{"id":310,"date":"2017-05-01T09:00:34","date_gmt":"2017-05-01T14:00:34","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=310"},"modified":"2026-02-14T21:31:10","modified_gmt":"2026-02-15T02:31:10","slug":"laplace-diagramas-bloques-ecuaciones-diferenciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u04\/laplace-diagramas-bloques-ecuaciones-diferenciales\/","title":{"rendered":"4.1 Transformada de Laplace - Diagramas de bloques y ecuaciones diferenciales"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n

1er<\/a><\/p>\n\n\n\n

2do<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n

serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 4.5 p386, Oppenheim 9.8.2 p708,<\/p>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

Representaciones en diagramas de bloques para los sistemas LTI causales descritos por ecuaciones diferenciales y en el dominio s<\/strong><\/code> por funciones racionales H(s).<\/p>\n\n\n\n

Los diagramas de bloques se pueden realizar con software abierto como Xcos de SciLab<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n

1er<\/a><\/p>\n\n\n\n

2do<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n

serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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1. H(s) Diagrama de bloques y sistema de 1er orden<\/h2>\n\n\n\n
\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

Referencia: <\/strong>Oppenheim ejemplo 9.28 p708, Lathi ejemplo 4.22a  p392<\/p>\n\n\n\n

Considere un sistema LTI causal, circuito RL con una fuente de energ\u00eda AC mostrados en la figura. La ecuaci\u00f3n diferencial que lo representa es:<\/p>\n\n\n \\frac{d}{d t} y(t) + 3y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n\n

En el dominio s se escribe como:<\/p>\n\n\n sY(s) + 3Y(s) = X(s) <\/span>\n\n\n sY(s) = X(s) -3Y(s) <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{1}{s}[X(s) - 3Y(s)] <\/span>\n\n\n\n

Al despejar Y(s) se presenta un bloque integrador (1\/s) de la se\u00f1al de entrada X(s) con retroalimentaci\u00f3n de salida Y(s). El daiagrama de bloques se muestra como:<\/p>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

Se agrupando Y(s) para obtener los polinomios de s<\/strong><\/p>\n\n\n sY(s) + 3Y(s) = X(s) <\/span>\n\n\n (s+3) Y(s) = X(s)<\/span>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n e puede expresar la relaci\u00f3n como una funci\u00f3n de transferencia H(s):<\/p>\n\n\n H(s)= \\frac{Y(s)}{X(s)} =\\frac{1}{s+3} <\/span>\n\n\n\n

Otra forma de expresar H(s), al multiplicar el numerador y denominador por 1\/s<\/code><\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{s+3} = \\frac{\\frac{1}{s}}{1+\\frac{3}{s}}<\/span>\n\n\n\n

Muestra que se puede expresar tambi\u00e9n como dos bloques H1<\/sub>(s) = 1\/s y H2<\/sub>(s) = 3. Los bloques interconectados en el diagrama muestran la expresi\u00f3n como:<\/p>\n\n\n \\frac{Y(s)}{X(s)} = H(s) = \\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}<\/span>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n

1er<\/a><\/p>\n\n\n\n

2do<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n

serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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2. H(s) Diagrama de bloques de sistema de 2do orden como combinaci\u00f3n de 1er orden<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Oppenheim ejemplo 9.30 p711, Lathi 4.5-3 p393<\/p>\n\n\n\n

Considere el sistema causal de segundo orden con la funci\u00f3n del sistema:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \\frac{1}{s^2 + 3s +2} <\/span>\n\n\n\n

Para la ecuaci\u00f3n diferencial se usa la forma,<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{Y(s)}{X(s)} = \\frac{1}{s^2 + 3s +2} <\/span>\n\n\n (s^2 + 3s + 2)Y(s) = X(s)<\/span>\n\n\n s^2 Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = X(s)<\/span>\n\n\n\n

la entrada x(t) y la salida y(t) para este sistema satisfacen la ecuaci\u00f3n diferencial<\/strong><\/em>:<\/p>\n\n\n \\frac{d^2}{d t^2}y(t) + 3 \\frac{d}{dt} y(t) + 2 y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n\n

El diagrama de bloques se obtiene reordenando la ecuaci\u00f3n de s<\/strong> para despejar el t\u00e9rmino de mayor grado.<\/p>\n\n\n s^2 Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = X(s)<\/span>\n\n\n s^2Y(s) = X(s) - 3sY(s) - 2Y(s)<\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{1}{s^2} \\Big[ X(s) - 3sY(s) - 2Y(s)\\Big]<\/span>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

reordenando los bloques tambi\u00e9n se obtiene:<\/p>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n

