{"id":4214,"date":"2019-09-10T21:22:16","date_gmt":"2019-09-11T02:22:16","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=4214"},"modified":"2026-04-05T20:59:55","modified_gmt":"2026-04-06T01:59:55","slug":"s3eva2019ti_t2-integral-con-interpolacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva20\/s3eva2019ti_t2-integral-con-interpolacion\/","title":{"rendered":"s3Eva2019TI_T2 Integral con interpolaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 3Eva2019TI_T2 Integral con interpolaci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

El ejercicio considera dos partes: interpolaci\u00f3n e integraci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

a. Interpolaci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n

Se requiere aproximar la funci\u00f3n usando tres puntos. Para comprender la raz\u00f3n del m\u00e9todo solicitado, se compara la funci\u00f3n con dos interpolaciones:<\/p>\n\n\n\n

a.1 Lagrange
a.2 Trazador c\u00fabico sujeto<\/p>\n\n\n\n

\"trazador<\/figure>\n\n\n\n

Observando la gr\u00e1fica se aclara que en \u00e9ste caso, una mejor aproximaci\u00f3n se obtiene con el m\u00e9todo  de trazador c\u00fabico sujeto. Motivo por lo que el tema tiene un peso de 40\/100 puntos<\/p>\n\n\n\n

Los valores a considerar para la evaluaci\u00f3n son:<\/p>\n\n\n\n

puntos referencia xi,yi: \n[0.         0.78539816 1.57079633]\n[ 0.          0.62426595 -0.97536797]\nderivadas en los extremos:  \n    3.141592653589793 \n    0.6929852019184021\nPolinomio de Lagrange\n-1.80262534301178*x**2 + 2.21061873102778*x\nTrazadores c\u00fabicos sujetos\n[0.         0.78539816]\n-0.548171611756137*x**3 - 2.55744517923506*x**2 + 3.14159265358979*x\n\n[0.78539816 1.57079633]\n4.66299098804068*x**3 - 14.8359577843727*x**2 + 12.7851139029174*x - 2.52466795930204\n\n------------------\nValores calculados para Trazadores c\u00fabicos sujetos:\nMatriz A: \n[[-0.26179939 -0.13089969  0.        ]\n [ 0.78539816  3.14159265  0.78539816]\n [ 0.          0.13089969  0.26179939]]\nVector B: \n[  2.34675256 -16.9893436    2.72970237]\ncoeficientes S: \n[-5.11489036 -7.69808822 14.27573913]\ncoeficientes a,b,c,d\n[-0.54817161  4.66299099]\n[-2.55744518 -3.84904411]\n[ 3.14159265 -1.89005227]\n[0.         0.62426595]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
b. Integraci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n
Como forma de comparaci\u00f3n de resultados, se requiere integrar con varios m\u00e9todos para comparar resultados y errores.<\/p>\n\n\n\n
b.1 Integraci\u00f3n con Cuadratura de Gauss, usando el resultado de trazador c\u00fabico.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Se integra en cada tramo de cada polinomio:<\/p>\n\n\n\n
Trazadores c\u00fabicos sujetos\n[0.         0.78539816]\n-0.548171611756137*x**3 - 2.55744517923506*x**2 + 3.14159265358979*x<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se obtienen los puntos del m\u00e9todo de cuadratura desplazados en el rango:<\/p>\n\n\n\n
xa:  0.16597416116944688\nxb:  0.6194240022280014\narea:  0.5037962958529855<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para el segundo tramo:<\/p>\n\n\n\n
