{"id":2814,"date":"2018-01-02T07:05:59","date_gmt":"2018-01-02T12:05:59","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=2814"},"modified":"2026-04-05T21:30:05","modified_gmt":"2026-04-06T02:30:05","slug":"s2eva2011ti_t2-lti-dt-determinar-hz-desde-bloques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s2eva\/s2eva2011ti_t2-lti-dt-determinar-hz-desde-bloques\/","title":{"rendered":"s2Eva2011TI_T2 LTI DT Determinar H[z] desde bloques"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 2Eva2011TI_T2 LTI DT Determinar H[z] desde bloques<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a. expresi\u00f3n de la funci\u00f3n de transferencia<\/h2>\n\n\n\n

El diagrama de bloques del enunciado se reordena de la siguiente forma:<\/p>\n\n\n\n

\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n

El nuevo diagrama muestra que el sistema tiene dos sub-componentes en paralelo.<\/p>\n\n\n H[z] = -\\frac{(11\/2)z +7}{z^2-1z-2} +\\frac{z}{2} -\\frac{9}{2} <\/span>\n\n\n\n

como existen varios componentes, se pueden tratar de forma separada.<\/p>\n\n\n H[z] = H_1[z] +\\frac{z}{2} -\\frac{9}{2} <\/span>\n\n\n H_1[z] = -\\frac{(11\/2)z +7}{z^2-z-2}<\/span>\n\n\n\n