1er<\/a><\/p>\n\n\n\n

2do<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n

serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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3. Reordena H(s) con fracciones parciales<\/h2>\n\n\n\n

Usando H(s) de la primera expresi\u00f3n del enunciado, se usa fracciones parciales para reordenar la expresi\u00f3n como:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \\frac{k_1}{s+1} + \\frac{k_2}{s+2} <\/span>\n\n\n\n

Para encontrar las constantes k1<\/sub> y k2<\/sub>, el numerador de la expresi\u00f3n de la derecha debe ser igual a 1 , desarrollando la expresi\u00f3n para el numerador se tiene que:<\/p>\n\n\n k_1s + 2k_1 + k_2s + k_2 = (k_1 + k_2)s + (2k_1 +k_2) <\/span>\n\n\n\n

igualando al numerador de la parte izquierda que es 1, o expresado como 0s+1, el resultado deber\u00eda ser:<\/p>\n\n\n (k_1 + k_2)s + (2k_1 +k_2) = 0s + 1 <\/span>\n\n\n\n

Se crean las ecuaciones para cada coeficiente de s en el numerador:<\/p>\n\n\n k_1 + k_2 = 0 <\/span>\n\n\n 2k_1 + k_2 = 1<\/span>\n\n\n\n

con lo que,<\/p>\n\n\n k_1 = 1 , k_2 = -1<\/span>\n\n\n\n

al reemplazar,<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{s+1} -\\frac{1}{s+2} <\/span>\n\n\n\n

El resultado permite realizar un diagrama equivalente en paralelo de dos sistemas mas simples. La suma de dos componentes de primer orden es un diagrama con bloques de primer orden en paralelo.<\/p>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

En el caso de la expresi\u00f3n racional inicial, se observa que se puede escribir como la multiplicaci\u00f3n de dos sistemas de primer orden.<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \\Big[\\frac{1}{s+1}\\Big]\\Big[\\frac{1}{s+2}\\Big]<\/span>\n\n\n\n

que se representa como bloques en serie o cascada de dos sistemas de primer orden.<\/p>\n\n\n\n

\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n

que por cierto, tambi\u00e9n es la convoluci\u00f3n<\/strong> de dos sistemas en serie.<\/p>\n\n\n\n

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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n

1er<\/a><\/p>\n\n\n\n

2do<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n

serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Fracciones parciales con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n es posible realizar las fracciones parciales con Sympy ingresando toda la expresi\u00f3n de H(s) de la forma:<\/p>\n\n\n\n

