{"id":3175,"date":"2017-12-11T11:10:35","date_gmt":"2017-12-11T16:10:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=3175"},"modified":"2026-04-12T16:06:06","modified_gmt":"2026-04-12T21:06:06","slug":"s2eva2010ti_t3-lti-ct-simplificar-hs-por-bloques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s2eva\/s2eva2010ti_t3-lti-ct-simplificar-hs-por-bloques\/","title":{"rendered":"s2Eva2010TI_T3 LTI CT simplificar H(s) por Bloques"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 2Eva2010TI_T3 LTI CT simplificar H(s) por Bloques<\/a><\/p>\n\n\n\n

Se ubican algunos puntos de referencia sobre el diagrama de bloques para plantear las ecuaciones, dejando para el \u00faltimo el bloque en serie del exponencial e(-3s)<\/sup> o retraso en tiempo<\/p>\n\n\n\n

\"2Eva2010TI_T3<\/figure>\n\n\n W_1(s) = X(s)<\/span>\n\n\n W_2(s) = W_1(s)-\\frac{6}{s+5} W_4(s)<\/span>\n\n\n W_2(s) = X(s)- -\\frac{6}{s+5} W_4(s)<\/span>\n\n\n W_3(s) = \\frac{1}{s} W_2(s) = \\frac{1}{s} \\Big[ X(s) -\\frac{6}{s+5} W_4(s) \\Big] <\/span>\n\n\n W_3(s) = \\frac{1}{s} X(s) -\\frac{6}{s(s+5)} W_4(s) <\/span>\n\n\n W_4(s) = W_3(s) +\\frac{1}{s+4}X(s)<\/span>\n\n\n\n

Se plantea la simplificaci\u00f3n de H(s) =W4(s)\/X(s), dejando el t\u00e9rmino exponencial o retraso de tiempo para el final. Por lo que se despeja W4(s)<\/p>\n\n\n W_4(s) = \\frac{1}{s} X(s) -\\frac{6}{s(s+5)} W_4(s) +\\frac{1}{s+4}X(s)<\/span>\n\n\n W_4(s) +\\frac{6}{s(s+5)} W_4(s) = \\frac{1}{s} X(s) +\\frac{1}{s+4}X(s)<\/span>\n\n\n \\Big[1 +\\frac{6}{s(s+5)}\\Big] W_4(s) = \\Big[ \\frac{1}{s} +\\frac{1}{s+4} \\Big] X(s)<\/span>\n\n\n \\frac{s(s+5)+6}{s(s+5)} W_4(s) = \\frac{(s+4)+s}{s(s+4)} X(s)<\/span>\n\n\n \\frac{s^2+5s+6}{s+5} W_4(s) = \\frac{2(s+2)}{s+4} X(s)<\/span>\n\n\n \\frac{(s+2)(s+3)}{s+5} W_4(s) = \\frac{2(s+2)}{s+4} X(s)<\/span>\n\n\n \\frac{s+3}{s+5} W_4(s) = \\frac{2}{s+4} X(s)<\/span>\n\n\n \\frac{W_4(s)}{X(s)} = \\frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)} <\/span>\n\n\n\n

La respuesta al impulso H1<\/sub>(s) tiene polos en s=-3 y s=-4, que se encuentran en el lado izquierdo del plano imaginario s. Por lo que sus componentes en el dominio del tiempo son exponenciales decrecientes, el sistema es asint\u00f3ticamente estable<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

El grado del polinomio P del numerador es menor al grado del polinomio Q del numerador.<\/p>\n\n\n\n

Separando en fracciones parciales para H1<\/sub>(s) :<\/p>\n\n\n H_1(s) =\\frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)} <\/span>\n\n\n H_1(s) = \\frac{k_1}{s+4} +\\frac{k_2}{s+3} = <\/span>\n\n\n k_1 =\\frac{2(s+5)}{\\cancel{(s+4)}(s+3)}\\Bigg|_{s=-4} = \\frac{2(-4+5)}{(-4+3)} = \\frac{2(1)}{-1} = -2<\/span>\n\n\n k_2 =\\frac{2(s+5)}{(s+4)\\cancel{(s+3)}} \\Bigg|_{s=-3} = \\frac{2(-3+5)}{(-3+4)} = \\frac{2(2)}{1} = 4 <\/span>\n\n\n H_1(s) = -\\frac{2}{s+4} +\\frac{4}{s+3} = <\/span>\n\n\n\n

