{"id":454,"date":"2024-12-21T08:11:19","date_gmt":"2024-12-21T13:11:19","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1034\/?p=454"},"modified":"2026-03-27T21:23:48","modified_gmt":"2026-03-28T02:23:48","slug":"idft-propiedades-ifft-con-python","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-unidades\/idft-propiedades-ifft-con-python\/","title":{"rendered":"3.4 IDFT \u2013 Propiedades \u2013 IFFT con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

IDFT:<\/p>\n\n\n\n

periodicidad<\/a><\/p>\n\n\n\n

convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Peri\u00f3dicidad<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 8.3.1 p319<\/p>\n\n\n\n

La sumatoria de IDFT tambi\u00e9n tiene propiedad e periodicidad. Considera evaluar una funci\u00f3n en n+N, con n en el intervalo 0\u2264n\u2264N-1:<\/p>\n\n\n x[n+N] = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\\pi \/N)k(n+N)}<\/span>\n\n\n = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\\pi \/N)k(n)} \\cancel{e^{j(2\\pi \/N)k(N)} } <\/span>\n\n\n\n

un factor exponencial se convierte en 1, quedando<\/p>\n\n\n = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j(2\\pi \/N)k(n)} = x[n] <\/span>\n\n\n\n

1. 1 Ejemplo: IDFT de impulso desplazado<\/h3>\n\n\n\n

Para una se\u00f1al de L=N=10 puntos x[n]=\u03b4[n-14] tendr\u00e1 una DFT:<\/p>\n\n\n X[k] = e^{-j(0.2\\pi (14)k}<\/span>\n\n\n\n

El resultado de la IDFT tendr\u00e1 un valor diferente de cero en n=4.<\/p>\n\n\n\n

\"ifft<\/figure>\n\n\n\n

con el algoritmo para no.fft.ifft() se pueden obtener los valores para<\/p>\n\n\n\n

