Integral<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n propiedades<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+e(-bt)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t) gate<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t\u2212a)<\/a><\/p>\n\n\n\n cos(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+\u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo e(-as)<\/sup>, \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03b4(t) desplazados<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 4.1. p330. Hsu 3.2.A p110, Oppenheim 9.1 p655<\/p>\n\n\n\n La transformada de Laplace permite simplificar el proceso de soluci\u00f3n de ecuaciones integro-diferenciales usando operaciones mas simples al cambiar desde el dominio del tiempo 't' al dominio 's'.<\/p>\n\n\n\n Para una se\u00f1al cont\u00ednua x(t), la transformada de Laplace esta definida como:<\/p>\n\n\n X(s) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t) e^{-st} dt <\/span>\n\n\n\n Para el caso de se\u00f1ales cont\u00ednuas, lineales y causales, se define una se\u00f1al x(t) que tiene un componente escal\u00f3n unitario \u03bc(t)que hace que la integral se desarrolle de forma unilateral<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Se enfatiza que se entiende como transformada de Laplace unilateral <\/strong>si cada se\u00f1al x(t) es cero para t<0, y es apropiado indicarlo al multiplicar la se\u00f1al por el escal\u00f3n unitario \u03bc(t)<\/p>\n\n\n\n X(s) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t) \\mu(t) e^{-st} dt = \\int_{0}^{\\infty} x(t) \\mu(t) e^{-st} dt<\/span><\/p>\n\n\n\n Para la transformada de Laplace unilateral<\/strong><\/em>, existe una transformada inversa de X(s) que es \u00fanica. En consecuencia, no hay necesidad de especificar la regi\u00f3n de convergencia (ROC) de forma expl\u00edcita<\/em><\/strong>. Motivo por el que generalmente no se menciona la ROC para transformadas unilaterales. (Lathi p337).<\/p>\n\n\n\n La se\u00f1al x(t) es la inversa de la transformada X(s), que se obtiene de la forma:<\/p>\n\n\n x(t) = \\frac{1}{2\u03c0j} \\int_{c-j\\infty}^{c+j\\infty} X(s) e^{st} dt <\/span>\n\n\n\n donde c<\/em><\/strong> es una constante seleccionada para asegurar la convergencia de la integral.<\/p>\n\n\n\n Los pares de ecuaciones conocidos como \"Pares de la transformada de Laplace<\/a>\" se escriben de forma simb\u00f3lica:<\/p>\n\n\n X(s) \\Rightarrow \\mathscr{L}[x(t)] <\/span>\n\n\n x(t) \\Rightarrow \\mathscr{L}^{-1}[X(s)]<\/span>\n\n\n\n que tienen algunas propiedades de inter\u00e9s para se\u00f1ales y sistemas como la linealidad,<\/p>\n\n\n \\mathscr{L}[a_1 x_1(t) + a_2 x_2 (t)] = a_1 X_1(s) + a_2 X_2 (s)<\/span>\n\n\n\n Para el desarrollo de ejercicios se usa principalmente la tabla de pares de Transformadas de Laplace<\/a>, los pares se obtienen al aplicar la definici\u00f3n del integral. El desarrollo el integral se puede tambi\u00e9n realizar usando Sympy-Python.<\/p>\n\n\n\n Integral<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n propiedades<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+e(-bt)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t) gate<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t\u2212a)<\/a><\/p>\n\n\n\n cos(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+\u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo e(-as)<\/sup>, \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03b4(t) desplazados<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi ejemplo 4.1. p331, Oppenheim Ejemplo 9.2 p656, Hsu Ejemplo 3.1 p111<\/p>\n\n\n\n Para una se\u00f1al x(t) = e-at<\/sup>\u03bc(t), encuentre la transformada X(s) y su regi\u00f3n de convergencia (ROC)<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-at} \u03bc(t) <\/span>\n\n\n\n pero tomando en cuenta que \u03bc(t)=0 para t<0 y \u03bc(t)=1 para t\u22650:<\/p>\n\n\n X(s) = \\int_{0}^{\\infty} e^{-at} e^{-st} \\delta t <\/span>\n\n\n = \\int_{0}^{\\infty} e^{-(s+a)t} \\delta t = -\\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)t}\\Big|_{0}^{\\infty}<\/span>\n\n\n = \\Big[-\\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)(\\infty)}\\Big]-\\Big[ -\\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)(0)}\\Big]<\/span>\n\n\n X(s) = \\frac{1}{s+a}<\/span>\n\n\n\n con polo s=-a al producir divisi\u00f3n para cero en la expresi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Se puede observar que la regi\u00f3n de convergencia, ROC, de X(s) es Re(s)>-a, como se muestra en la gr\u00e1fica. Para otros valores de s el integral no converge.