{"id":4412,"date":"2019-11-27T06:55:17","date_gmt":"2019-11-27T11:55:17","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=4412"},"modified":"2026-02-26T11:00:43","modified_gmt":"2026-02-26T16:00:43","slug":"s1eva2019tii_t2-proceso-termodinamico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2019tii_t2-proceso-termodinamico\/","title":{"rendered":"s1Eva2019TII_T2 Proceso Termodin\u00e1mico"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2019TII_T2 Proceso Termodin\u00e1mico<\/a><\/p>\n\n\n\n

la ecuaci\u00f3n para el problema se describe como:<\/p>\n\n\n f(x)=e^{-0.5x}<\/span>\n\n\n\n

ecuaci\u00f3n que se usa para describir los siguientes puntos:<\/p>\n\n\n\n

x<\/th>0<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td><\/tr>
f(x)<\/th>1<\/td>0.60653065<\/td>0.36787944<\/td>0.22313016<\/td> 0.13533528<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Como el polinomio es de grado 2, se utilizan tres puntos. Para cubrir el intervalo los puntos seleccionados incluyen los extremos y el punto medio.<\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Con los puntos seleccionados se escriben las ecuaciones del polinomio:<\/p>\n\n\np_2(x)= a_0 x^2 + a_1 x + a_2<\/span>\n\n\n\n

usando los valores de la tabla:<\/p>\n\n\np_2(0)=a_0 (0)^2 + a_1 (0) + a_2 = 1<\/span>\n\n\np_2(2)=a_0 (2)^2 + a_1 (2) + a_2 = 0.36787944<\/span>\n\n\np_2(4)=a_0 (4)^2 + a_1 (4) + a_2 = 0.13533528<\/span>\n\n\n\n