Finalmente, a\u00f1adiendo el t\u00e9rmino exponencial, que es el retraso en tiempo del sistema:<\/p>\n\n\n H(s) = \\Big[-\\frac{2}{s+4} +\\frac{4}{s+3} \\Big] e^{-3s} <\/span>\n\n\n\n

\"s2Eva2010TI_T3_polos\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

se observa el comportamiento de H(s) junto a los polos en la parte real e imaginaria:<\/p>\n\n\n\n

\"s2Eva2010TI_T3_polos_Hs\"<\/figure>\n\n\n\n

el resultado con el algoritmo para el literal a es:<\/p>\n\n\n\n

 H(s) = P(s)\/Q(s):\n\/    2       4  \\  -3*s\n|- ----- + -----|*e    \n\\  s + 4   s + 3\/      \n H(s) en factores:\n           -3*s\n2*(s + 5)*e    \n---------------\n(s + 3)*(s + 4)\n\n h(t) :\n\/   9  -3*t      12  -4*t\\                 \n\\4*e *e     - 2*e  *e    \/*Heaviside(t - 3)\n\npolosceros:\nexp(-3*s) : {'Q_polos': {-3: 1, -4: 1}, 'P_ceros': {-5: 1}, 'Hs_k': 2*(s + 5)\/((s + 3)*(s + 4))}\nQ_polos : {-3: 1, -4: 1}\nP_ceros : {-5: 1}\n\nEstabilidad de H(s):\n n_polos_real : 2\n n_polos_imag : 0\n enRHP : 0\n unicos : 0\n repetidos : 0\n asintota : estable\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal b. mostrar h(t)<\/h3>\n\n\n H(s) = \\Big[-\\frac{2}{s+4} +\\frac{4}{s+3} \\Big] e^{-3s} <\/span>\n\n\n\n
Usando la tabla de transformadas de Laplace, para la l\u00ednea 5 y la propiedad de desplazamiento en t, se obtiene:<\/p>\n\n\n h(t) = \\Big[-2 e^{-4(t-3)} +4e^{-3(t-3)} \\Big] \\mu(t-3) <\/span>\n\n\n\n
literal c. Y(s) con entrada exponencial decreciente<\/h3>\n\n\n\n
La se\u00f1al de salida Y(s)=H(s)X(s) ante una entrada X(s)=1\/(s+5) que es la transformada de Laplace de x(t)=e-5t<\/sup> \u03bc(t)<\/p>\n\n\n Y(s) = H(s)x(s) = \\Big[\\frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)}\\Big]\\Big[\\frac{1}{s+5}\\Big] e^{-3s} <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{2}{(s+4)(s+3)}e^{-3s} <\/span>\n\n\n\n
Tarea<\/strong>: Realizar el desarrollo anal\u00edtico y revisar los resultados del algoritmo<\/p>\n\n\n\n
al realizar las fracciones parciales, se obtiene:<\/p>\n\n\n Y(s) = \\Big[-\\frac{2}{s+4} +\\frac{2}{s+3} \\Big] e^{-3s} <\/span>\n\n\n\n
Con transformada inversa de Laplace, usando nuevamente la tabla de transformadas de Laplace<\/a>, para la l\u00ednea 5 y la propiedad de desplazamiento<\/a> en t, se obtiene:<\/p>\n\n\n y(t) = \\Big(-2 e^{-4(t-3)} +2e^{-3(t-3)}\\Big) \\mu (t-3) <\/span>\n\n\n\n
\"s2Eva2010TI_T3_yt\"<\/figure>\n\n\n\n
El resultado del algoritmo para el literal c del ejercicio es:<\/p>\n\n\n\n
 X(s): \n  1  \n-----\ns + 5\n\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales\nterm_cero : 0\nZIR :\n0\nyt_ZIR :\n0\n\n ZSR respuesta estado cero:\nZSR :\n\/    2       2  \\  -3*s\n|- ----- + -----|*e    \n\\  s + 4   s + 3\/      \nyt_ZSR :\n\/   9  -3*t      12  -4*t\\                 \n\\2*e *e     - 2*e  *e    \/*Heaviside(t - 3)\n\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:\n\/    2       2  \\  -3*s\n|- ----- + -----|*e    \n\\  s + 4   s + 3\/      \n\n y(t)_total = ZIR + ZSR:\n\/   9  -3*t      12  -4*t\\                 \n\\2*e *e     - 2*e  *e    \/*Heaviside(t - 3)\n>>>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Usando los bloques desarrollados en la\u00a0Unidad 4 Sistemas LTI \u2013 Laplace<\/a><\/span>\u00a0 y las funciones resumidas como telg1001.py<\/a><\/strong> que pueden ser usados en cada pregunta.<\/p>\n\n\n
\n# Y(s) Respuesta total con entada cero y estado cero\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nd = sym.DiracDelta(t)\nu = sym.Heaviside(t)\n\n# Literal a. H(s) y estabilidad\nHs = 2*(s+5)\/((s+4)*(s+3)) * sym.exp(-3*s)\n#Hs = 1+0*s cuando es constante\n\n# literal c. X(s) Se\u00f1al de entrada\nxt = sym.exp(-5*t)*u\n\n# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente\nt0 = 0\ncond_inicio = [0, 0] # estado cero no se usan\n\n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nt_a = 0 ; t_b = 5\nmuestras = 101  # 51 resolucion grafica\n\n# PROCEDIMIENTO\nHs = ss.apart_s(Hs) # fracciones parciales\nHs_fc = ss.factor_exp(Hs) # en factores\nHs_Qs2 = ss.