[0.78539816 1.57079633]\n4.66299098804068*x**3 - 14.8359577843727*x**2 + 12.7851139029174*x - 2.52466795930204\nxa:  0.9513723245668951\nxb:  1.4048221656254496\narea:  -0.2706563884589365<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Con lo que el integral total es:<\/p>\n\n\n\n
Integral total:  0.23313990739404894<\/code><\/pre>\n\n\n\n
b.2 Integraci\u00f3n anal\u00edtica<\/strong><\/p>\n\n\n\\int_0^{\\pi \/2}sin(\\pi x) dx<\/span>\n\n\n\n
u = \u03c0x
du\/dx = \u03c0
dx = du\/\u03c0<\/p>\n\n\n\n
se convierte en:<\/p>\n\n\n \\frac{1}{\\pi}\\int sin(u) du<\/span>\n\n\n \\frac{1}{\\pi}(-cos(u))<\/span>\n\n\n\n
volviendo a la variable x:<\/p>\n\n\n\\frac{1}{\\pi}(-cos(\\pi x)) \\Big\\rvert_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}<\/span>\n\n\n-\\frac{1}{\\pi}(cos(\\pi \\frac{\\pi}{2})-cos(\\pi(0))) = 0.24809580527879377<\/span>\n\n\n\n
c. Estimaci\u00f3n del error<\/h4>\n\n\n\n
Se restan los resultados de las secciones b.1 y b.2<\/p>\n\n\n\n
error = |0.24809580527879377 - 0.23313990739404894 |<\/p>\n\n\n\n
error = 0.014955897884744829<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
separado por literales<\/p>\n\n\n
\n# 3Eva I T 2019 Interpola e Integra\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef interpola_lagrange(xi,yi):\n    '''\n    Interpolaci\u00f3n con m\u00e9todo de Lagrange\n    resultado: polinomio en forma simb\u00f3lica\n    '''\n    # PROCEDIMIENTO\n    n = len(xi)\n    x = sym.Symbol('x')\n    # Polinomio\n    polinomio = 0\n    for i in range(0,n,1):\n        # Termino de Lagrange\n        termino = 1\n        for j  in range(0,n,1):\n            if (j!=i):\n                termino = termino*(x-xi[j])\/(xi[i]-xi[j])\n        polinomio = polinomio + termino*yi[i]\n    # Expande el polinomio\n    polinomio = polinomio.expand()\n    return(polinomio)\n\ndef traza3sujeto(xi,yi,u,v):\n    '''\n    Trazador c\u00fabico sujeto, splines\n    resultado: polinomio en forma simb\u00f3lica\n    '''\n    n = len(xi)\n    # Valores h\n    h = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    # Sistema de ecuaciones\n    A = np.zeros(shape=(n,n), dtype=float)\n    B = np.zeros(n, dtype=float)\n    S = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    # coeficientes\n    a = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    b = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    c = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    d = np.zeros(n-1, dtype=float)\n    \n    polinomios=[]\n    \n    if (n>=3):\n        for i in range(0,n-1,1):\n            h[i]=xi[i+1]-xi[i]\n        A[0,0] = -h[0]\/3\n        A[0,1] = -h[0]\/6\n        B[0] = u-(yi[1]-yi[0])\/h[0]\n        for i in range(1,n-1,1):\n            A[i,i-1] = h[i-1]\n            A[i,i] = 2*(h[i-1]+h[i])\n            A[i,i+1] = h[i]\n            B[i] = 6*((yi[i+1]-yi[i])\/h[i] - (yi[i]-yi[i-1])\/h[i-1])\n        A[n-1,n-2] = h[n-2]\/6\n        A[n-1,n-1] = h[n-2]\/3\n        B[n-1] = v-(yi[n-1]-yi[n-2])\/h[n-2]\n\n        # Resolver sistema de