ejercicio bk<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_bk<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio_xn<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_xn<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para sistemas lineales invariantes en el tiempo, LTI, las entradas senoidales complejas tienen como respuesta otra se\u00f1al senoidal de la misma frecuencia pero con diferente magnitud y fase. TODOS los sistemas LTI tienen la propiedad \"entrada-sinusoide\" genera una \"salida-sinusoide\".<\/p>\n\n\n\n Para un filtro FIR LTI<\/strong>, ante una entrada discreta<\/strong> en tiempo tipo se\u00f1al exponencial compleja<\/strong>, la salida<\/strong> tambi\u00e9n es una se\u00f1al discreta<\/strong> en tiempo, tipo exponencial compleja<\/strong> con diferente amplitud, de la misma frecuencia.<\/p>\n\n\n |H(e^{j \\omega})| = \\sum _{k=0}^{M} b_k e^{-j\\omega k} = \\sum _{k=0}^{M} h[k] e^{-j\\omega k}<\/span>\n\n\n y[n] = |H(e^{j \\omega})| x[n] \\text{ ; para } x[n] = A e^{j\\varphi}e^{-j\\omega n} <\/span>\n\n\n\n ejercicio bk<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_bk<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio_xn<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_xn<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan Ejemplo 6.1 y 6.2 p217<\/p>\n\n\n\n Considere un sistema LTI con coeficientes de la ecuaci\u00f3n de diferencias bk<\/sub> = [1,2,1]. Al convertirlo en la funci\u00f3n respuesta de frecuencias<\/strong> del sistema H(\u03c9) se tiene:<\/p>\n\n\n H(e^{j \\omega}) = 1 + 2 e^{-j\\omega} + e^{-j \\omega 2}<\/span>\n\n\n\n como bk<\/sub> es sim\u00e9trico, se obtiene como factor com\u00fan e(-j\u03c9)<\/sup> para simplificar la expresi\u00f3 con un coseno.<\/p>\n\n\n = e^{-j \\omega} \\Big( e^{j \\omega} + 2 + e^{-j \\omega} \\Big)<\/span>\n\n\n = e^{-j \\omega} \\Big( 2 +2 \\cos(\\omega) \\Big)<\/span>\n\n\n\n donde la magnitud es:<\/p>\n\n\n |H(e^{j \\omega})|= \\Big( 2 +2 \\cos(\\omega) \\Big) <\/span>\n\n\n\n y la fase:<\/p>\n\n\n \\angle H(e^{j \\omega})= e^{-j \\omega} <\/span>\n\n\n\n Al disponer de una se\u00f1al de entrada con una frecuencia de \u03c9=\u03c0\/3:<\/p>\n\n\n x[n] = 2 e^{j \\pi \/4} e^{j(\\pi \/3)n} <\/span>\n\n\n\n se eval\u00faa la magnitud de |H|:<\/p>\n\n\n |H(e^{j \\pi \/3})|= \\Big( 2 +2 \\cos(\\pi \/3) \\Big) = 3 <\/span>\n\n\n\n y la fase de \u2220H:<\/p>\n\n\n \\angle H(e^{j \\pi \/3 })= e^{-j \\pi\/3} <\/span>\n\n\n\n siendo y[n] = (H)(x[n])<\/p>\n\n\n y[n] = 3 e^{-j\\pi \/3}\\Big( 2 e^{j \\pi \/4} e^{j(\\pi \/3)n} \\Big) <\/span>\n\n\n = (3)(2) e^{j \\pi \/4-j\\pi \/3} e^{j\\pi \/3 n} <\/span>\n\n\n = 6 e^{-j \\pi \/12} e^{j\\pi \/3 n} = 6 e^{j \\pi \/4} e^{j\\pi(n-1) \/3} <\/span>\n\n\n\n la salida del sistema es igual a la entrada, multiplicada por 3 y un cambio de fase a -\u03c0\/3 que es un retraso de una muestra. Recordando que esto aplica cuando bk es sim\u00e9trico y la entrada es una exponencial compleja<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n ejercicio bk<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_bk<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio_xn<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_xn<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Primero se analiza la simetr\u00eda del vector bk<\/strong>, invirtiendo el vector y restando de su forma original, si todos los resulados son ceros, el vector es sim\u00e9trico<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Acorde con la simetr\u00eda de Para xn<\/strong> en el algoritmo, se requiere usar la La funci\u00f3n en El resultado con el algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n\n Algoritmos y funciones: telg1034.py<\/a><\/p>\n\n\n ejercicio bk<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_bk<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio_xn<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_xn<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan Ejemplo 6.4 p220<\/p>\n\n\n\n Para el filtro FIR con coeficientes b[k] = [1,2,1] , encuentre la se\u00f1al de salida cuando la se\u00f1al de entrada tiene varios componentes.