Hs = 1\/((s+1)*(s+2))<\/code><\/pre>\n\n\n\n
y usando sym.apart()<\/code> se obtienen las fracciones parciales de la expresi\u00f3n,<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n       1       \n---------------\n(s + 1)*(s + 2)\n\n H(s) en  fracciones parciales:\n    1       1  \n- ----- + -----\n  s + 2   s + 1\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Sympy-Python:<\/p>\n\n\n
\n# Fracciones parciales con Laplace\n# Ps es numerador, Qs es denominador\n# Oppenheim 9.30 p711\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\n\nPs = 1\nQs = (s+1)*(s+2)\nHs = Ps\/Qs\n\n# PROCEDIMIENTO\n# fracciones parciales de s\nHs_parcial = sym.apart(Hs,s) \n\n# SALIDA\nprint('H(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint('\\n H(s) en  fracciones parciales:')\nsym.pprint(Hs_parcial)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
La instrucci\u00f3n sym.apart()<\/code> se aplica sobre expresiones tipo polinomio, se debe considerar el caso cuando H(s) es solo un componente constante o tiene un desplazamiento de tiempo representado por sym.exp()<\/code>. El asunto se trata en mayor detalle en p\u00e1gina sobre fracciones parciales de la unidad 4.<\/p>\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n
1er<\/a><\/p>\n\n\n\n
2do<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n
serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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4. H(s) Diagrama de bloques 2do orden, componentes en serie o paralelo<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Oppenheim ejemplo 9.31 p712, Lathi Ejemplo 4.23 p395<\/p>\n\n\n\n
Considere la funci\u00f3n del sistema<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{2s^2 + 4s - 6}{s^2 + 3s + 2} <\/span>\n\n\n\n
se puede reescribir como:<\/p>\n\n\n H(s) = \\Big[\\frac{1}{s^2 + 3s + 2} \\Big] \\Big[ 2s^2 + 4s - 6 \\Big] <\/span>\n\n\n\n
\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
Para los componentes del numerador P pueden tomar respuestas del bloque denominador Q simplificando el diagrama :<\/p>\n\n\n\n
\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
Ejemplo 4.1 H(s) con fracciones parciales<\/h3>\n\n\n\n
Usando fracciones parciales, se puede convertir H(s) en componentes mas simples en paralelo<\/strong><\/p>\n\n\n H(s) = 2 + \\frac{6}{s+2} - \\frac{8}{s+1} <\/span>\n\n\n\n
\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
Usando las ra\u00edces del numerador P se escribe H(s) de la forma en que se obtiene un sistema en serie o cascada<\/strong>,<\/p>\n\n\n H(s) = \\Big[ 2\\Big] \\Big[\\frac{s-1}{s+2} \\Big] \\Big[\\frac{s+3}{s+1} \\Big] <\/span>\n\n\n\n
\"Bloque<\/figure>\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n
1er<\/a><\/p>\n\n\n\n
2do<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n
serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Ejemplo 4.2 Fracciones parciales usando Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
H(s):\n   2          \n2*s  + 4*s - 6\n--------------\n  2           \n s  + 3*s + 2 \n\n H(s) en  fracciones parciales:\n      6       8  \n2 + ----- - -----\n    s + 2   s + 1\n\n H(s) como factores:\n2*(s - 1)*(s + 3)\n-----------------\n (s + 1)*(s + 2) \n\n H(s) simplificada:\n  \/ 2          \\\n2*\\s  + 2*s - 3\/\n----------------\n   2            \n  s  + 3*s + 2 <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# Fracciones parciales con Laplace, factores\n# Ps es numerador, Qs es denominador\n# Oppenheim 9.30 p711\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\n\nPs = 2*s**2+4*s-6\nQs = s**2+3*s+2\n\nHs = Ps\/Qs\n\n# PROCEDIMIENTO\n# fracciones parciales de s\nHs_parcial = sym.apart(Hs,s)\n\n# expresion con factores de s\nHs_factor = sym.factor(Hs_parcial,s)\n\n# simplificar a la forma inicial\nHs_simple = sym.simplify(Hs_parcial)\n\n# SALIDA\nprint('H(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint('\\n H(s) en  fracciones parciales:')\nsym.pprint(Hs_parcial)\nprint('\\n H(s) como factores:')\nsym.pprint(Hs_factor)\nprint('\\n H(s) simplificada:')\nsym.pprint(Hs_simple)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
La instrucci\u00f3n sym.factor()<\/code> aplica sobre expresiones simples. En caso de disponer la expresi\u00f3n como polin\u00f3mica, puede usar la conversi\u00f3n con Hs_parcial.as_expr(s)<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n
1er<\/a><\/p>\n\n\n\n
2do<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n
serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Ejemplo 4.3 Ecuaci\u00f3n diferencial de H(s)<\/h3>\n\n\n H(s) = \\frac{Y(s)}{X(s)} = \\frac{2s^2 + 4s - 6}{s^2 + 3s + 2} <\/span>\n\n\n\n
Se reordena la expresi\u00f3n,<\/p>\n\n\n (s^2 + 3s + 2)Y(s) = (2s^2 + 4s - 6) X(s) <\/span>\n\n\n s^2 Y(s) +3s Y(s) + 2Y(s) = 2 s^2 X(s) + 4s X(s) - 6X(s) <\/span>\n\n\n\n
Si considera la forma de la ecuaci\u00f3n diferencial, tambi\u00e9n es la de un circuito el\u00e9ctrico RLC. El primer t\u00e9rmino Y(t) ser\u00eda el del inductor L, pero expresado como primera derivada. El segundo t\u00e9rmino es el resistor y el tercer t\u00e9rmino es del capacitor. Lo que se puede apreciar dividiendo toda la ecuaci\u00f3n para 's'.<\/p>\n\n\n sY(s) +3 Y(s) + 2\\frac{1}{s}Y(s) = 2 s X(s) + 4 X(s) - 6\\frac{1}{s}X(s) <\/span>\n\n\n\n
que es el circuito de los primeros ejemplos de Sistema \u2013 Modelo entrada-salida<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
Sustituyendo las s<\/strong> de Laplace por derivadas y Y(s) por y(t) en la expresi\u00f3n de 2do orden,<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta ^2}{\\delta t^2} y(t) + 3\\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) + 2y(t) = 2\\frac{\\delta ^2}{\\delta t^2} x(t) + 4\\frac{\\delta}{\\delta t} x(t) - 6x(t) <\/span>\n\n\n\n
En las pr\u00f3ximas secciones se analiza la estabilidad del sistema para las se\u00f1ales de salida usando polos y ceros.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
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H(s<\/em>) orden:<\/p>\n\n\n\n
1er<\/a><\/p>\n\n\n\n
2do<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
H(s) 2do Orden:<\/p>\n\n\n\n
serie\/paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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