{"id":3529,"date":"2017-12-17T06:15:54","date_gmt":"2017-12-17T11:15:54","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=3529"},"modified":"2026-02-19T05:22:09","modified_gmt":"2026-02-19T10:22:09","slug":"s1eva2017ti_t4-componentes-electricos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2017ti_t4-componentes-electricos\/","title":{"rendered":"s1Eva2017TI_T4 Componentes el\u00e9ctricos"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2017TI_T4 Componentes el\u00e9ctricos<\/a><\/p>\n\n\n\n

Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Solo puede usar las cantidades disponibles de material indicadas, por lo que las cantidades desconocidas de producci\u00f3n por componente se convierten en las inc\u00f3gnitas x0<\/sub>, x1<\/sub>, x2<\/sub>. Se usa el \u00edndice cero por compatibilidad con las instrucciones Python.<\/p>\n\n\n\n

<\/th>Material 1<\/th>Material 2<\/th>Material 3<\/th><\/tr><\/thead>
Componente 1<\/td>5 x0<\/sub><\/td>9 x0<\/sub><\/td>3 x0<\/sub><\/td><\/tr>
Componente 2<\/td>7 x1<\/sub><\/td>7 x1<\/sub><\/td>16 x1<\/sub><\/td><\/tr>
Componente 3<\/td>9 x2<\/sub><\/td>3 x2<\/sub><\/td>4 x2<\/sub><\/td><\/tr>
Total<\/td>945<\/td>987<\/td>1049<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Se plantean las f\u00f3rmulas a resolver:<\/p>\n\n\n\n