<\/p>\n\n\n x[n] = 4 + 3 \\cos \\left( \\frac{\\pi}{3} n - \\frac{\\pi}{2} \\right) + 3 \\cos \\left(\\frac{7\\pi}{8}n \\right) <\/span>\n\n\n\n El ejercicio se desarrolla t\u00e9rmino a t\u00e9rmino por tener diferentes frecuencias. Se aplica el principio de superposici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n ejercicio bk<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo_bk<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio_xn<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Ejercicio bk<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Algoritmo bk en Python<\/h2>\n\n\n\n
bk<\/code> se procede a la creaci\u00f3n de H<\/code> y luego yn<\/code> a partir de xn.<\/p>\n\n\n\ndsp.euler_args_one_term()<\/code> para dominio del tiempo cont\u00ednuo t<\/code> de la Unidad 1.4 Espectro \u2013 Suma de sinusoides y la f\u00f3rmula de Euler. <\/p>\n\n\n\ntelg1034.py<\/code> ampl\u00eda el uso al dominio de tiempo discreto n<\/code> al sustituir la variable independiente con las siguientes instrucciones y se obtiene el resultado esperado.<\/p>\n\n\n\n # revisa si unasenal es discreta con n, Unidad 4 Filtros Digitales<\/span>\n esdiscreta = False<\/span>\n varindepend = X.free_symbols\n if<\/span> (n in<\/span> varindepend) and<\/span> not<\/span>(t in<\/span> varindepend):\n X = X.subs(n,t)\n esdiscreta = True<\/span>\n # analiza unasenal con t<\/span>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\nbk_simetrico: True\nH_magn : exp(I*w) + 2 + exp(-I*w)\nH_magcos: 2*cos(w) + 2\nH_fase : -w\n H : (2*cos(w) + 2)*exp(-I*w)\nx[n]: 2*exp(I*pi\/4)*exp(I*pi*n\/3)\nwk : pi\/3\ny[n]: 6*exp(I*pi\/4)*exp(I*pi*(n - 1)\/3)\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# ejemplo 6.1 p217 FIR - Respuesta de frecuencias\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\nimport telg1034 as dsp\n\n# variables continuas\nfrom telg1034 import t,A,w,f,p,pi,DosPi,I,equivalentes\n# variables discretas\nfrom telg1034 import n\n\n# INGRESO\nbk = [1,2,1]\n#bk = [1,-2,4,-2,1]\n\nxn = 2*sym.exp(I*pi\/4)*sym.exp(I*(pi\/3)*n)\n\n# PROCEDIMIENTO\nM = len(bk)-1\n# revisa simetria bk\nbk = np.array(bk)\nH_factor = 0\nsumainvertida = np.sum(np.abs(bk-np.flip(bk)))\nbk_simetrico = False\nif sumainvertida == 0 and M>1:\n bk_simetrico = True\n H_factor = sym.sympify(M)\/2\n\n# respuesta de frecuencia\nH = sym.S.Zero\nfor k in range(0,M+1,1):\n H = H + bk[k]*sym.exp(-I*w*(k))\n\n# H cuando bk es simetrico.\nH_magn = H ; H_magcos = 0 ; H_fase = 0\nif bk_simetrico:\n H_magn = sym.expand(H\/sym.exp(-I*w*H_factor))\n H_magcos = H_magn.rewrite(sym.cos)\n H_fase = -w*H_factor\n H = H_magcos*sym.exp(I*H_fase)\n\n# se\u00f1al de entrada x[n]\nxn_arg = dsp.euler_args_one_term(xn)\nwk = xn_arg['freq_rad']\n\n# se\u00f1al de salida y[n]\nif bk_simetrico:\n n_veces = H_fase\/w\n Ampl = H_magcos.subs(w,wk)*xn_arg['amplitud'] \n yn = Ampl*sym.exp(I*xn_arg['fase'])*sym.exp(I*wk*(n+n_veces))\nelse:\n yn = xn*H.subs(w,wk)\n \n# SALIDA\nprint('bk_simetrico:',bk_simetrico)\nprint('H_magn :',H_magn)\nprint('H_magcos:',H_magcos)\nprint('H_fase :',H_fase)\nprint(' H :',H)\nprint('x[n]:',xn)\nprint('wk :',wk)\nprint('y[n]:',yn)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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\n\n\n\n3. Ejercicio x[n] de varias sinusoides<\/h2>\n\n\n\n
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