{"id":3035,"date":"2018-11-26T09:17:36","date_gmt":"2018-11-26T14:17:36","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=3035"},"modified":"2026-02-20T08:18:54","modified_gmt":"2026-02-20T13:18:54","slug":"s1eva2018tii_t3-interpolar-con-sistema-de-ecuaciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2018tii_t3-interpolar-con-sistema-de-ecuaciones\/","title":{"rendered":"s1Eva2018TII_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2018TII_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"1Eva2018TII_T3<\/figure>\n\n\n\n

Los datos del ejercicio proporcionados son:<\/p>\n\n\n\n

i<\/th>0<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td><\/tr>
x<\/th>1.0<\/td>1.1<\/td>1.3<\/td>1.5<\/td>1.9<\/td>2.1<\/td><\/tr>
y(x)<\/th>1.84<\/td>1.90<\/td>2.10<\/td>2.28<\/td>2.91<\/td>3.28<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Literal a<\/h2>\n\n\n\n

El tema es semejante al tema 1, cambiando el m\u00e9todo de interpolaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Tal que se ajuste a tres puntos de y(x) para x = 1.0, 1.5 y 2.1<\/p>\n\n\n\n

Se usan los puntos de las posiciones 0, 3 y 5.<\/p>\n\n\np_2(x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2 <\/span>\n\n\n\n

en la f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

punto x[0] = 1, y[0]= 1.84<\/p>\n\n\n1.84 = b_0 + b_1(1) + b_2 (1)^2 <\/span>\n\n\n1.84 = b_0 + b_1 + b_2 <\/span>\n\n\n\n

punto x[3] = 1.5, y[3]= 2.28<\/p>\n\n\n2.28 = b_0 + b_1(1.5) + b_2 (1.5)^2 <\/span>\n\n\n2.28 = b_0 + 1.5 b_1 + 2.25 b_2 <\/span>\n\n\n\n

punto x[5] = 2.1, y[5]= 3.28<\/p>\n\n\n3.28= b_0 + b_1(2.1) + b_2 (2.1)^2 <\/span>\n\n\n3.28= b_0 + 2.1 b_1 + 4.41 b_2 <\/span>\n\n\n\n

se obtiene el sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\nb_0 + b_1 + b_2 = 1.84<\/span>\n\n\nb_0 + 1.5 b_1 + 2.25 b_2 = 2.28 <\/span>\n\n\nb_0 + 2.1 b_1 + 4.41 b_2 = 3.28 <\/span>\n\n\n\n

Con lo que se plantea la forma Ax=B:<\/p>\n\n\n A = \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1.5 & 2.25 \\\\1 & 2.1 & 4.41 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n B = \\begin{bmatrix} 1.84\\\\ 2.28 \\\\ 3.28 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

Matriz Aumentada<\/p>\n\n\n AB = \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 1 & 1.5 & 2.25 & 2.28 \\\\1 & 2.1 & 4.41 & 3.28 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

Pivoteo parcial por filas<\/p>\n\n\n\n

Para el primer pivote no se requieren cambio de filas.
para el segundo pivote de la diagonal se deben intercambiar la fila segunda con la tercera<\/p>\n\n\n \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 1 & 2.1 & 4.41 & 3.28 \\\\ 1 & 1.5 & 2.25 & 2.28 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

Se aplica eliminaci\u00f3n hacia adelante:<\/p>\n\n\n\n

fila = 0, columna=0  pivote = AB[0,0]=1<\/p>\n\n\n\n

factor entre las filas es 1\/1=1.<\/p>\n\n\n \\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 1-1 & 2.1-1 & 4.41 -1 &3.28 -1.84 \\\\ 1-1 & 1.5 -1 & 2.25 -1 & 2.28 - 1.84 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 0 & 1.1 & 3.41 & 1.44 \\\\ 0 & 0.5 & 1.25 & 0.44 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

fila =1,  columna=1, pivote=AB[1,1] =1.1<\/p>\n\n\n\n

factor entre filas es 0.5\/1.1 = 1\/2.2<\/p>\n\n\n \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 0 & 1.1 & 3.41 & 1.44 \\\\ 0 & 0.5 -\\frac{0.5}{1.1}(1.1)& 1.25 -\\frac{0.5}{1.1}(3.41)& 0.44-\\frac{0.5}{1.1}(1.44) \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\\\ 0 & 1.1 & 3.41 &1.44 \\\\ 0 & 0 & -0.3 & -0.214545 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

aplicando sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/p>\n\n\n b2 = \\frac{-0.21}{-0.3} = 0.71515 <\/span>\n\n\n b1= \\frac{1.44-3.41 b_2}{1.1} = \\frac{1.44-3.41( 0.71515)}{1.1}=-0.9078 <\/span>\n\n\n b3= \\frac{1.84-b_1-b_2}{1} = \\frac{1.84-(-0.9078)-(0.71515)}{1} =2.0327 <\/span>\n\n\n\n

con lo que el polinomio buscado es:<\/p>\n\n\np_2(x) = 2.0327 -0.9078 x + 0.71515 x^2 <\/span>\n\n\n\n

y se obtiene el resultado de la interpolaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

