{"id":4424,"date":"2019-11-27T08:00:30","date_gmt":"2019-11-27T13:00:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=4424"},"modified":"2025-12-23T10:31:04","modified_gmt":"2025-12-23T15:31:04","slug":"s1eva2019tii_t1-ecuacion-recursiva","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2019tii_t1-ecuacion-recursiva\/","title":{"rendered":"s1Eva2019TII_T1 Ecuaci\u00f3n Recursiva"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Ejercicio<\/strong>: <a href=\"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-evalua\/mn-1e20\/1eva2019tii_t1-ecuacion-recursiva\/\" data-type=\"post\" data-id=\"4448\">1Eva2019TII_T1 Ecuaci\u00f3n Recursiva<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>la ecuaci\u00f3n recursiva es:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x_n = g(x_{n-1}) = \\sqrt{3 + x_{n-1}}<\/span>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2019\/11\/s1e2019TII_T1_fxRecursiva_grafica.png\" alt=\"s1e2019tii_t1 x recursiva gr\u00e1fica\" class=\"wp-image-18794\" style=\"width:645px;height:auto\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">literal a y b<\/h2>\n\n\n\n<p>g(x) es creciente en todo el intervalo, con valor m\u00ednimo en g(1) = 2, y m\u00e1ximo en g(3) =2.449. Por observaci\u00f3n de la gr\u00e1fica, la pendiente g(x) es menor que la recta identidad en todo el intervalo<\/p>\n\n\n\n<p>Verifique la cota de g'(x)<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x) = \\sqrt{3 + x} =(3+x)^{1\/2}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g'(x) =\\frac{1}{2}(3+x)^{-1\/2}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g'(x) =\\frac{1}{2\\sqrt{3+x}}<\/span>\n\n\n\n<p>Tarea: verificar que g'(x) es menor que 1 en todo el intervalo.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Literal c<\/h2>\n\n\n\n<p>Usando el algoritmo del punto fijo, iniciando con el punto x<sub>0<\/sub>=2<br>y tolerancia de 10<sup>-4<\/sup>, se tiene que:<\/p>\n\n\n\n<p><strong><em>Iteraci\u00f3n<\/em><\/strong> 1: x<sub>0<\/sub>=2<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x_0) = \\sqrt{3 + 2} = 2.2361 <\/span>\n\n\n\n<p>error = |2.2361 - 2| = 0.2361<\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Iteraci\u00f3n<\/strong><\/em> 2: x<sub>1<\/sub> = 2.2361<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x_1) = \\sqrt{3 + 2.2361} = 2.2882 <\/span>\n\n\n\n<p>error = |2.2882 - 2.2361| = 0.0522<\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Iteraci\u00f3n<\/strong><\/em> 3: x<sub>2<\/sub> = 2.2882<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x_2) = \\sqrt{3 + 2.2882} = 2.2996 <\/span>\n\n\n\n<p>error = |2.2996 - 2.28821| = 0.0114<\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Iteraci\u00f3n<\/strong><\/em> 4: x<sub>3<\/sub> = 2.2996<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x_3) = \\sqrt{3 + 2.2996} = 2.3021 <\/span>\n\n\n\n<p>error = |2.3021- 2.2996| = 0.0025<\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Iteraci\u00f3n<\/strong><\/em> 5: x<sub>4<\/sub> = 2.3021<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> g(x_4) = \\sqrt{3 + 2.3021} = 2.3026 <\/span>\n\n\n\n<p>error = |2.3021- 2.2996| = 5.3672e-04<\/p>\n\n\n\n<p>con lo que determina que el error en la 5ta iteraci\u00f3n es de 5.3672e-04 y el error se reduce en casi 1\/4 entre iteraciones. El punto fijo converge a 2.3028<\/p>\n\n\n\n<p>Se muestra como referencia la tabla resumen.