{"id":361,"date":"2017-04-11T10:10:27","date_gmt":"2017-04-11T15:10:27","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=361"},"modified":"2026-04-05T22:46:10","modified_gmt":"2026-04-06T03:46:10","slug":"lti-ct-respuesta-de-estado-cero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u03\/lti-ct-respuesta-de-estado-cero\/","title":{"rendered":"3.4 LTI CT - Respuesta a estado cero ZSR - Desarrollo anal\u00edtico"},"content":{"rendered":"\n
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ZSR Estado cero<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio: <\/p>\n\n\n\n

x(t), h(t) causal<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-2t)<\/sup>, e(-t)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

e(t)<\/sup>, \u03bc(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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1. Respuesta a estado cero ZSR<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.4 p168, Oppenheim 2.2.2 p94 , Hsu 2.5.B p60<\/p>\n\n\n\n

El estado cero<\/strong> del sistema, \"Zero-State\", supone no hay energ\u00eda almacenada, que los capacitores est\u00e1n descargados, que recien sale el equipo de la caja.  Para \u00e9ste caso, la respuesta del sistema se conoce como respuesta a estado cero<\/strong>, \"Zero-State Response\" ZSR.<\/p>\n\n\n\n

\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n
Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong><\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong><\/mark><\/td><\/tr>
 <\/td> <\/td> <\/td> <\/td>ZSR<\/mark> = h(t)<\/span><\/strong> \u2297 x(t)<\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Para los problemas presentados se asume que el sistema es lineal, causal e invariante en el tiempo. En la pr\u00e1ctica, muchos de los sistemas son causales, pues su respuesta no inicia antes de aplicar una entrada, es decir, todas las entradas a evaluar empiezan en t=0.<\/p>\n\n\n\n

La respuesta del sistema y(t) para un LTIC se determina con la convoluci\u00f3n<\/strong> entre x(t) y h(t), definida mediante el operador \u2297 como :<\/p>\n\n\n y(t) = x(t) \\circledast h(t) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x(\\tau)h(t-\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n

Es importante observar que el integral de convoluci\u00f3n se realiza con respecto a \u03c4<\/strong> en lugar de t<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Si h(t) es causal, lineal, continua<\/h3>\n\n\n\n

Es decir, multiplicada por \u03bc(t), se tiene que, h(t)=0 para t<0 y el integral puede expresarse como:<\/p>\n\n\n y(t) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} h(\\tau)\\mu (\\tau) x(t-\\tau) \\delta \\tau = \\int_{0}^{\\infty} h(\\tau) x(t-\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n

O de forma alterna, aplicando la condici\u00f3n de causalidad (Oppenheim 2.3.6 p112)<\/p>\n\n\n y(t) = \\int_{0}^{\\infty} h(\\tau) x(t-\\tau) \\delta \\tau = \\int_{-\\infty}^{t} x(\\tau) h(t-\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n

Si la entrada x(t) y el sistema h(t) son causales<\/h3>\n\n\n\n

la respuesta tambi\u00e9n ser\u00e1 causal.<\/p>\n\n\n y(t)=\\begin{cases}\\int_{0^{-}}^{t} x(\\tau)h(t-\\tau) \\delta \\tau , & t\\ge 0\\\\ 0, & t<0 \\end{cases}<\/span>\n\n\n y(t)=\\int_{0^{-}}^{t} x(\\tau)h(t-\\tau) \\delta \\tau = \\int_{0^{-}}^{t} h(\\tau)x(t-\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n

El l\u00edmite inferior del integral se usa como 0-<\/strong><\/sup>, implica aunque se escriba solo 0 se pretende evitar la dificultad cuando x(t) tiene un impulso en el origen.<\/p>\n\n\n\n

Recordar que<\/em><\/strong>, basado en la condici\u00f3n de causalidad, si x(t)=0 para t<0, esta se\u00f1al es causal. En el caso contrario, si x(t)=0 para t>0 la se\u00f1al es No causal o anticausal.<\/a><\/p>\n\n\n\n

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ZSR Estado cero<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio: <\/p>\n\n\n\n

x(t), h(t) causal<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-2t)<\/sup>, e(-t)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

e(t)<\/sup>, \u03bc(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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2. Ejercicio. Respuesta Estado Cero ZSR con h(t) causal y x(t) causal<\/h2>\n\n\n\n
\"FIEC05058<\/figure>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>:  Lathi ejemplo 2.6 p166<\/p>\n\n\n\n

Encuentre la corriente y(t) del circuito RLC, cuando todas las condiciones iniciales son cero y en la entrada se tiene la se\u00f1al x(t) descrita por:<\/p>\n\n\n x(t) = 10 e^{-3t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

Adem\u00e1s el sistema tiene respuesta a impulso:<\/p>\n\n\n h(t) = \\big( 2e^{-2t} -e^{-t}\\big)\\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

El ejemplo es la continuaci\u00f3n del presentado para respuesta a entrada cero ZIR<\/a>, que tiene la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n (D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t) <\/span>\n\n\n\n

