{"id":342,"date":"2016-11-23T00:49:16","date_gmt":"2016-11-23T05:49:16","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=342"},"modified":"2026-04-04T10:50:18","modified_gmt":"2026-04-04T15:50:18","slug":"teoria-colas-servidores-serie-paralelo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/teoria-colas-servidores-serie-paralelo\/","title":{"rendered":"Teor\u00eda de colas - Servidores en serie o paralelo"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

servidores: <\/p>\n\n\n\n

en secuencia<\/a><\/p>\n\n\n\n

en paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Servidores en secuencia<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Ross problema 8.15 p.570<\/p>\n\n\n\n

Considere un sistema de servicio secuencial de dos servidores A y B.<\/p>\n\n\n\n

Los clientes que llegan entran al sistema solo si el servidor A esta libre.<\/p>\n\n\n\n

Si un cliente entra, entonces es atendido inmediatamente por el servidor A.<\/p>\n\n\n\n

Cuando la atenci\u00f3n del servidor A se completa, el cliente pasa a ser atendido por el servidor B siempre que est\u00e9 libre, si B esta ocupado, el cliente sale del sistema.<\/p>\n\n\n\n

Una vez que el cliente sale del servidor B, el cliente se parte del sistema.<\/p>\n\n\n\n

Suponga que las llegadas de clientes son tipo Poisson con tasa de llegada de dos clientes por hora, y que los servidores A y B atienden a tasas exponenciales de cuatro y dos clientes por hora.<\/p>\n\n\n\n

a) \u00bfCu\u00e1l es la proporci\u00f3n de clientes que entran al sistema?<\/p>\n\n\n\n

b) \u00bfCu\u00e1l es la proporci\u00f3n de clientes que entraron al sistema son atendidos por el servidor B?<\/p>\n\n\n\n

c) \u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero promedio de clientes en el sistema?<\/p>\n\n\n\n

d) \u00bfCu\u00e1l es el monto promedio de tiempo que un cliente que entr\u00f3 se mantiene dentro del sistema?<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