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&#091;&#091; x ,   g(x), \t tramo  ] \n &#091;1.      2.      1.    ]\n &#091;2.      2.2361  0.2361]\n &#091;2.2361  2.2882  0.0522]\n &#091;2.2882  2.2996  0.0114]\n &#091;2.2996  2.3021  0.0025]\n &#091;2.3021  2.3026  5.3672e-04]\n &#091;2.3026  2.3027  1.1654e-04]\n &#091;2.3027  2.3028  2.5305e-05]\nraiz:  2.3027686193257098<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>con el siguiente comportamiento de la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2019\/11\/s1e2019TII_T1_fxRecursiva_grafica.png\" alt=\"s1e2019tii_t1 x recursiva gr\u00e1fica\" class=\"wp-image-18794\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">literal e<\/h2>\n\n\n\n<p>Realizando el mismo ejercicio para el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n, se requiere cambiar a la forma f(x)=0<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> x = \\sqrt{3 + x}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> 0 = \\sqrt{3 + x} -x<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> f(x) = \\sqrt{3 + x} -x<\/span>\n\n\n\n<p>tomando como intervalo el mismo que el inicio del problema [1,3], al realizar las operaciones se tiene que:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>a = 1 ; f(a) = 1\nb = 3 ; f(b) = -0.551\nc = (a+b)\/2 = (1+3)\/2 = 2\nf(c) = f(2) = (3 + 2)^(.5) +2 = 0.236\nSiendo f(c) positivo, y tama\u00f1o de paso 2, se reduce a 1\n\na = 2 ; f(a) = 0.236\nb = 3 ; f(b) = -0.551\nc = (a+b)\/2 = (2+3)\/2 = 2.5\nf(c) = f(2.5) = (3 + 2.5)^(.5) +2.5 = -0.155\nSiendo fc(c) negativo y tama\u00f1o de paso 1, se reduce a .5\n\na = 2\nb = 2.5\n...<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Siguiendo las operaciones se obtiene la siguiente tabla:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&#091; i, a,   c,   b,    f(a),  f(c),  f(b), paso]\n 1 1.000 2.000 3.000 1.000  0.236 -0.551 2.000 \n 2 2.000 2.500 3.000 0.236 -0.155 -0.551 1.000 \n 3 2.000 2.250 2.500 0.236  0.041 -0.155 0.500 \n 4 2.250 2.375 2.500 0.041 -0.057 -0.155 0.250 \n 5 2.250 2.312 2.375 0.041 -0.008 -0.057 0.125 \n 6 2.250 2.281 2.312 0.041  0.017 -0.008 0.062 \n 7 2.281 2.297 2.312 0.017  0.005 -0.008 0.031 \n 8 2.297 2.305 2.312 0.005 -0.001 -0.008 0.016 \n 9 2.297 2.301 2.305 0.005  0.002 -0.001 0.008 \n10 2.301 2.303 2.305 0.002  0.000 -0.001 0.004 \n11 2.303 2.304 2.305 0.000 -0.001 -0.001 0.002 \n12 2.303 2.303 2.304 0.000 -0.000 -0.001 0.001 \n13 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 \n14 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 \n15 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 \n16 2.303 2.303 2.303 0.000  0.000 -0.000 0.000 \nraiz:  2.302764892578125<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Donde se observa que para la misma tolerancia de 10<sup>-4<\/sup>, se incrementan las iteraciones a 16. Mientra que con punto fijo eran solo 8.<\/p>\n\n\n\n<p><strong><em>Nota<\/em><\/strong>: En la evaluaci\u00f3n solo se requer\u00eda calcular hasta la 5ta iteraci\u00f3n. Lo presentado es para fines did\u00e1cticos<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ejercicio: 1Eva2019TII_T1 Ecuaci\u00f3n Recursiva la ecuaci\u00f3n recursiva es: literal a y b g(x) es creciente en todo el intervalo, con valor m\u00ednimo en g(1) = 2, y m\u00e1ximo en g(3) =2.449. 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