Desarrollo Anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n

La respuesta se obtiene aplicando convoluci\u00f3n entre la se\u00f1al de entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t) del sistema:<\/p>\n\n\n y(t) = x(t) \\circledast h(t)<\/span>\n\n\n = [ 10 e^{-3t} \\mu (t)] \\circledast [(2e^{-2t} - e^{-t}) \\mu (t)] <\/span>\n\n\n\n

usando la propiedad distributiva de la convoluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n y(t) = [10e^{-3t} \\mu (t) \\circledast 2e^{-2t} \\mu (t)] - [10e^{-3t} \\mu (t) \\circledast e^{-t} \\mu (t)]<\/span>\n\n\n = 20[e^{-3t}\\mu (t) \\circledast e^{-2t} \\mu (t)] - 10[e^{-3t} \\mu(t) \\circledast e^{-t} \\mu (t)]<\/span>\n\n\n\n

Para \u00e9ste ejercicio se usa la tabla de integrales convoluci\u00f3n<\/a>, l\u00ednea 4,\u00a0 as\u00ed el enfoque del desarrollo se mantiene sobre la forma de la se\u00f1al resultante. El siguiente ejemplo se desarrolla con el integral de convoluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n y(t) = 20\\frac{e^{-3t} - e^{-2t}}{-3-(-2)}\\mu (t) - 10\\frac{e^{-3t} - e^{-t}}{-3-(-1)}\\mu (t) <\/span>\n\n\n y(t) = 20\\frac{e^{-3t} - e^{-2t}}{-3+2}\\mu (t) - 10\\frac{e^{-3t} - e^{-t}}{-3+1}\\mu (t) <\/span>\n\n\n = -20\\big[e^{-3t} - e^{-2t}\\big]\\mu (t) + 5\\big[e^{-3t} - e^{-t}\\big]\\mu (t) <\/span>\n\n\n = \\big[-5e^{-t} + 20e^{-2t} - 15e^{-3t}\\big]\\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

\"respuesta<\/figure>\n\n\n\n

De las gr\u00e1ficas se observa que la entrada es semejante a conectar en la entrada un capacitor con carga, que la pierde en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n

\"LTIC<\/figure>\n\n\n\n

En la salida se observa el efecto, la parte inicial corresponde a la corriente en el circuito mientras el capacitor de la entrada entrega energ\u00eda al sistema. Note que en el sistema o circuito se debe ir cargando el capacitor del sistema. Luego, un poco m\u00e1s del segundo 1, la corriente invierte el sentido volvi\u00e9ndose negativa por la carga almacenada en el capacitor del sistema.<\/p>\n\n\n\n

La explicaci\u00f3n breve realizada deber\u00eda ser comprobada en los experimentos de laboratorio, preferiblemente a escala menor con componentes tipo electr\u00f3nico.<\/p>\n\n\n\n

Proponer como tarea.<\/p>\n\n\n\n

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ZSR Estado cero<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio: <\/p>\n\n\n\n

x(t), h(t) causal<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-2t)<\/sup>, e(-t)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

e(t)<\/sup>, \u03bc(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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3. Ejercicio. Respuesta Estado Cero ZSR con h(t) causal y x(t) causal<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 2.8 p173<\/p>\n\n\n\n

Para un sistema LTIC, si la respuesta al impulso es<\/p>\n\n\n h(t) = e^{-2t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

determine la respuesta y(t) para la entrada<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

Desarrollo Anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n

Para \u00e9ste ejercicio se desarrollar\u00e1 la integral de convoluci\u00f3n. La entrada y respuesta al impulso se convierte a:<\/p>\n\n\n x(\\tau) = e^{-\\tau} \\mu(\\tau) <\/span>\n\n\n h(t-\\tau) = e^{-2(t-\\tau)} \\mu(t-\\tau) <\/span>\n\n\n\n

recuerde que la integraci\u00f3n es respecto a \u03c4<\/strong> en el intervalo 0\u2264\u03c4<\/strong>\u2264t.<\/p>\n\n\ny(t) = \\begin{cases} \\int_{0}^{t} \\Big[e^{-\\tau}\\mu(\\tau) e^{-2(t-\\tau)}\\mu(t-\\tau)\\Big] \\delta\\tau , & t\\ge 0 \\\\0, & t \\lt 0 \\end{cases}<\/span>\n\n\n\n

Los valores de u(\u03c4) =1 debido a se convierte a 0 para \u03c4<0 y en el caso de u(t-\u03c4)=1 se convierte a 0 cuando \u03c4\u2265t.<\/p>\n\n\n y(t) = \\int_{0}^{t}e^{-\\tau} e^{-2(t-\\tau)} \\delta\\tau <\/span>\n\n\n = \\int_{0}^{t} e^{-\\tau} e^{-2t} e^{2\\tau} \\delta\\tau <\/span>\n\n\n = e^{-2t} \\int_{0}^{t} e^{\\tau} \\delta\\tau = e^{-2t} e^{\\tau} \\Big|_0^t <\/span>\n\n\n = e^{-2t} (e^{t} - 1) <\/span>\n\n\n = e^{-t} - e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n

para t\u22650, y adem\u00e1s como y(t) = 0 para t<0<\/p>\n\n\n y(t) = \\big( e^{-t} - e^{-2t} \\big) \\mu(t) <\/span>\n\n\n\n

\"Convoluci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
\"Convoluci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
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ZSR Estado cero<\/a><\/p>\n\n\n\n

ejercicio: <\/p>\n\n\n\n

x(t), h(t) causal<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-2t)<\/sup>, e(-t)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

e(t)<\/sup>, \u03bc(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Convoluci\u00f3n y Respuesta al Impulso Unitario. Physics Videos by Eugene Khutoryansky. 20 julio 2019<\/p>\n\n\n\n

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