5 x0<\/sub> +  7 x1<\/sub> + 9 x2<\/sub> = 945\n9 x0<\/sub> +  7 x1<\/sub> + 3 x2<\/sub> = 987\n3 x0<\/sub> + 16 x1<\/sub> + 4 x2<\/sub> = 1049<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se reescriben en la forma matricial AX=B<\/p>\n\n\n \\begin{bmatrix} 5 & 7 & 9\\\\ 9 & 7 & 3 \\\\ 3 & 16 & 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_0 \\\\ x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} 945 \\\\ 987 \\\\ 1049 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n
Se reordena, pivoteando por filas para tener la matriz diagonalmente dominante:<\/p>\n\n\n \\begin{bmatrix} 9 & 7 & 3\\\\ 3 & 16 & 4 \\\\ 5 & 7 & 9 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_0 \\\\ x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} 987 \\\\ 1049 \\\\ 945 \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n
Se determina el n\u00famero de condici\u00f3n de la matriz, por facilidad con Python:<\/p>\n\n\n\n
numero de condicion: 4.396316324708121<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Obtenido con:<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva_IT2017_T4 Componentes el\u00e9ctricos\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nA = [[9, 7,3],\n     [3,16,4],\n     [5, 7,9]]\n\nB = [987,1049,945]\n\n# PROCEDIMIENTO\nA = np.array(A,dtype=float)\nB = np.array(B,dtype=float)\n\n# numero de condicion\nncond = np.linalg.cond(A)\n\n# SALIDA\nprint('numero de condicion:', ncond)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Recordando que la matriz debe ser tipo real, se a\u00f1ade un punto a los d\u00edgitos.<\/p>\n\n\n\n
El n\u00famero de condici\u00f3n es cercano a 1, por lo que el sistema si deber\u00eda converger a la soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Desarrollo con Python<\/h2>\n\n\n\n
La forma AX=B permite usar los algoritmos desarrollados, obteniendo la soluci\u00f3n. Se verifica el resultado al realizar la multiplicaci\u00f3n de A con el vector respuesta, debe ser el vector B con un error menor al tolerado.<\/p>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[   9.    7.    3.  987.]\n [   3.   16.    4. 1049.]\n [   5.    7.    9.  945.]]\nPivoteo parcial:\n  Pivoteo por filas NO requerido\nIteraciones Jacobi\nitera,[X]\n     ,errado,|diferencia|\n0 [0. 0. 0.]\n  nan\n1 [109.66667  65.5625  105.     ]\n  109.66666666666667 [109.66667  65.5625  105.     ]\n2 [23.67361 18.75    -6.91898]\n  111.91898148148148 [ 85.99306  46.8125  111.91898]\n3 [97.38966 62.85344 77.26466]\n  84.18364197530865 [73.71605 44.10344 84.18364]\n4 [35.02577 27.98577  2.00862]\n  75.2560388803155 [62.36389 34.86767 75.25604]\n...\n83 [63.00004 45.00002 35.00005]\n  0.00010522690335079687 [8.85109e-05 5.08730e-05 1.05227e-04]\n84 [62.99997 44.99998 34.99996]\n  8.874058288199649e-05 [7.46435e-05 4.29025e-05 8.87406e-05]\nMetodo de Jacobi\nnumero de condici\u00f3n: 4.396316324708121\nX:  [62.99997 44.99998 34.99996]\nerrado: 8.874058288199649e-05\niteraciones: 84<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Si interpreta el resultado, se debe obtener solo la parte entera [63,45,35] pues las unidades producidas son n\u00fameros enteros.<\/p>\n\n\n\n
Algoritmo en Python:<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva_IT2017_T4 Componentes el\u00e9ctricos\n# Metodo de Jacobi para sistemas de ecuaciones\nimport numpy as np\n \ndef jacobi(A,B,X0, tolera, iteramax=100,\n           vertabla=False, precision=4):\n    ''' M\u00e9todo de Jacobi, tolerancia, vector inicial X0\n        para mostrar iteraciones y tabla: vertabla=True\n    '''\n    # Matrices como arreglo, numeros reales\n    A = np.array(A,dtype=float)\n    B = np.array(B,dtype=float)\n    X0 = np.array(X0,dtype=float)\n    tamano = np.shape(A) # tama\u00f1o A\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n     \n    # valores iniciales\n    diferencia = 2*tolera*np.ones(n, dtype=float)\n    errado = 2*tolera     # np.max(diferencia)\n    tabla = [np.copy(X0)] # tabla de iteraciones\n    tabla = np.concatenate((tabla,[[np.nan]]),\n                            axis=1) # errado\n \n    if vertabla==True:\n        print('Iteraciones Jacobi')\n        print('itera,[X]')\n        print('     ,errado,|diferencia|')\n        print(0,X0)\n        print(' ',np.nan)\n        np.set_printoptions(precision)\n \n    itera = 0 # Jacobi\n    X = np.copy(X0)\n    Xnuevo = np.copy(X0)\n    while errado>tolera and itera<=iteramax:\n         \n        for i in range(0,n,1): # una ecuacion\n            suma = B[i]\n            for j in range(0,m,1): # un coeficiente\n                if (i!=j): # excepto diagonal de A\n                    suma = suma-A[i,j]*X[j]\n            Xnuevo[i] = suma\/A[i,i]\n        diferencia = abs(Xnuevo-X)\n        errado = np.max(diferencia)\n        X = np.copy(Xnuevo)\n \n        Xfila = np.concatenate((Xnuevo,[errado]),axis=0)\n        tabla = np.concatenate((tabla,[Xfila]),axis=0)\n \n        itera = itera + 1\n \n        if vertabla==True:\n            print(itera, Xnuevo)\n            print(' ',errado,diferencia)\n \n    # No converge\n    if (itera>iteramax):\n        X = np.nan\n        print('No converge,iteramax superado')\n \n    if vertabla==True:\n        X = [X,tabla]\n    return(X)\n \ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n    '''\n    Pivotea parcial por filas, entrega matriz aumentada AB\n    Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n    Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n    '''\n    A = np.array(A,dtype=float)\n    B = np.array(B,dtype=float)\n    # Matriz aumentada\n    nB = len(np.shape(B))\n    if nB == 1:\n        B = np.transpose([B])\n    AB  = np.concatenate((A,B),axis=1)\n     \n    if vertabla==True:\n        print('Matriz aumentada')\n        print(AB)\n        print('Pivoteo parcial:')\n     \n    # Pivoteo por filas AB\n    tamano = np.shape(AB)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n     \n    # Para cada fila en AB\n    pivoteado = 0\n    for i in range(0,n-1,1):\n        # columna desde diagonal i en adelante\n        columna = np.abs(AB[i:,i])\n        dondemax = np.argmax(columna)\n         \n        # dondemax no es en diagonal\n        if (dondemax != 0):\n            # intercambia filas\n            temporal = np.copy(AB[i,:])\n            AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n            AB[dondemax+i,:] = temporal\n \n            pivoteado = pivoteado + 1\n            if vertabla==True:\n                print(' ',pivoteado, 'intercambiar filas: ',i,'y', dondemax+i)\n    if vertabla==True:\n        if pivoteado==0:\n            print('  Pivoteo por filas NO requerido')\n        else:\n            print('AB')\n            print(AB)\n    return(AB)\n \n# PROGRAMA B\u00fasqueda de solucion  --------\n# INGRESO\nA = [[9, 7,3],\n     [3,16,4],\n     [5, 7,9]]\n\nB = [987,1049,945]\n \nX0 = [0,0,0]\ntolera = 0.0001\niteramax = 100\nverdecimal = 5\n \n# PROCEDIMIENTO\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\nn,m = np.shape(AB)\nA = AB[:,:n] # separa en A y B\nB = AB[:,n]\n \n[X, tabla] = jacobi(A,B,X0,tolera,iteramax,\n                    vertabla=True,\n                    precision=verdecimal)\nn_itera = len(tabla)-1\nerrado = tabla[-1,-1]\n \n# numero de condicion\nncond = np.linalg.cond(A)\n \n# SALIDA\nprint('Metodo de Jacobi')\nprint('numero de condici\u00f3n:', ncond)\nprint('X: ',X)\nprint('errado:',errado)\nprint('iteraciones:', n_itera)\n\n# GRAFICA de iteraciones\nerrados = tabla[:,n]\n \nimport matplotlib.pyplot as plt\n# grafica de error por iteracion\nfig2D = plt.figure()\ngraf = fig2D.add_subplot(111)\ngraf.plot(errados)\ngraf.set_xlabel('itera')\ngraf.set_ylabel('|error|')\ngraf.set_title('M\u00e9todo de Jacobi: error[itera]')\ngraf.grid()\n \nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
al ejecutar el algoritmo se determina que se requieren 83 iteraciones para cumplir con con el valor de error tolerado.<\/p>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica de errores por iteraci\u00f3n muestra que es convergente:<\/p>\n\n\n\n
\"1Eva2017TI_T4<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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