{"id":3004,"date":"2018-11-26T09:20:40","date_gmt":"2018-11-26T14:20:40","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=3004"},"modified":"2025-12-23T09:54:05","modified_gmt":"2025-12-23T14:54:05","slug":"s1eva2018tii_t1-interpolar-velocidad-del-paracaidista","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2018tii_t1-interpolar-velocidad-del-paracaidista\/","title":{"rendered":"s1Eva2018TII_T1 Interpolar velocidad del paracaidista"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2018TII_T1 Interpolar velocidad del paracaidista<\/a><\/p>\n\n\n\n

El ejercicio tiene dos partes: la interpolaci\u00f3n y el integral.<\/p>\n\n\n\n

Literal a<\/h2>\n\n\n\n
\"ca\u00edda<\/figure>\n\n\n\n
t<\/th>[s]<\/td>0<\/td>2<\/td>4<\/td>6<\/td>8<\/td><\/tr>
v(t)<\/th>[m\/s]<\/td>0.0<\/td>16.40<\/td>27.77<\/td>35.64<\/td>41.10<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

No se especifica el m\u00e9todo a seguir, por lo que se puede seleccionar el de mayor preferencia.<\/p>\n\n\n\n

Por ejemplo. usando el m\u00e9todo de Lagrange, con los puntos primero, medio y \u00faltimo, para cubrir todo el intervalo:<\/p>\n\n\n p_2(t) = 0\\frac{(t-4)(t-8)}{(0-4)(0-8)} + <\/span>\n\n\n + 27.77\\frac{(t-0)(t-8)}{(4-0)(4-8)} + <\/span>\n\n\n + 41.10\\frac{(t-0)(t-4)}{(8-0)(8-4)} <\/span>\n\n\n p_2(t) = 0 + 27.77\\frac{t(t-8)}{-16}) + <\/span>\n\n\n + 41.10\\frac{t(t-4)}{32} <\/span>\n\n\n p_2(t) = -1.73(t^2-8t) + 1.28(t^2-4t) <\/span>\n\n\n p_2(t) = -0.45 t^2 + 8.74t <\/span>\n\n\n\n

\"s1et2018tii_t1<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n

Literal b<\/h2>\n\n\n\n

El tema de integraci\u00f3n para primera evaluaci\u00f3n se realiza de forma anal\u00edtica.<\/p>\n\n\n\n

Una de las formas, que es independiente si se resolvi\u00f3 el literal a, es usar los datos proporcionados en la tabla el ejercicio:<\/p>\n\n\n\n

t<\/th>[s]<\/td>0<\/td>2<\/td>4<\/td>6<\/td>8<\/td><\/tr>
v(t)<\/th>[m\/s]<\/td>0.0<\/td>16.40<\/td>27.77<\/td>35.64<\/td>41.10<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Se podr\u00eda usar el m\u00e9todo de Simpson de 1\/3, puesto que los tama\u00f1os de paso en t<\/strong> son equidistantes se puede aplicar: h=2-0=2<\/p>\n\n\n \\int_0^8 v(t)dt = \\frac{2}{3}\\Big( 0+ 4(16.40)+27.77\\Big)<\/span>\n\n\n + \\frac{2}{3}\\Big( 27.77+ 4(35.64)+41.10\\Big)<\/span>\n\n\n =203.2 <\/span>\n\n\n\n

con error del orden de O(h5<\/sup>) que al considerar h<\/strong>=2 no permite hacer una buena estimaci\u00f3n del error. Sin embargo la respuesta es bastante cercana si se usa el m\u00e9todo el trapecio con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n

    valores de fi:  [ 0.   27.77 41.1 ]\ndivisores en L(i):  [ 32. -16.  32.]\n\nPolinomio de Lagrange, expresiones\n-1.735625*x*(x - 8.0) + 1.284375*x*(x - 4.0)\n\nPolinomio de Lagrange: \n-0.45125*x**2 + 8.7475*x\nM\u00e9todo del trapecio\ndistancia recorrida:  193.28\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
El error entre los m\u00e9todos es |203.2-193.28|= 9.92<\/p>\n\n\n\n
Revisar el resultado usando un m\u00e9todo con mayor precisi\u00f3n que el trapecio.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n
Las instrucciones en Python para el ejercicio son:<\/p>\n\n\n
\n# 1ra Evaluaci\u00f3n II T\u00e9rmino 2018\n# Tema 1. Interpolar velocidad del paracaidista\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# Literal a)\n# Interpolacion de Lagrange\n# divisoresL solo para mostrar valores\n\n# INGRESO\nt = [0.0, 2, 4, 6, 8]\nv = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]\n\ncuales = [0,2,4]\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.array(t,dtype=float)\nfi = np.array(v,dtype=float)\n\nxi = xi[cuales]\nfi = fi[cuales]\n\n# Polinomio de Lagrange\nn = len(xi)\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0\ndivisorL = np.zeros(n, dtype = float)\nfor i in range(0,n,1):\n    \n    # Termino de Lagrange\n    numerador = 1\n    denominador = 1\n    for j  in range(0,n,1):\n        if (j!=i):\n            numerador = numerador*(x-xi[j])\n            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])\n    terminoLi = numerador\/denominador\n\n    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]\n    divisorL[i] = denominador\n\n# simplifica el polinomio\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 51\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nprint('    valores de fi: ',fi)\nprint('divisores en L(i): ',divisorL)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange, expresiones')\nprint(polinomio)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange: ')\nprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(t,v,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos en polinomio')\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title('Interpolaci\u00f3n Lagrange')\nplt.grid()\nplt.show()\n\n# Literal b\n# INGRESO\n# El ingreso es el polinomio en forma lambda\n# se mantienen las muestras\n\n# intervalo de integraci\u00f3n\n# a, b seleccionados para la gr\u00e1fica anterior\ntramos = muestras -1\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef integratrapecio_fi(xi,fi):\n    ''' sobre muestras de fi para cada xi\n        integral con m\u00e9todo de trapecio\n    '''\n    n = len(xi)\n    suma = 0\n    for i in range(0,n-1,1):\n        dx = xi[i+1]-xi[i]\n        untrapecio = dx*(fi[i+1]+fi[i])\/2\n        suma = suma + untrapecio\n    return(suma)\n\n\ntramos = muestras-1\n# PROCEDIMIENTO\ndistancia = integratrapecio_fi(xi,fi)\n\n# SALIDA\nprint('M\u00e9todo del trapecio')\nprint('distancia recorrida: ', distancia)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2018TII_T1 Interpolar velocidad del paracaidista El ejercicio tiene dos partes: la interpolaci\u00f3n y el integral. Literal a t [s] 0 2 4 6 8 v(t) [m\/s] 0.0 16.40 27.77 35.64 41.10 No se especifica el m\u00e9todo a seguir, por lo que se puede seleccionar el de mayor preferencia. Por ejemplo. usando el m\u00e9todo de […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[45],"tags":[58,54],"class_list":["post-3004","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva20","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3004","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3004"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3004\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18773,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3004\/revisions\/18773"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3004"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3004"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3004"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}