los polos y ceros de H1<\/sub><\/p>\n\n\n\n

 {Q_polos:veces}: {2: 1, -1: 1}\n {P_ceros:veces}: {-14\/11: 1}<\/code><\/pre>\n\n\n H_1[z] = -\\frac{(11\/2)z +7}{(z-2)(z+1)} <\/span>\n\n\n\n
usando fracciones parciales modificadas<\/p>\n\n\n \\frac{H_1[z]}{z} = -\\frac{(11\/2)z +7}{z(z-2)(z+1)} = \\frac{k_1}{z}+\\frac{k_2}{z-2}+\\frac{k_3}{z+1}<\/span>\n\n\n\n
usando el algoritmo se tiene:<\/p>\n\n\n \\frac{H_1[z]}{z} = \\frac{\\frac{7}{2}}{z}-\\frac{3}{z-2}-\\frac{\\frac{1}{2}}{z+1} <\/span>\n\n\n\n
restaurando a fracciones parciales, al multiplicar cada lado por z, se obtiene la funci\u00f3n de transferencia H[z] completa como componentes en paralelo junto con H1<\/sub><\/p>\n\n\n H_1[z] = \\frac{7}{2}-\\frac{3z}{z-2}-\\frac{1}{2}\\frac{z}{z+1}<\/span>\n\n\n\n
usando la tabla de transformadas z<\/a><\/p>\n\n\n h_1[n] = \\frac{7}{2}\\delta[n]-3(2)^n \\mu[n] -\\frac{1}{2}(-1)^n \\mu[n]<\/span>\n\n\n\n
Usando el algoritmo de la secci\u00f3n X[z] Fracciones parciales modificadas con Python<\/a> para H1[z]<\/p>\n\n\n\n
con entrada:<\/p>\n\n\n\n
# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros<\/span>\na0 = sym.Rational(11,2)\n\nPz = -(a0*z+7)\nQz = z**2-z-2<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se obtiene:<\/p>\n\n\n\n
 Hz:\n  11*z    \n- ---- - 7\n   2      \n----------\n 2        \nz  - z - 2\n\n Hz en fracciones parciales\n      z        3*z    7\n- --------- - ----- + -\n  2*(z + 1)   z - 2   2\n\n Hz en factores\n-3.5*(0.785714285714286*z + 1) \n-------------------------------\n      (0.5*z - 1)*(z + 1)      \n\n {Q_polos:veces}: {2: 1, -1: 1}\n {P_ceros:veces}: {-14\/11: 1}\n\nestabilidad asint\u00f3tica en z:\ncirc1_dentro : 0\ncirc1_repetidos : 0\ncirc1_sobre : 1\ncirc1_fuera : 1\nunicos : 2\nrepetidos : 0\nasintota : inestable\n\n h[n]:\n\/      n       \\                               \n|  (-1)       n|                7*DiracDelta(n)\n|- ----- - 3*2 |*Heaviside(n) + ---------------\n\\    2         \/                       2       \n\nse\u00f1al discreta h[n]\nn   : [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]\nh[n]: [    0.     -5.5   -12.5   -23.5   -48.5\n         -95.5  -192.5  -383.5  -768.5 -1535.5]\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
resultado que se completan con los t\u00e9rminos de los otros componentes, al incorporar la expresi\u00f3n con los elementos en paralelo como se desarrolla en el siguiente literal.<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/ss-unidad-7\/\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as fcnm\n#sym.SYMPY_DEBUG=True\n\n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\nn = sym.Symbol('n', real=True)\n\n# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros\na0 = sym.Rational(11,2).limit_denominator(100)\n\nPz = -(a0*z+7)\nQz = z**2-z-2\nF = Pz\/Qz\n\n# para graficar\nf_nombre = 'H'    # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc\nmuestras_fn = 10  # muestras para f[n]\n\n# PROCEDIMIENTO\nFz  = fcnm.apart_z(F)\nFz_factor = sym.factor(F.evalf())\n\n# polos y ceros de Hz\n[P,Q] = F.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,z)\nQ = sym.poly(Q,z)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n\nestable_z = fcnm.estabilidad_asintotica_z(Q_polos)\n\n# Inversa de transformada z\nfn = 0*n ; Fz_revisar = [] ; Qz2_term =[]\nterm_sum = sym.Add.make_args(Fz)\nfor term_k in term_sum:\n    term_kn = fcnm.inverse_z_transform(term_k,z,n)\n    if type(term_kn)==tuple:\n        fn = fn + term_kn[0]\n    elif term_kn is not None:\n        fn = fn + term_kn\n    elif term_kn is None:\n        f_noeval = f_noeval + term_k\n    Qz2 = fcnm.Q_cuad_z_parametros(term_k)\n    if Qz2:\n        Qz2_term.append(Qz2)\nfn = fn.collect(sym.Heaviside(n))\nfn = fn.collect(sym.DiracDelta(n))\n#fn = fcnm._round_float_is_int(fn)\n\n# SALIDA\nprint('\\n '+f_nombre+'z:')\nsym.pprint(F)\nprint('\\n '+f_nombre+'z en fracciones parciales')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\n '+f_nombre+'z en factores')\nsym.pprint(Fz_factor)\nprint('\\n {Q_polos:veces}:',Q_polos)\nprint(' {P_ceros:veces}:',P_ceros)\nif len(Qz2_term)>0:\n    print('\\nparametros cuadraticos: ')\n    for i in range(0,len(Qz2_term),1):\n        for unterm in Qz2_term[i]:\n            print(' termino:',unterm)\n            fcnm.print_resultado_dict(Qz2_term[i][unterm])\nprint('\\nestabilidad asint\u00f3tica en z:')\nfcnm.print_resultado_dict(estable_z)\nprint('\\n '+f_nombre.lower()+'[n]:')\nsym.pprint(fn)\nif len(Fz_revisar)>0:\n    print('revisar terminos sin transformada de tabla:')\n    for un_term in Fz_revisar:\n        print(un_term)\n\n# # GRAFICA  -----------\nfig_ROC = fcnm.graficar_Fz_polos(Fz_factor,Q_polos,P_ceros,\n                      muestras=101,f_nombre=f_nombre)\n\nfig_Fz = fcnm.graficar_Fs(Fz_factor,Q_polos,P_ceros,\n                     muestras=101,\n                     f_nombre=f_nombre)\n\n# graficar f[n] -------\nf_n = sym.lambdify(n,fn.expand(),modules=fcnm.equivalentes)\nki  = np.arange(0,muestras_fn,1.0)\nfi  = f_n(ki)\n\nprint('\\nse\u00f1al discreta '+f_nombre.lower()+'[n]')\nprint('n   :',ki)\nprint(f_nombre.lower()+'[n]:',fi)\n\n# graficar f[n]\nfig_fn, grafxn = plt.subplots()\nplt.axvline(0,color='grey')\nplt.stem(ki,fi)\nplt.grid()\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel(f_nombre.lower()+'[n]')\netiqueta = r''+f_nombre.lower()+'[n]= $'+str(sym.latex(fn))+'$'\nplt.title(etiqueta)\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal b. Ecuaci\u00f3n de diferencias<\/h2>\n\n\n\n