<\/p>\n\n\n\n Para el ejemplo, siendo a=2<\/p>\n\n\n\n Integral<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n propiedades<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+e(-bt)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t) gate<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t\u2212a)<\/a><\/p>\n\n\n\n cos(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n e(-at)<\/sup>+\u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo e(-as)<\/sup>, \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03b4(t) desplazados<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El algoritmo con Python se desarrolla progresivamente a partir de los ejercicios resueltos de forma anal\u00edtica, usando las librer\u00edas de Sympy-Python. En caso de requerir usar el algoritmo completo, puede ir directamente al ejercicio que incluye impulsos unitarios y considera el integral unilateral o completo en s.<\/p>\n\n\n\n Para iniciar se empieza usando una expresi\u00f3n simple como la del ejemplo. Semejante a los algoritmos anteriores realizados, se definen las variables tipo s\u00edmbolo a usar y el escal\u00f3n unitario en una expresi\u00f3n 'u' para simplificar su escritura posterior.<\/p>\n\n\n\n El desarrollo de los integrales es m\u00e1s sencillo si la expresi\u00f3n se presenta como t\u00e9rminos de suma y se simplifica los exponentes con la instrucci\u00f3n Las instrucciones de las operaciones para el algoritmo ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n La operaci\u00f3n de integraci\u00f3n es unilateral pues considera principalmente se\u00f1a<\/strong>les y sistema<\/strong>s causal<\/strong>es<\/a> como se justifica en la parte te\u00f3rica, por lo que el intervalo de integraci\u00f3n es [0,\u221e].<\/p>\n\n\n\n El resultado del integral se presenta por por partes o intervalos, de la forma La parte a usar para el desarrollo del ejercicio corresponde la primera expresi\u00f3n Las instrucciones para el algoritmo ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n El F(s) puede presentar divisiones para cero para alg\u00fan valor de s<\/strong> que se denominan \"polos<\/strong>\", as\u00ed como valores de s<\/strong> que resultan en \"ceros<\/strong>\". <\/p>\n\n\n\n Se usa la expresi\u00f3n Fs=P\/Q como una fracci\u00f3n de polinomios P(s) y Q(s). Las ra\u00edces del polinomio Q determinan los polos y se obtienen con sym.roots(Q).<\/p>\n\n\n\n Para realizar una gr\u00e1fica F(s) en el dominio s y marcar el polo, se sustituye en las ecuaciones resultantes los valores de ' El intervalo [sa<\/sub> , sb<\/sub>] considera los extremos de las ra\u00edces o polos del denominador Q. Los polos se marcan usando puntos de dispersi\u00f3n con Se recomienda probar con otros ejemplos desarrollados para la parte anal\u00edtica y de ser necesario siguiendo la teor\u00eda presentada en cada caso se mejora y actualiza el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n Considere tambi\u00e9n que Sympy dispone de la librer\u00eda para transformadas de Laplace con instrucciones simplificadas que se usar\u00e1n a lo largo de la unidad 4.<\/p>\n\n\n\n Los siguientes video presenta una interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica y animada de la transformada de Laplace en el plano s real e imaginario.<\/p>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: [1] But what is a Laplace Transform?. 3Blue1Brown. 12 Octubre 2025<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1.Transformada de Laplace - Integral<\/h2>\n\n\n\n
![\"unilateral](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/unilateral_ejex.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"dos](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/03\/cantante03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Integral de la Transformada de Laplace de una exponencial decreciente, un solo termino<\/h2>\n\n\n\n
![\"Transformada](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/TransformadaLaplace_ft_Ej01.png\")
<\/figure>\n\n\nX(s) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-at} \\mu (t) e^{-st} \\delta t <\/span>\n\n\n\n![\"Transformada](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/05\/TransformadaLaplace_Fs_Ej01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2.1 Algoritmo para Integrar con Sympy b\u00e1sico<\/h3>\n\n\n\n