los estados propuestos son:<\/p>\n\n\n\n

\"Ross<\/figure>\n\n\n\n
00 P00<\/sub>
10 P10<\/sub>
01 P01<\/sub>
11 P11<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
El diagrama de transici\u00f3n entre estados propuesto, considerando de un solo evento por unidad de tiempo:<\/p>\n\n\n\n
... tarea ...<\/p>\n\n\n\n
con lo que se puede plantear las ecuaciones de balanceo (\"sale=entra\"):<\/p>\n\n\n\n
2 P00<\/sub> = 2 P01<\/sub>\n4 P10<\/sub> = 2 P00<\/sub> + 2 P11<\/sub>\n(2+2) P01<\/sub> = 4 P10<\/sub> + 4 P11<\/sub>\n(4+2) P11<\/sub> = 2 P01<\/sub>\nP00<\/sub> + P10<\/sub> + P01<\/sub> + P11<\/sub> = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Resolviendo:<\/p>\n\n\n\n
P00<\/sub> = P01<\/sub>              ecuaci\u00f3n(1)\n2 P10<\/sub> = P00<\/sub> + P11<\/sub>      (2)\nP01<\/sub> = P10<\/sub> + P11<\/sub>        (3)\n3 P11<\/sub> = P01<\/sub>            (4)\nP00<\/sub> + P10<\/sub> + P01<\/sub> + P11<\/sub> = 1      (5)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
de la ecuaci\u00f3n (2) restando la ecuaci\u00f3n (3)<\/p>\n\n\n\n
2 P10<\/sub> - P01<\/sub> = P00<\/sub> + P11<\/sub> - P10<\/sub> - P11<\/sub>\n2 P10<\/sub> - P01<\/sub> = P00<\/sub> - P10<\/sub>\n3 P10<\/sub> - P01<\/sub> = P00<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
usando la ecuaci\u00f3n (1)<\/p>\n\n\n\n
3 P10<\/sub> - P00<\/sub> = P00<\/sub>\n3 P10<\/sub> = 2 P00<\/sub>\nP10<\/sub> = 2\/3 P00<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
usando la ecuaci\u00f3n (4) y (1)<\/p>\n\n\n\n
P11<\/sub> = (1\/3) P01<\/sub>\nP11<\/sub> = (1\/3) P00<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
usando la ecuaci\u00f3n (5)<\/p>\n\n\n\n
P00<\/sub> + P10<\/sub> + P01<\/sub> + P11<\/sub> = 1\nP00<\/sub> + P00<\/sub> + (2\/3) P00<\/sub> + (1\/3)P00<\/sub> = 1\n3 P00<\/sub> = 1\nP00<\/sub> = 1\/3<\/code><\/pre>\n\n\n\n
y se obtienen los otros valores para p<\/p>\n\n\n\n
P01<\/sub> = 1\/3\nP10<\/sub> = (2\/3)(1\/3 )= 2\/9\nP11<\/sub> = (1\/3)(1\/3) = 1\/9<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Con lo que se puede responder:<\/p>\n\n\n\n
a) \u00bfCu\u00e1l es la proporci\u00f3n de clientes que entran al sistema?<\/p>\n\n\n\n
P00<\/sub> + P01<\/sub> = 1\/3 + 1\/3 \n         = 2\/3<\/code><\/pre>\n\n\n\n
c) \u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero promedio de clientes en el sistema?<\/p>\n\n\n\n
0*P00<\/sub> +  1*P10<\/sub> + 1*P01<\/sub> + 2*P11<\/sub> = 0 + 2\/9 + 1\/3 + 2*1\/9 = \n     = (0+2+3+2)\/9 = 7\/9<\/code><\/pre>\n\n\n\n
d) \u00bfCu\u00e1l es el monto promedio de tiempo que un cliente que entr\u00f3 se mantiene dentro del sistema?<\/p>\n\n\n\n
W = L\/\u03bbA<\/sub>\nW = (promedio de clientes en el sistema)\/(tasa de los que entran)\nW= (7\/9)\/[2(2\/3)] = 7\/12<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Usando Numpy<\/strong><\/p>\n\n\n\n
resolviendo con Numpy, se convierten las ecuaciones a matrices, sustituyendo una ecuaci\u00f3n con la \u00faltima (suma de probabilidades =1), se obtiene:<\/p>\n\n\n\n
2 P00<\/sub> = 2 P01<\/sub>\n4 P10<\/sub> = 2 P00<\/sub> + 2 P11<\/sub>\n(2+2) P01<\/sub> = 4 P10<\/sub> + 4 P11<\/sub>\n(4+2) P11<\/sub> = 2 P01<\/sub>\nP00<\/sub> + P10<\/sub> + P01<\/sub> + P11<\/sub> = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
reorganizando:<\/p>\n\n\n\n
2 P00<\/sub> -2 P01<\/sub>                = 0\n2 P00<\/sub>        - 4 P10<\/sub> + 2 P11<\/sub> = 0\n      -4 P01<\/sub> + 4 P10<\/sub> + 4 P11<\/sub> = 0\n       2 P01<\/sub>        - 6 P11<\/sub> = 0\n  P00<\/sub>  +  P01<\/sub> +   P10<\/sub> +  P11<\/sub> = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se obtienen las matrices A y B para usar con la instrucci\u00f3n solver de numpy:<\/p>\n\n\n
