Normas<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n N\u00famero condici\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra 10.3.1 p298 pdf322, Burden 7.1 p320, Rodr\u00edguez 4.4.1 p132<\/p>\n\n\n\n Es una manera de expresar la magnitud de sus componentes:<\/p>\n\n\n\n Sea X un vector de n componentes:<\/p>\n\n\n ||X|| = \\sum_{i=1}^{n}|X_i| <\/span>\n\n\n ||X|| = max|X_i| , i=1,2, ...,n<\/span>\n\n\n ||X|| = \\left( \\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \\right) ^{1\/2}<\/span>\n\n\n\n Sea una matriz A de nxn componentes:<\/p>\n\n\n ||A|| = max(\\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|, i = 1,2,...,n) <\/span>\n\n\n ||A|| = max(\\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|, j = 1,2,...,n)<\/span>\n\n\n ||A|| = \\left( \\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2 \\right) ^{1\/2}<\/span>\n\n\n\n Normas<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n N\u00famero condici\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Ejercicio 1<\/strong>. Usando los conceptos de normas mostradas, para el siguiente vector:<\/p>\n\n\n\n a) calcule las normas mostradas (en papel), Ejercicio 2<\/strong>. Usando los conceptos de normas mostradas, para la siguiente matriz:<\/p>\n\n\n\n Repita los literales del ejercicio anterior.<\/p>\n\n\n\n Nota<\/strong>: para convertir una lista X en arreglo use: np.array(X)<\/em><\/p>\n\n\n\n Normas<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n N\u00famero condici\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Algunas normas vectoriales y matriciales con Python. C\u00e1lculo del n\u00famero de condici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Se presenta un ejemplo usando la matriz A y el vector B en un programa de prueba.<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python:<\/p>\n\n\n cuyos resultados del ejercicio ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n compare sus resultados con las funciones numpy:<\/p>\n\n\n\n Referencias<\/strong><\/em>: [1] http:\/\/www.numpy.org\/devdocs\/reference\/generated\/numpy.linalg.norm.html<\/a><\/p>\n\n\n\n [2] http:\/\/www.numpy.org\/devdocs\/reference\/generated\/numpy.linalg.cond.html<\/a><\/p>\n\n\n\n Normas<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n N\u00famero condici\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Chapra 10.3.2 p300, Burden 9Ed 7.5 p470, Rodr\u00edguez 4.4.3 p133<\/p>\n\n\n\n El n\u00famero de condici\u00f3n de una matriz A<\/strong>, es una forma de medir la sensibilidad del resultado del sistema de ecuaciones ante peque\u00f1os cambios en los valores de la entrada X<\/strong>. El n\u00famero de condici\u00f3n de una matriz se usa para cuantificar su nivel de mal condicionamiento<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Sea A<\/strong>.X=B un sistema de ecuaciones lineales, entonces:<\/p>\n\n\n\n cond(A) = ||A|| ||A-1<\/sup>||<\/p>\n\n\n\n es el n\u00famero de condici\u00f3n de la matriz A.<\/p>\n\n\n\n Los peque\u00f1os errores, por ejemplo por truncamiento, pueden amplificarse y afectar la precisi\u00f3n de la soluci\u00f3n. Si el n\u00famero de condici\u00f3n es cercano a 1 o 'bajo', implica que la matriz est\u00e1 bien condicionada, errores peque\u00f1os en los valores tienen poco impacto en la soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Instrucci\u00f3n en Python<\/p>\n\n\n\n Ejemplo: Si la matriz A es la identidad, el n\u00famero de condici\u00f3n es 1.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Normas de vector o Matriz<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicios<\/h2>\n\n\n\n
x= [5, -3, 2] <\/code><\/pre>\n\n\n\n
b) Realice los respectivos algoritmos en Python,
c) Determine los tiempos de ejecuci\u00f3n de cada algoritmo. \u00bfC\u00fa\u00e1l es el m\u00e1s r\u00e1pido?<\/p>\n\n\n\nA = [[5, -3, 2],\n [4, 8,-4],\n [2, 6, 1]] <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Normas con Python y Numpy<\/h2>\n\n\n\n
A = [[3,-0.1,-0.2],\n [0.1,7,-0.3],\n [0.3,-0.2,10]]\nB = [7.85,-19.3,71.4]<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Normas vectoriales y matriciales\n# Referencia: Chapra 10.3, p299, pdf323\nimport numpy as np\n\ndef norma_p(X,p):\n Xp = (np.abs(X))**p\n suma = np.sum(Xp)\n norma = suma**(1\/p)\n return(norma)\n\ndef norma_euclidiana(X):\n norma = norma_p(X,2)\n return(norma)\n\ndef norma_filasum(X):\n sfila = np.sum(np.abs(X),axis=1)\n norma = np.max(sfila)\n return(norma)\n\ndef norma_frobenius(X):\n tamano = np.shape(X)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n norma = 0\n for i in range(0,n,1):\n for j in range(0,m,1):\n norma = norma + np.abs(X[i,j])**2\n norma = np.sqrt(norma)\n return(norma)\n\ndef num_condicion(X):\n M = np.copy(X)\n Mi = np.linalg.inv(M)\n nM = norma_filasum(M)\n nMi= norma_filasum(Mi)\n ncondicion = nM*nMi\n return(ncondicion)\n\n# Programa de prueba #######\n# INGRESO\nA = [[3,-0.1,-0.2],\n [0.1,7,-0.3],\n [0.3,-0.2,10]]\nB = [7.85,-19.3,71.4]\np = 2\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Matrices como arreglo, numeros reales\nA = np.array(A,dtype=float)\nB = np.array(B,dtype=float)\n\nnormap = norma_p(B, p)\nnormaeucl = norma_euclidiana(B)\nnormafilasuma = norma_filasum(A)\nnumerocondicion = num_condicion(A)\n\n# SALIDA\nprint('vector:',B)\nprint('norma p: ',2)\nprint(normap)\n\nprint('norma euclididana: ')\nprint(normaeucl)\n\nprint('******')\nprint('matriz: ')\nprint(A)\nprint('norma suma fila: ',normafilasuma)\n\nprint('n mero de condici n:')\nprint(numerocondicion)\n<\/pre><\/div>\n\n\nvector: [ 7.85 -19.3 71.4 ]\nnorma p: 2\n74.3779033046778\nnorma euclididana: \n74.3779033046778\n******\nmatriz: \n[[ 3. -0.1 -0.2]\n [ 0.1 7. -0.3]\n [ 0.3 -0.2 10. ]]\nnorma suma fila: 10.5\nn\u00famero de condici\u00f3n:\n3.6144243248254124\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\nnp.linalg.norm(A)\nnp.linalg.cond(A)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4.Numero de Condici\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
np.linalg.cond(A)<\/code><\/pre>\n\n\n\nA = [[1,0,0],\n [0,1,0],\n [0,0,1]]\n>>> np.linalg.cond(A)\n1.0<\/code><\/pre>\n\n\n\n