las funciones x(t), y(t) Se presenta la opci\u00f3n primera, usando el resultado del polinomio que del desarrollo del anterior […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[52],"tags":[58,54],"class_list":["post-25746","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s3eva30","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25746","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=25746"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25746\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":25752,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25746\/revisions\/25752"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=25746"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=25746"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=25746"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}