\nimport numpy as np\nA=np.array([\n    [2,-2,0,0],\n    [2,0,-4,2],\n    [0,-4,4,4],\n    [1,1,1,1]])\nB=np.array([0,0,0,1])\n\np=np.linalg.solve(A,B)\n\nprint(p)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
[ 0.33333333  0.33333333  0.22222222  0.11111111]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que los valores buscados son:<\/p>\n\n\n\n
P00<\/sub>=0.33333333\nP01<\/sub>=0.33333333\nP10<\/sub>=0.22222222\nP00<\/sub>=0.11111111<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
servidores: <\/p>\n\n\n\n
en secuencia<\/a><\/p>\n\n\n\n
en paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2. Servidores en Paralelo<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Ross 8.17 p.571<\/p>\n\n\n\n
Los clientes llegan a una sucursal de dos servidores seg\u00fan a un proceso de Poisson con tasa de dos por hora.<\/p>\n\n\n\n
Si al llegar el cliente el servidor 1 esta libre, se atiende con \u00e9ste.<\/p>\n\n\n\n
Si al llegar el cliente el servidor 1 esta ocupado y el servidor 2 esta libre, inicia con el servidor 2.<\/p>\n\n\n\n
Clientes que al llegar encuentran los dos servidores ocupados se retiran.<\/p>\n\n\n\n
Un cliente que fue atendido por el servidor 1, pasa a ser atendido por el servidor 2 siempre que est\u00e9 libre, caso contrario sale de la sucursal.<\/p>\n\n\n\n
Un cliente al completar el servicio con el servidor 2 sale de la sucursal.<\/p>\n\n\n\n
Los tiempos de servicio en los servidores 1 y 2 son variables aleatorias exponenciales con tasas de cuatro y seis por hora.<\/p>\n\n\n\n
a) \u00bfQu\u00e9 fracci\u00f3n de clientes no entran a la sucursal?<\/p>\n\n\n\n
b) \u00bfCu\u00e1l es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?<\/p>\n\n\n\n
c) \u00bfCu\u00e1l fracci\u00f3n de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
 Soluci\u00f3n: <\/strong>
Se definen los estados como (servidor1,servidor2), ocupado=0, ocupado=1:<\/p>\n\n\n\n
Estado (0,0)\nEstado (0,1)\nEstado (1,0)\nEstado (1,0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Ross<\/figure>\n\n\n\n
con lo que se construye el diagrama de estados y transiciones:<\/p>\n\n\n\n
\"Ross<\/figure>\n\n\n\n
Usando los valores del enunciado se ubican los valores para las tasas de llegada y atenci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n
El siguiente paso consiste en escribir son las ecuaciones de balanceo:<\/p>\n\n\n\n
\u03bb P00<\/sub> = \u03bc2<\/sub> P01<\/sub>\n(\u03bc2<\/sub> + \u03bb) P01<\/sub> = \u03bc1<\/sub> P10<\/sub> + \u03bc1<\/sub> P11<\/sub>\n(\u03bc1<\/sub> + \u03bb) P10<\/sub> = \u03bb P00<\/sub> + \u03bc2<\/sub> P11<\/sub>\n(\u03bc2<\/sub> + \u03bc1<\/sub>) P11<\/sub> = \u03bb P01<\/sub> + \u03bb P10<\/sub>\n1 = P00<\/sub> + P01<\/sub> + P10<\/sub> + P11<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
usando los valores para \u03bb, \u03bc1<\/sub> y \u03bc2<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n
2 P00<\/sub> = 6 P01<\/sub>\n8 P01<\/sub> = 4 P10<\/sub> + 4 P11<\/sub>\n6 P10<\/sub> = 2 P00<\/sub> + 6 P11<\/sub>\n10 P11<\/sub> = 2 P01<\/sub> + 2 P10<\/sub>\n1 = P00<\/sub> + P01<\/sub> + P10<\/sub> + P11<\/sub><\/code><\/pre>\n\n\n\n
de la ecuaci\u00f3n(1)<\/p>\n\n\n\n
P01<\/sub> = (2\/6) P00<\/sub> = (1\/3) P00<\/sub>\nP01<\/sub> = (1\/3) P00<\/sub><\/strong>\n\nusando (2) (1\/4) y reordenando\n2 P01<\/sub> = P10<\/sub> + P11<\/sub>\nP11<\/sub> = 2 P01<\/sub> - P10<\/sub>\n\nsumando con (4)\n  P11<\/sub> = 2 P01<\/sub> - P10<\/sub>\n5 P11<\/sub> =   P01<\/sub> + P10<\/sub>\n\n6 P11<\/sub> = 3 P01<\/sub>\n2 P11<\/sub> = P01<\/sub>\nusando (1)\n2 P11<\/sub> = (1\/3) P00<\/sub>\n  P11<\/sub> = (1\/6) P00<\/sub><\/strong>\n\nusando (4)\n5 P11<\/sub> =   P01<\/sub> + P10<\/sub>\n5 (1\/6) P00<\/sub> = (1\/3) P00<\/sub> + P10<\/sub>\n  P10<\/sub> = [(5\/6) - (1\/3)]P00<\/sub> = [(5-2)\/6] P00<\/sub> = (3\/6) P00<\/sub> = (1\/2) P00<\/sub>\n  P10<\/sub> = (1\/2) P00<\/sub> <\/strong>\n\nusando (5) con los resultados dependientes de P00<\/sub>:\n\n1 = P00<\/sub> + (1\/3) P00<\/sub> +(1\/2) P00<\/sub> + (1\/6) P00<\/sub>\n1 = [(6+2+3+1)\/6] P00<\/sub> = [12\/6] P00<\/sub> = 2 P00<\/sub>\nP00<\/sub> = 1\/2\n\nquedando:\nP00<\/sub> = 1\/2\nP01<\/sub> = 1\/6\nP10<\/sub> = 1\/4\nP11<\/sub> = 1\/12<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