con la que se escribe la matriz Vandermonde con la forma A.x=B<\/p>\n\n\n\n

A= [[ 0.,  0.,  1.,]\n    [ 4.,  2.,  1.,]\n    [16.,  4.,  1.,]]\n\nB= [[1.        ],\n    [0.36787944],\n    [0.13533528]]) <\/code><\/pre>\n\n\n\n
matriz aumentada<\/p>\n\n\n\n
[[ 0.,  0.,  1.,  1.        ]\n [ 4.,  2.,  1.,  0.36787944]\n [16.,  4.,  1.,  0.13533528]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
matriz pivoteada<\/p>\n\n\n\n
[[16.,  4.,  1.,  0.13533528]\n [ 4.,  2.,  1.,  0.36787944]\n [ 0.,  0.,  1.,  1.        ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Resolviendo por alg\u00fan m\u00e9todo directo, la soluci\u00f3n proporciona los coeficientes del polinomio<\/p>\n\n\n\n
Tarea<\/strong><\/em>: escribir la soluci\u00f3n del m\u00e9todo directo, semejante a la presentada en el tema 3<\/p>\n\n\n\n
[ 0.04994705 -0.41595438  1.        ]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que el polinomio de interpolaci\u00f3n es:<\/p>\n\n\n p_2(x) = 0.04994705 x^2 - 0.41595438 x + 1.0 <\/span>\n\n\n\n
en el enunciado se requiere la evaluaci\u00f3n en x=2.4<\/p>\n\n\n p_2(2.4) = 0.04994705 (2.4)^2 - 0.41595438 (2.4) + 1.0 <\/span>\n\n\n f(2.4)=e^{-0.5(2.4)}<\/span>\n\n\n error = |f(2.4)-p_2(2.4)|<\/span>\n\n\n\n
Evaluando en X1:  2.4\nEvaluando p(x1):  0.2894044975129779\nError en x1:      0.011789714399224216\n Error relativo:  0.039143230291095066<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"s1e2019tii_t2<\/figure>\n\n\n\n
La diferencia entre la funci\u00f3n y el polinomio de interpolaci\u00f3n se puede observar en la gr\u00e1fica:
<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal b<\/h2>\n\n\n\n
Tarea<\/em><\/strong>: Encontrar la cota de error con f(1.7)<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Resultado con el algoritmo<\/p>\n\n\n\n
Matriz Vandermonde: \n[[ 0.  0.  1.]\n [ 4.  2.  1.]\n [16.  4.  1.]]\nlos coeficientes del polinomio: \n[ 0.04994705 -0.41595438  1.        ]\nPolinomio de interpolaci\u00f3n: \n0.049947050111716*x**2 - 0.415954379637711*x + 1.0\n\n formato pprint\n                   2                            \n0.049947050111716*x  - 0.415954379637711*x + 1.0\n\nEvaluando en X1:  2.4\nEvaluando p(x1):  0.2894044975129779\nError en x1:      0.011789714399224216\n Error relativo:  0.039143230291095066\n\nEvaluando en X2:  1.7\nEvaluando p(x2):  0.2894044975129779\nError en x2:      0.011789714399224216\n Error relativo:  0.039143230291095066\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Presentado por secciones, semejante a lo desarrollado en clases<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva_IIT2019_T2 Proceso Termodin\u00e1mico\n# El polinomio de interpolaci\u00f3n\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.exp(-0.5*x)\nxi =np.array([0,2,4],dtype=float)\n\n# determina vector\nfi= fx(xi)\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Convierte a arreglos numpy \nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\n\nB = fi\nn = len(xi)\n\n# Matriz Vandermonde D\nD = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\nfor i in range(0,n,1):\n    for j in range(0,n,1):\n        potencia = (n-1)-j # Derecha a izquierda\n        D[i,j] = xi[i]**potencia\n\n# Aplicar m\u00e9todos Unidad03. Tarea\n# Resuelve sistema de ecuaciones A.X=B\ncoeficiente = np.linalg.solve(D,B)\n\n# Polinomio en forma simb\u00f3lica\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0\nfor i in range(0,n,1):\n    potencia = (n-1)-i   # Derecha a izquierda\n    termino = coeficiente[i]*(x**potencia)\n    polinomio = polinomio + termino\n\n# Polinomio a forma Lambda x:\n# para evaluaci\u00f3n con vectores de datos xin\nmuestras = 21\npx = sym.lambdify(x,polinomio)\n\n# SALIDA\nprint('Matriz Vandermonde: ')\nprint(D)\nprint('los coeficientes del polinomio: ')\nprint(coeficiente)\nprint('Polinomio de interpolaci\u00f3n: ')\nprint(polinomio)\nprint('\\n formato pprint')\nsym.pprint(polinomio)\n\n\n# literal b\nx1 = 2.4\npx1 = px(x1)\nfx1 = fx(x1)\nerrorx1 = np.abs(px1-fx1)\nerrorx1rel = errorx1\/fx1\nx2 = 1.7\npx2 = px(x1)\nfx2 = fx(x1)\nerrorx2 = np.abs(px1-fx1)\nerrorx2rel = errorx1\/fx1\nprint()\nprint('Evaluando en X1: ',x1)\nprint('Evaluando p(x1): ',px1)\nprint('Error en x1:     ',errorx1)\nprint(' Error relativo: ', errorx1rel)\nprint()\nprint('Evaluando en X2: ',x2)\nprint('Evaluando p(x2): ',px2)\nprint('Error en x2:     ',errorx2)\nprint(' Error relativo: ', errorx2rel)\n\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\nxin = np.linspace(a,b,muestras)\nyin = px(xin)\n\n# Usando evaluaci\u00f3n simb\u00f3lica\n##yin = np.zeros(muestras,dtype=float)\n##for j in range(0,muestras,1):\n##    yin[j] = polinomio.subs(x,xin[j])\n\nplt.plot(xi,fi,'o', label='[xi,fi]')\nplt.plot(xin,yin, label='p(x)')\nplt.plot(xin,fx(xin), label='f(x)')\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.legend()\nplt.title(polinomio)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2019TII_T2 Proceso Termodin\u00e1mico la ecuaci\u00f3n para el problema se describe como: ecuaci\u00f3n que se usa para describir los siguientes puntos: x 0 1 2 3 4 f(x) 1 0.60653065 0.36787944 0.22313016  0.13533528 Como el polinomio es de grado 2, se utilizan tres puntos. Para cubrir el intervalo los puntos seleccionados incluyen los extremos y […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[45],"tags":[58,54],"class_list":["post-4412","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva20","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4412","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4412"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4412\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21797,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4412\/revisions\/21797"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4412"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4412"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4412"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}