N: 10\nX[k]:\n[ 1.        +0.00000000e+00j -0.80901699-5.87785252e-01j\n  0.30901699+9.51056516e-01j  0.30901699-9.51056516e-01j\n -0.80901699+5.87785252e-01j  1.        +1.71450552e-15j\n -0.80901699-5.87785252e-01j  0.30901699+9.51056516e-01j\n  0.30901699-9.51056516e-01j -0.80901699+5.87785252e-01j]\nRe(x[n]):\n[-4.88498131e-16 -7.98670570e-16 -9.76996262e-16 -9.51130884e-16\n  1.00000000e+00  9.49240686e-16  9.76996262e-16  8.05446317e-16\n  5.32907052e-16 -4.88554849e-18]\nIm(x[n]):\n[-7.16727868e-16 -3.76270034e-16  2.39540920e-17  4.01492493e-16\n  2.23107982e-15  3.94763191e-16  4.54309871e-17 -3.94454259e-16\n -7.26484270e-16 -8.82784150e-16]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
considerando como bloque de ingreso:<\/p>\n\n\n\n
# INGRESO<\/span>\nX_k = lambda<\/span> k: np.exp(-1j*0.2*np.pi*14*k)\nN  = 10 # Tramos en intervalo<\/span>\nk0 = 0 # inicio de gr\u00e1fica<\/span>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
IDFT:<\/p>\n\n\n\n
periodicidad<\/a><\/p>\n\n\n\n
convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2.  Propiedad de la Convoluci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
La convoluci\u00f3n en el domino del tiempo se puede desarrollar como una multiplicaci\u00f3n en el dominio de la frecuencia.<\/p>\n\n\n y[n] = h[n] * x[n] \\leftrightarrow Y(e^{j \\omega} )= H(e^{j \\omega}) X(e^{j \\omega}) <\/span>\n\n\n\n
Siendo la DFT una versi\u00f3n discreta  de tama\u00f1o finito, de la DTFT cont\u00ednua:<\/p>\n\n\n y[n] = \\sum_{m=0}^{M-1} h[m] x[n-m] <\/span>\n\n\n\n
donde se supone que h[n]= 0 fuera del intervalo n= 0, 1, ... , M-1,
x[n]=0 fuera del intervalo n= 0, 1, ... , L-1
h[n] es una secuencia d M puntos y x[n] es una secuencia de L puntos.<\/p>\n\n\n Y[k] = H[k] X[k] <\/span>\n\n\n\n
obteniendo y[n]<\/p>\n\n\n y[n] = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} Y[k] e^{j(2 \\pi \/N)kn} <\/span>\n\n\n\n
2. 1 Ejemplo: Convoluci\u00f3n de pulsos<\/h3>\n\n\n\n
Suponga una se\u00f1al h[n] compuesta de 16 puntos de los que 6 se encuentran en valor 1 y el resto en cero. La se\u00f1al x[n] es una se\u00f1al de pulsos de tama\u00f1o 16 puntos, 10 en estado uno, el resto en cero. Considerando que Y[k] = H[k] X[k], use np.fft.fft y np.fft.ifft para mostrar la convoluci\u00f3n resultante en el dominio del tiempo.<\/p>\n\n\n\n
\"ifft<\/a><\/figure>\n\n\n\n
k0x: 0 ; i: 8\nfreq_Hz: 0.0 ; Xk[k0x]: (10+0j)\n[ i, freq[ki],|X[k]| ,X[k]]\n[0, 0.0, 10.0, (10+0j)]\n[1, 0.2, 4.735650251450756, (-0.9238795325112867-4.6446560597607585j)]\n[2, 0.4, 1.8477590650225735, (1.7071067811865475-0.7071067811865476j)]\n[3, 0.6000000000000001, 0.688811980233627, (-0.38268343236508984-0.5727262301542022j)]\n\nk0h: 0 ; i: 8\nfreq_Hz: 0.0 ; Hk[k0h]: (6+0j)\n[ i, freq[ki],|H[k]| ,H[k]]\n[0, 0.0, 6.0, (6+0j)]\n[1, 0.2, 4.735650251450756, (2.630986313697834-3.937549278574211j)]\n[2, 0.4, 1.8477590650225735, (-0.7071067811865476-1.7071067811865475j)]\n[3, 0.6000000000000001, 0.688811980233627, (0.6755766511785423+0.1343805510323453j)]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# ejemplo 8.3.3 p324 DFT convolucion\n# telg1034 DSP fiec-espol edelros@espol.edu.ec\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nL  = 16   # Tramos en un periodo\n\n# se\u00f1al es rectangular peri\u00f3dico rect[n]\nf0 = 0.2  # frecuencia fundamental de se\u00f1al\nancho = (10\/16)*(1\/f0) # ancho del impulso rectangular\nxt = lambda t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-ancho,1)\n\n# se\u00f1al H es rectangular peri\u00f3dico rect[n]\nf0 = 0.2  # frecuencia fundamental de se\u00f1al\nanchoh = (6\/16)*(1\/f0) # ancho del impulso rectangular\nht = lambda t: np.heaviside(t,1)-np.heaviside(t-anchoh,1)\n\n# para DFT\nN = 1*L # N par mayor que L, tramos DFT\n\n# PROCEDIMIENTO\n# muestreo de se\u00f1al x[n]\nt0 = 0 ; tn = 1\/f0 # intervalo [t0,tn]\ndt = (tn-t0)\/L\nti = np.arange(t0,tn,dt)\n\nxn = xt(ti)\nhn = ht(ti)\n\n# verificar que L<=N\nif L<=N:\n    # DFT transformada rapida de Fourier\n    Xk = np.fft.fft(xn,n=N)\n    Xkmagn = np.abs(Xk) # para gr\u00e1fica\n    Xkfase = np.angle(Xk)\n    k0x = np.argmax(Xk) # Pico |X[k]|\n    \n    # DFT transformada rapida de Fourier\n    Hk = np.fft.fft(hn,n=N)\n    Hkmagn = np.abs(Hk) # para gr\u00e1fica\n    Hkfase = np.angle(Hk)\n    k0h = np.argmax(Hk) # Pico |X[k]|\n\n    freq_Hz = np.fft.fftfreq(N,dt) # frecuencias en Hz\n    mitad = int(N\/2)\n    \n\n    # Convolucion en dominio de frecuencia\n    Yk = Hk*Xk\n    yn = np.fft.ifft(Yk,n=N)\n    yn_re = np.real(yn)\n    yn_im = np.imag(yn)\n\n# SALIDA\nif N>=L:\n    print('k0x:',k0x,'; i:',mitad+k0x)\n    print('freq_Hz:',freq_Hz[k0x],\n          '; Xk[k0x]:',Xk[k0x])\n    print('[ i, freq[ki],|X[k]| ,X[k]]')\n    kmin = k0x-4 ; kmax = k0x+4\n    if kmin<0:\n        kmin = 0\n    if kmax>N:\n        kmax = N\n    for i in range(kmin,kmax,1):\n        print([i,freq_Hz[i],Xkmagn[i],Xk[i]])\n    print()\n    print('k0h:',k0h,'; i:',mitad+k0h)\n    print('freq_Hz:',freq_Hz[k0h],\n          '; Hk[k0h]:',Hk[k0h])\n    print('[ i, freq[ki],|H[k]| ,H[k]]')\n    kmin = k0h-4 ; kmax = k0h+4\n    if kmin<0:\n        kmin = 0\n    if kmax>N:\n        kmax = N\n    for i in range(kmin,kmax,1):\n        print([i,freq_Hz[i],Hkmagn[i],Hk[i]])\n        \nelse:\n    print('Revisar: L debe ser menor o igual a N')\n    print('L:',L,'; N:',N)\n\n# GRAFICA\nif N>=L:\n    LN_texto= ', L='+str(L)+', N='+str(N)\n    #zp_texto = 'zero padding:'+str(N-L)\n    plt.subplot(311)\n    plt.stem(np.real(xn),label='Re(x[n])',\n             markerfmt ='C2.',linefmt='C2-')\n    plt.stem(L,0,markerfmt ='C3.')\n    plt.xlabel('ti (s)')\n    \n    plt.title('Convoluci\u00f3n entre x[n],H[n]'+LN_texto)\n    plt.legend()\n\n    plt.subplot(312)\n    plt.stem(np.real(hn),label='Re(h[n])',\n             markerfmt ='C1.',linefmt='C1-')\n    plt.stem(L,0,markerfmt ='C1.')\n    plt.xlabel('ti (s)')\n    plt.legend()\n\n    plt.subplot(313)\n    plt.stem(np.real(yn),label='Re(y[n])',\n             markerfmt ='C0.',linefmt='C0-')\n    plt.stem(L,0,markerfmt ='C0.')\n    plt.xlabel('ti (s)')\n    plt.legend()\n    plt.tight_layout()\n    plt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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IDFT:<\/p>\n\n\n\n
periodicidad<\/a><\/p>\n\n\n\n
convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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