dentro de integral f(t)*e(-st):\n -t\u22c5(a + s) \n\u212f \u22c5\u03b8(t)\n\n expresion F(s):\n 1 \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\na + s\n\n {Q_polos:veces}: {-a: 1}\n {P_ceros:veces}: {}<\/code><\/pre>\n\n\n\n# INGRESO<\/span>\nt = sym.Symbol('t'<\/span>, real=True<\/span>)\na = sym.Symbol('a'<\/span>, real=True<\/span>)\ns = sym.Symbol('s'<\/span>)\nu = sym.Heaviside(t)<\/code><\/pre>\n\n\n\nsym.powsimp()<\/code>.<\/p>\n\n\n\n>>> fts = ft*sym.exp(-s*t)\n>>> fts\nexp(-a*t)*exp(-s*t)*Heaviside(t)\n>>> fts = sym.powsimp(fts)\n>>> fts\nexp(-t*(a + s))*Heaviside(t)\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n# PROCEDIMIENTO<\/span>\nfts = ft*sym.exp(-s*t) # f(t,s) para integrar<\/span>\nfts = sym.expand(fts) # expresion de sumas<\/span>\nfts = sym.powsimp(fts) # simplifica exponentes<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n<\/figure>\n\n\n\n# integral Laplace unilateral<\/span>\nFs_L = sym.integrate(fts,(t,0,sym.oo))<\/code><\/pre>\n\n\n\nsym.piecewise()<\/code> mostrada, por facilidad de lectura con sym.pprint(Fs_L)<\/code>.<\/p>\n\n\n\nFs_L:\n\n\/ 1 pi\n| ----- for |arg(a + s)| < --\n| a + s 2 \n| \n| oo \n| \/ \n< | \n| | -t*(a + s) \n| | e *Heaviside(t) dt otherwise \n| | \n|\/ \n|0 \n\\ <\/code><\/pre>\n\n\n\nFs = Fs_L.args[0]<\/code>, que contiene expresi\u00f3n e intervalo. Para quedarse solo con la expresi\u00f3n y omitir el intervalo, se usa Fs[0]<\/code><\/p>\n\n\n\n>>> Fs = Fs_L.args[0]\n>>> Fs\n(1\/(a + s), Abs(arg(a + s)) < pi\/2)\n>>> Fs = Fs[0]\n>>> Fs\n1\/(a + s)\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\nFs = Fs_L.args[0] # primera ecuacion e intervalo<\/span>\nFs = Fs[0] # solo expresion<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n# polos y ceros en Fs<\/span>\n[P,Q] = Fs.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,s)\nQ = sym.poly(Q,s)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)<\/code><\/pre>\n\n\n\nAlgoritmo en Python - Ejemplo<\/h3>\n\n\n
\n# Transformada de Laplace\n# integral de Laplace unilateral\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad4\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n \n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\na = sym.Symbol('a', real=True)\ns = sym.Symbol('s')\nu = sym.Heaviside(t)\n \nft = sym.exp(-a*t)*u\n \na_k = 2 # valor de 'a' constante\n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nt_a = -1\nt_b = 10\nmuestras = 101 # resolucion grafica\n \n# PROCEDIMIENTO\nfts = ft*sym.exp(-s*t) # f(t,s) para integrar\nfts = sym.expand(fts) # expresion de sumas\nfts = sym.powsimp(fts) # simplifica exponentes\n \n# integral Laplace unilateral\nFs_L = sym.integrate(fts,(t,0,sym.oo))\nFs = Fs_L.args[0] # primera ecuacion e intervalo\nFs = Fs[0] # solo expresion\n \n# polos y ceros en Fs\n[P,Q] = Fs.as_numer_denom()\nP = sym.poly(P,s)\nQ = sym.poly(Q,s)\nP_ceros = sym.roots(P)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n \n# SALIDA\nprint(' dentro de integral f(t)*e(-st):')\nsym.pprint(fts)\nprint('\\n expresion F(s):')\nsym.pprint(Fs)\nprint('\\n {Q_polos:veces}: ',Q_polos)\nprint(' {P_ceros:veces}: ',P_ceros)\n<\/pre><\/div>\n\n\n2.2 Gr\u00e1fica de la transformada de Laplace<\/h3>\n\n\n\n
a<\/code>' con 'a_k<\/code>'. La expresi\u00f3n num\u00e9rica para la gr\u00e1fica se obtiene con lambdify<\/code> y se aplica en el intervalo [sa<\/sub> , sb<\/sub>]. Ejemplos de gr\u00e1ficas se muestran en la unidad 1<\/a>.<\/p>\n\n\n\nplt.scatter()<\/code> y una l\u00ednea vertical plt.axvline()<\/code> para resaltar en la gr\u00e1fica el efecto del polo.<\/p>\n\n\n\n# GRAFICA -----------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\nft = ft.subs(a,a_k) # a tiene valor a_k\nFs = Fs.subs(a,a_k)\n\n# f(t) # evalua en intervalo\nti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)\nf_t = sym.lambdify(t,ft)\nfti = f_t(ti)\n\n# Q polinomio denominador con valor de a\n# polos en s\n[P,Q] = Fs.as_numer_denom()\nQ = Q.as_poly(s)\nQ_polos = sym.roots(Q)\n\n# estima intervalo para s, raices reales\ns_a = 0 ; s_b = 0\npolos = list(Q_polos.keys())\ns_a = int(min(s_a,min(polos)))-1\ns_b = int(max(s_b,max(polos)))+1\n\n# F(s) # evalua en intervalo\nF_s = sym.lambdify(s,Fs)\ns_i = np.linspace(s_a,s_b,muestras)\nFsi = F_s(s_i) # Revisar cuando s es complejo\n\n# GRAFICA f(t) \nfig_ft, graf_ft = plt.subplots()\nplt.plot(ti,fti,label='f(t)')\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('f(t)')\nplt.title('f(t) = '+str(ft)+' ; a='+str(a_k))\nplt.grid()\n\n# GRAFICA F(s) , corte en plano real\nfig_Fs, graf_Fs = plt.subplots()\nplt.plot(s_i,Fsi, color='green',label='F(s)')\nfor raiz in Q_polos.keys(): \n plt.axvline(sym.re(raiz),color='red')\n plt.scatter(sym.re(raiz),sym.im(raiz),\n label='polo:'+str(raiz),\n marker='x',color='red')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.legend()\nplt.xlabel('s')\nplt.ylabel('F(s)')\nplt.title('F(s) = '+str(Fs)+' ; a='+str(a_k))\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\nFs_L = sym.laplace_transform(ft,t,s)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n