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)\n\npolosceros = ss.busca_polosceros(Hs)\nQ_polos = polosceros['Q_polos']\nP_ceros = polosceros['P_ceros']\n\nestable = ss.estabilidad_asintotica_s(Q_polos)\n\n# H(t) respuesta al impulso\nht = 0*s\nterm_suma = sym.Add.make_args(Hs)\nfor term_k in term_suma:\n    ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)\n    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)\/(s**2)\n    if ht_k.has(sym.log):\n        ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)\n    ht  = ht + ht_k\nlista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)\nht = sym.expand(ht,t) # terminos suma\nht = sym.collect(ht,lista_escalon)\n\n# PROCEDIMIENTO Respuesta ZIR, ZSR\nXs = ss.laplace_transform_suma(xt)\n\n# ZIR_s respuesta entrada cero de s\nsol_ZIR = ss.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)\nZIR = sol_ZIR['ZIR']\nyt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']\n\n# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)\nsol_ZSR = ss.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)\nZSR = sol_ZSR['ZSR']\nyt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']\n\n# Respuesta total Y(s) y y(t)\nYs = ZIR + ZSR\nYs = ss.apart_s(Ys)\nyt = yt_ZIR + yt_ZSR\nlista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)\nyt = sym.collect(yt,lista_escalon)\n\n# SALIDA\nprint(' H(s) = P(s)\/Q(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint(' H(s) en factores:')\nsym.pprint(Hs_fc)\nif len(Hs_Qs2)>0:\n    print('\\nH(s) par\u00e1metros cuadraticos:')\n    ss.print_resultado_dict(Hs_Qs2)\n\nprint('\\n h(t) :')\nsym.pprint(ht)\n\nprint('\\npolosceros:')\nss.print_resultado_dict(polosceros)\n\nprint('\\nEstabilidad de H(s):')\nfor k in estable:\n    print('',k,':',estable[k])\n\nprint('\\n X(s): ')\nsym.pprint(Xs)\nprint('\\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')\n\nif not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado\n    ss.print_resultado_dict(sol_ZIR)\nelse:\n    print(' insuficientes condiciones iniciales')\n    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')\n\nprint('\\n ZSR respuesta estado cero:')\nss.print_resultado_dict(sol_ZSR)\n\nprint('\\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(Ys)\nprint('\\n y(t)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(yt)\n\n# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------\nmuestras_H = 201\nfigura_s  = ss.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)\nfigura_Hs = ss.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,muestras=muestras_H,f_nombre='H')\nfigura_ht = ss.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')\n# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------\nfigura_ft = ss.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2010TI_T3 LTI CT simplificar H(s) por Bloques Se ubican algunos puntos de referencia sobre el diagrama de bloques para plantear las ecuaciones, dejando para el \u00faltimo el bloque en serie del exponencial e(-3s) o retraso en tiempo Se plantea la simplificaci\u00f3n de H(s) =W4(s)\/X(s), dejando el t\u00e9rmino exponencial o retraso de tiempo para el […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-ejercicios","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[187],"tags":[199],"class_list":["post-3175","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-s2eva","tag-senalessistemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3175","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3175"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3175\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":24197,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3175\/revisions\/24197"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3175"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3175"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3175"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}