{"id":25753,"date":"2026-09-08T15:30:00","date_gmt":"2026-09-08T20:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=25753"},"modified":"2026-09-10T07:02:22","modified_gmt":"2026-09-10T12:02:22","slug":"s3eva2026paoi_t4-modelo-caos-determinista","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2026paoi_t4-modelo-caos-determinista\/","title":{"rendered":"s3Eva2026PAOI_T4 Modelo de caos determinista"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2026PAOI_T4 Modelo de caos determinista<\/a><\/p>\n\n\n\n

Literal a<\/h2>\n\n\n\n

Siendo las funciones del ejercicio las mostradas, se las ordena, etiqueta como se muestra:<\/p>\n\n\n\n f(t,x,y,z) = \\frac{dx}{dt}=-\\sigma x + \\sigma y <\/span>\n\n\n\n g(t,x,y,z) = \\frac{dy}{dt} = \\rho x-xz-y <\/span>\n\n\n\n w(t,x,y,z) = \\frac{dz}{dt}= xy-\\beta z <\/span>\n\n\n\n

Al aplicar el m\u00e9todo de Runge-Kutta se inicia las formulas con las variables dependientes, al final se actualiza la variable independiente:

K_{1x} = h f(t_i,x_i, y_i, z_i) <\/span><\/p>\n\n\n\n K_{1y} = h g(t_i,x_i, y_i, z_i) <\/span>\n\n\n\n K_{1z} = hw(t_i,x_i, y_i, z_i) <\/span>\n\n\n\n K_{2x} = h f(t_i+h, x_i +K_{1x}, y_i + K_{1y} , z_i + K_{1z}) <\/span>\n\n\n\n K_{2y} = h g(t_i+h, x_i +K_{1x}, y_i + K_{1y} , z_i + K_{1z}) <\/span>\n\n\n\n K_{2x} = h w(t_i+h, x_i +K_{1x}, y_i + K_{1y} , z_i + K_{1z}) <\/span>\n\n\n\n x_{i+1}=x_i+\\frac{K_{1x}+K_{2x}}{2}<\/span>\n\n\n\n y_{i+1}=y_i+\\frac{K_{1y}+K_{2y}}{2}<\/span>\n\n\n\n z_{i+1}=z_i+\\frac{K_{1z}+K_{2z}}{2}<\/span>\n\n\n\n t_{i+1} = t_i +h <\/span>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

El ejercicio es muy semejante al tema 2 de la 2da Evaluaci\u00f3n, por lo que se deja como tarea realizar las iteraciones.<\/p>\n\n\n\n

itera<\/th>ti<\/th>xi<\/th>yi<\/th>zi<\/th>K1x<\/th>K1y<\/th>K1z<\/th>K2x<\/th>K2y<\/th>K2z<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>1<\/td>6<\/td>5<\/td>7<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
1<\/td>1+0.02<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

El intervalo a observar es [1,9] con tama\u00f1o de paso h=0.02<\/p>\n\n\n\n

Se calcula el n\u00famero de iteraciones como:<\/p>\n\n\n\n

iteraciones = (b-a)\/h =(9-1)\/0.02 = 400<\/p>\n\n\n\n

cantidad de iteraciones que se realiza solo con el algoritmo, cuyo resultado adjunto es:<\/p>\n\n\n\n

\"caos<\/figure>\n\n\n\n
 [ ti, xi, yi, zi]\n[[ 1.        6.        5.        7.      ]\n [ 1.02      6.062     7.340653  7.350982]\n [ 1.04      6.527825  9.695109  8.003293]\n ...\n [ 8.96      3.715112  5.768706 19.104632]\n [ 8.98      4.139316  6.369711 18.57629 ]\n [ 9.        4.606063  7.07923  18.183582]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n\n
Se usa como base el algoritmo de Sistemas EDO y se ajustan las operaciones y variables para obtener lo presentado.<\/p>\n\n\n
\n# Sistemas EDO con Runge-Kutta de 2do Orden\nimport numpy as np\n \ndef rungekutta2_fgw(f,g,w,t0,x0,y0,z0,h,muestras):\n    tamano = muestras +1\n    tabla = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float)\n    tabla[0] = [t0,x0,y0,z0]\n    ti = t0\n    xi = x0\n    yi = y0\n    zi = z0\n    for i in range(1,tamano,1):\n        K1x = h * f(ti,xi,yi,zi)\n        K1y = h * g(ti,xi,yi,zi)\n        K1z = h * w(ti,xi,yi,zi)\n         \n        K2x = h * f(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)\n        K2y = h * g(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)\n        K2z = h * w(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)\n \n        xi = xi + (1\/2)*(K1x+K2x)\n        yi = yi + (1\/2)*(K1y+K2y)\n        zi = zi + (1\/2)*(K1z+K2z)\n        ti = ti + h\n         \n        tabla[i] = [ti,xi,yi,zi]\n    tabla = np.array(tabla)\n    return(tabla)\n \n# Programa\n# Par\u00e1metros de las ecuaciones\na = 10\nb = 8\/3\nr = 28\n# Ecuaciones\nf = lambda t,x,y,z : -a*x+a*y\ng = lambda t,x,y,z : r*x-x*z-y\nw = lambda t,x,y,z : x*y-b*z\n# Condiciones iniciales\nt0 = 1\nx0 = 6\ny0 = 5\nz0 = 7\n \n# par\u00e1metros del algoritmo\nh = 0.02\nmuestras = 400\n \n# PROCEDIMIENTO\ntabla = rungekutta2_fgw(f,g,w,t0,x0,y0,z0,h,muestras)\nti = tabla[:,0]\nxi = tabla[:,1]\nyi = tabla[:,2]\nzi = tabla[:,3]\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision=6)\nprint(' [ ti, xi, yi, zi]')\nprint(tabla)\n \n# Grafica tiempos vs poblaci\u00f3n\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\nfig3D = plt.figure()\ngraf3D = fig3D.add_subplot(projection='3d')\ngraf3D.plot(xi,yi,zi)\ngraf3D.plot(xi[0],yi[0],zi[0],'o',label='t0')\ngraf3D.plot(xi[-1],yi[-1],zi[-1],'o',label='tn')\ngraf3D.set_title('Caos determinista')\ngraf3D.set_xlabel('xi')\ngraf3D.set_ylabel('yi')\ngraf3D.set_zlabel('zi')\nplt.legend()\n#plt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Literal d<\/h2>\n\n\n\n
Las observaciones sobre los resultados en la gr\u00e1fica confirman lo indicado en el enunciado sobre que los resultados \"volverse impredecibles a largo plazo debido a la extrema sensibilidad y por cambios muy peque\u00f1os en las condiciones iniciales [1]. Lorenz\"<\/p>\n\n\n\n
A\u00f1ada sus propias observaciones sobre lo obtenido comparando con otros ejercicios desarrollados en clases.<\/p>\n\n\n\n
Literal e<\/h2>\n\n\n\n
En esta secci\u00f3n se pide variar alg\u00fan valor de las constantes en el grupo de propiedades f\u00edsicas, cambiando su valor en tan solo 0.1.<\/p>\n\n\n\n
Los resultados le permitir\u00e1n completar mas observaciones en el literal d.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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