\"s1eva2018tii_t3<\/figure>\n\n\n\n

Observaci\u00f3n<\/strong>: En la gr\u00e1fica se muestra que el polinomio pasa por los puntos seleccionados de la tabla. En los otros puntos hay un error que se puede calcular como la resta del punto y su valor con p(x). Queda como tarea.<\/p>\n\n\n\n

Usando el algoritmo del polinomio de interpolaci\u00f3n con la matriz de Vandermonde se obtiene:<\/p>\n\n\n\n

Matriz Vandermonde: \n[[1.   1.   1.  ]\n [2.25 1.5  1.  ]\n [4.41 2.1  1.  ]]\nlos coeficientes del polinomio: \n[ 0.71515152 -0.90787879  2.03272727]\nPolinomio de interpolaci\u00f3n: \n0.715151515151516*x**2 - 0.907878787878792*x + 2.03272727272728\n\n formato pprint\n                   2                                         \n0.715151515151516\u22c5x  - 0.907878787878792\u22c5x + 2.03272727272728\nsuma de columnas:  [3.   4.75 7.51]\nnorma D:  7.51\nnumero de condicion:  97.03737354737122\nsolucion: \n[ 0.71515152 -0.90787879  2.03272727]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Literal b<\/h2>\n\n\n\n
Se requiere calcular una norma de suma de filas. es suficiente para demostrar el conocimiento del concepto el usar A.<\/p>\n\n\n\n
Se adjunta el c\u00e1lculo del n\u00famero de condici\u00f3n y la soluci\u00f3n al sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n
suma de columnas:  [3.   4.75 7.51]\nnorma A:  7.51\nnumero de condici\u00f3n:  97.03737354737129\nsoluci\u00f3n: \n[ 2.03272727 -0.90787879  0.71515152]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
El comentario importante corresponde al n\u00famero de condici\u00f3n, que es un n\u00famero muy alto para usar un m\u00e9todo iterativo, por lo que la soluci\u00f3n debe ser un m\u00e9todo directo.<\/p>\n\n\n\n
Se puede estimar ser\u00e1 un n\u00famero mucho mayor que 1, pues la matriz no es diagonal dominante.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 1Eva2018TII_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones\n# El polinomio de interpolaci\u00f3n y Vandermonde\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n \n# INGRESO\nxj = [1.0,  1.1,  1.3,  1.5,  1.9,  2.1 ]\nyj = [1.84, 1.90, 2.10, 2.28, 2.91, 3.28]\ncuales = [0, 3, 5]\n\n# Convierte a arreglos numpy \nxi = np.array(xj,dtype=float)\nfi = np.array(yj,dtype=float)\n\nxi = xi[cuales]\nfi  = fi[cuales]\n \n# PROCEDIMIENTO\n# Matrices como arreglo, numeros reales\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\nn = len(xi)\n# Matriz Vandermonde D\nD = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\nfor i in range(0,n,1):\n    for j in range(0,n,1):\n        potencia = (n-1)-j # Derecha a izquierda\n        D[i,j] = xi[i]**potencia\n\n# B = fi\n# Resuelve sistema de ecuaciones A.X=B\ncoeficiente = np.linalg.solve(D,fi)\n\n# Polinomio en forma simb\u00f3lica\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0*x   # sym.S.Zero\nfor i in range(0,n,1):\n    potencia = (n-1)-i   # Derecha a izquierda\n    termino = coeficiente[i]*(x**potencia)\n    polinomio = polinomio + termino\n\n# polinomio para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polinomio)\n    \n# SALIDA\nprint('Matriz Vandermonde: ')\nprint(D)\nprint('los coeficientes del polinomio: ')\nprint(coeficiente)\nprint('Polinomio de interpolaci\u00f3n: ')\nprint(polinomio)\nprint('\\n formato pprint')\nsym.pprint(polinomio)\n \n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\nmuestras = 21  # muestras = tramos+1\n\na = np.min(xi) # intervalo [a,b]\nb = np.max(xi)\nxk = np.linspace(a,b,muestras)\nyk = px(xk)\n \n# Usando evaluaci\u00f3n simb\u00f3lica\n##yk = np.zeros(muestras,dtype=float)\n##for k in range(0,muestras,1):\n##    yin[k] = polinomio.subs(x,xk[k])\n\nplt.plot(xj,yj,'o', label='Puntos')\nplt.plot(xi,fi,'o', label='[xi,fi]')\nplt.plot(xk,yk, label='p(x)')\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('y(xi)')\nplt.legend()\nplt.title("Puntos muestra")#polinomio)\nplt.grid()\nplt.show()\n \n \n# literal b\nsumacolumnas = np.sum(D, axis =1)\nnorma = np.max(sumacolumnas)\nprint('suma de columnas: ', sumacolumnas)\nprint('norma D: ', norma)\n \nnumerocondicion = np.linalg.cond(D)\nprint('numero de condicion: ', numerocondicion)\n \nsolucion = np.linalg.solve(D,B)\nprint('solucion: ')\nprint(solucion)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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