ecuaciones\n        S = np.linalg.solve(A,B)\n\n        # Coeficientes\n        for i in range(0,n-1,1):\n            a[i]=(S[i+1]-S[i])\/(6*h[i])\n            b[i]=S[i]\/2\n            c[i]=(yi[i+1]-yi[i])\/h[i]-(2*h[i]*S[i]+h[i]*S[i+1])\/6\n            d[i]=yi[i]\n      \n        # polinomio en forma simb\u00f3lica\n        x=sym.Symbol('x')\n        polinomios=[]\n        for i in range(0,n-1,1):\n            ptramo = a[i]*(x-xi[i])**3 + b[i]*(x-xi[i])**2 + c[i]*(x-xi[i])+ d[i]\n            ptramo = ptramo.expand()\n            polinomios.append(ptramo)\n        parametros = [A,B,S,a,b,c,d]                                                           \n    return(polinomios, parametros)\n\n# INGRESO\nf = lambda x: np.sin(np.pi*x)\nmuestrasf = 20\na = 0\nb = np.pi\/2\n# Derivadas en los extremos\nu = np.pi*np.cos(np.pi*a)\nv = np.pi*np.cos(np.pi*b)\nmuestras = 3\n\n# literal a\n# PROCEDIMIENTO\nxif = np.linspace(a,b,muestrasf)\nyif = f(xif)\n\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nyi = f(xi)\n\n# Usando Lagrange\nx = sym.Symbol('x')\npL = interpola_lagrange(xi,yi)\npxL = sym.lambdify(x,pL)\npxiL =  pxL(xif)\n\n# Trazador c\u00fabico sujeto\npS, parametros = traza3sujeto(xi,yi,u,v)\npxiS = np.zeros(muestrasf,dtype=float)\n\n# Evalua trazadores c\u00fabicos sujetos\ni=0\nap = xi[i]\nbp = xi[i+1]\npoli = sym.lambdify(x, pS[i])\nfor j in range(0,muestrasf,1):\n    punto = xif[j]\n    if (punto>bp):\n        i = i+1\n        ap = xi[i]\n        bp = xi[i+1]\n        poli = sym.lambdify(x,pS[i])\n    pxiS[j] = poli(punto)\n\n# SALIDA\nprint('puntos referencia xi,yi: ')\nprint(xi)\nprint(yi)\nprint('derivadas en los extremos: ',u,v)\nprint('Polinomio de Lagrange')\nprint(pL)\nprint('Trazadores c\u00fabicos sujetos')\nn = len(xi)\nfor i in range(0,n-1,1):\n    print(xi[i:i+2])\n    print(pS[i])\n# Parametros de Trazadores c\u00fabicos sujetos\nprint('Matriz A: ')\nprint(parametros[0])\nprint('Vector B: ')\nprint(parametros[1])\nprint('coeficientes S: ')\nprint(parametros[2])\nprint('coeficienetes a,b,c,d')\nprint(parametros[3])\nprint(parametros[4])\nprint(parametros[5])\nprint(parametros[6])\n\n# Gr\u00e1ficas\nplt.plot(xif,yif, label='funcion')\nplt.plot(xi,yi,'o', label='muestras')\nplt.plot(xif,pxiL, label='p(x)_Lagrange')\nplt.plot(xif,pxiS, label='p(x)_Traza3Sujeto')\nplt.legend()\nplt.xlabel('x')\nplt.show()\n\n# literal b\n# cuadratura de Gauss de dos puntos\ndef integraCuadGauss2p(funcionx,a,b):\n    x0 = -1\/np.sqrt(3)\n    x1 = -x0\n    xa = (b+a)\/2 + (b-a)\/2*(x0)\n    xb = (b+a)\/2 + (b-a)\/2*(x1)\n    area = ((b-a)\/2)*(funcionx(xa) + funcionx(xb))\n    print('xa: ',xa)\n    print('xb: ',xb)\n    print('area: ', area)\n    return(area)\n\n# INGRESO\nf0 = sym.lambdify(x,pS[0])\nf1 = sym.lambdify(x,pS[1])\n# Procedimiento\nI0 = integraCuadGauss2p(f0,xi[0],xi[1])\nI1 = integraCuadGauss2p(f1,xi[1],xi[2])\nIt = I0+I1\n\n# SALIDA\nprint('Integral 1: ', I0)\nprint('Integral 2: ', I1)\nprint('Integral total: ',It)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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