Se realiza la conversi\u00f3n por la suma de cada componente (en paralelo):<\/p>\n\n\n\n
Para y1<\/sub>[n]:<\/p>\n\n\n Y_1[z] = H_1[z]X[z] = \\Big[-\\frac{(11\/2)z +7}{z^2-z-2}\\Big] X[z]<\/span>\n\n\n Y_1[z] [z^2-z-2]= -(11\/2)zX[z] -7X[z]<\/span>\n\n\n y_![n+2] - y_1[n+1] -2y_1[n] = -\\frac{11}{2} x[n+1] -7x[n]<\/span>\n\n\n\n
Para y2<\/sub>[n]:<\/p>\n\n\n Y_2[z] = H_2[z]X[z] = \\frac{z}{2}X[z]<\/span>\n\n\n y_2[n] = \\frac{1}{2}x[n+1]<\/span>\n\n\n\n
Para y3<\/sub>[n]:<\/p>\n\n\n Y_3[z] = H_3[z]X[z] = -\\frac{9}{2} X[z]<\/span>\n\n\n y_3[n] = -\\frac{9}{2} x[n]<\/span>\n\n\n\n
se suman las expresiones obtenidas de Y1<\/sub>[z] + Y2<\/sub>[z]+Y3<\/sub>[z]<\/p>\n\n\n y[n+2] - y[n+1] -\\cancel{2y[n]} +\\cancel{y[n]} + \\cancel{y[n]}= <\/span>\n\n\n -\\frac{11}{2} x[n+1] -7x[n] +\\frac{1}{2}x[n+1]-\\frac{9}{2} x[n]<\/span>\n\n\n\n
la ecuaci\u00f3n de diferencias simplificada es;<\/p>\n\n\n y[n+2] - y[n+1] = -5 x[n+1] -\\frac{23}{2} x[n]<\/span>\n\n\n\n
El sistema global se puede reescribir nuevamente en z como<\/p>\n\n\n z^2Y[z] - zY[z] = -5 zX[z] -\\frac{23}{2} X[z]<\/span>\n\n\n z(z-1)Y[z] = (-5 z -\\frac{23}{2}) X[z]<\/span>\n\n\n\n
se tiene que el sistema tienen polos en 0 y 1, que se encuentran dentro del radio 1 del plano z.<\/p>\n\n\n\n
literal d. Respuesta al impulso H[z]<\/h2>\n\n\n\n
H[z] se obtiene a partir de la \u00faltima ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n H[z] = \\frac{Y[z]}{H[z]} = -\\frac{5 z +\\frac{23}{2}}{z(z-1)}<\/span>\n\n\n\n
aplicando fracciones parciales modificadas:<\/p>\n\n\n \\frac{H[z]}{z} = -\\frac{5 z +\\frac{23}{2}}{z^2(z-1)}<\/span>\n\n\n \\frac{H[z]}{z} = \\frac{33}{2} \\frac{1}{z} +\\frac{23}{2}\\frac{1}{z^2} -\\frac{33}{2} \\frac{1}{z-1} <\/span>\n\n\n\n
restaurando fracciones parciales al multiplicar por z<\/p>\n\n\n H[z] = \\frac{33}{2} +\\frac{23}{2} \\frac{1}{z} -\\frac{33}{2} \\frac{z}{z-1} <\/span>\n\n\n\n
usando la tabla de transformada z<\/a> se tiene:<\/p>\n\n\n h[n] = \\frac{33}{2}\\delta [n] +\\frac{23}{2} \\delta [n-1] - \\frac{33}{2} \\mu[n]<\/span>\n\n\n\n
usando el algoritmo con entrada:<\/p>\n\n\n\n
# coeficientes como racional en dominio 'ZZ' enteros\na0 = sym.Rational(11,2)\na1 = sym.Rational(9,2)\na2 = sym.Rational(23,2)\n#F = -(a0*z+7)\/(z**2-z-2) + z\/2 -a1\nF = -(5*z+a2)\/(z*(z-1))\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se tiene como resultado:<\/p>\n\n\n\n
 Hz:\n-5*z - 23\/2\n-----------\n z*(z - 1) \n\n Hz en fracciones parciales\n  16.5*z          11.5\n- ------ + 16.5 + ----\n  z - 1            z  \n\n Hz en factores\n-11.5*(0.434782608695652*z + 1) \n--------------------------------\n           z*(z - 1)            \n\n {Q_polos:veces}: {1: 1, 0: 1}\n {P_ceros:veces}: {-2.30000000000000: 1}\n\nestabilidad asint\u00f3tica en z:\ncirc1_dentro : 1   circ1_repetidos : 0 \ncirc1_sobre : 1  circ1_fuera : 0\nunicos : 2  repetidos : 0\nasintota : marginalmente estable\n\n h[n]:\n16.5*DiracDelta(n) + 11.5*DiracDelta(n - 1) - 16.5*Heaviside(n)\n\nse\u00f1al discreta h[n]\nn   : [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6.]\nh[n]: [  0.   -5.  -16.5 -16.5 -16.5 -16.5 -16.5]\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
\"2Eva2011TI_T2<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2011TI_T2 LTI DT Determinar H[z] desde bloques literal a. expresi\u00f3n de la funci\u00f3n de transferencia El diagrama de bloques del enunciado se reordena de la siguiente forma: El nuevo diagrama muestra que el sistema tiene dos sub-componentes en paralelo. como existen varios componentes, se pueden tratar de forma separada. los polos y ceros de […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-ejercicios","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[187],"tags":[199],"class_list":["post-2814","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-s2eva","tag-senalessistemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2814","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2814"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2814\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23969,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2814\/revisions\/23969"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2814"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2814"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2814"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}