usando Numpy de Python, se reorganiza las ecuaciones y se crean las matrices:<\/p>\n\n\n\n
2 P00<\/sub> - 6 P01<\/sub>                 = 0\n        8 P01<\/sub> - 4 P10<\/sub> - 4 P11<\/sub> = 0\n 2 P00<\/sub>        - 6 P10<\/sub> + 6 P11<\/sub> = 0\n        2 P01<\/sub> + 2 P10<\/sub> - 10 P11<\/sub> = 0\n   P00<\/sub> +  P01<\/sub> +   P10<\/sub> +    P11<\/sub> = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
import numpy as np\nA=np.array([\n    [2,-6,0,0],\n    [0,8,-4,-4],\n    [2,0,-6,6],\n    [1,1,1,1]])\nB=np.array([0,0,0,1])\nP=np.linalg.solve(A,B)\nprint(P)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
[ 0.5         0.16666667  0.25        0.08333333]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que son los resultados anteriores encontrados:<\/p>\n\n\n\n
P00<\/sub> = 0.5\nP01<\/sub> = 0.16666667\nP10<\/sub> = 0.25\nP11<\/sub> = 0.08333333<\/code><\/pre>\n\n\n\n
a) \u00bfQu\u00e9 fracci\u00f3n de clientes no entran a la sucursal?<\/p>\n\n\n\n
solo ocurre cuando ambos servidores est\u00e1n ocupados (1,1)<\/p>\n\n\n\n
P11<\/sub> = 1\/12<\/strong> = 0.08333333<\/p>\n\n\n\n
b) \u00bfCu\u00e1l es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?<\/p>\n\n\n\n
W = L\/\u03bb\n\n  = (valor esperado)\/(proporcion de los clientes que si entran)\n  \n  = [0*P00<\/sub> + 1*P01<\/sub> + 1*P10<\/sub> + 2*P11<\/sub>]\/ [\u03bb(1-P11<\/sub>)]\n  \n  = [0*(1\/2) + 1*(1\/6) + 1*(1\/4) + 2*(1\/12)]\/ [2(1-(1\/12)]\n  \n  = [(0+3+2+2)\/12]\/[22\/12] = (7\/12)\/(22\/12) =  7\/22 <\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
c) \u00bfCu\u00e1l fracci\u00f3n de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?<\/p>\n\n\n\n
(atiende el servidor 1 cuando esta libre) \/ (los que entraron)\n\n[P00<\/sub> + P01<\/sub>] \/ [1 - P11<\/sub>] = [1\/2 + 1\/6]\/[1 - 1\/12]\n  \n  = [(3+1)\/6] \/ [11\/12] = (4\/6)\/(11\/12) =   8\/11 <\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
servidores: <\/p>\n\n\n\n
en secuencia<\/a><\/p>\n\n\n\n
en paralelo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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servidores: en secuencia en paralelo 1. Servidores en secuencia Referencia: Ross problema 8.15 p.570 Considere un sistema de servicio secuencial de dos servidores A y B. Los clientes que llegan entran al sistema solo si el servidor A esta libre. Si un cliente entra, entonces es atendido inmediatamente por el servidor A. Cuando la atenci\u00f3n […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-stp-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[213],"tags":[],"class_list":["post-342","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-stp-u01eva"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/342","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=342"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/342\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23276,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/342\/revisions\/23276"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=342"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=342"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=342"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}