Revisa causalidad<\/a><\/p>\n\n\n\n busca:<\/p>\n\n\n\n \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n adelantos<\/a><\/p>\n\n\n\n revisa sumas<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ej 2.8 p173.<\/p>\n\n\n\n La funci\u00f3n h(t) o respuesta al impulso<\/a> se compone de un t\u00e9rmino de impulso y un escal\u00f3n que multiplica a los modos caracter\u00edsticos de la ecuaci\u00f3n diferencial.<\/p>\n\n\n h(t)=b_0 \\delta (t)+ [P(D)y_n (t)] \\mu (t)<\/span>\n\n\n\n La comprobaci\u00f3n de causalidad considera tomar como referencia la b\u00fasqueda de un \u03b4(t) o un \u03bc(t) del lado derecho del plano, t\u22650. Se considera que el sistema responde solo cuando le llega una se\u00f1al a partir de<\/em> t\u22650<\/strong>, por lo que los componentes de h(t) deben encontrarse en el lado derecho del plano.<\/p>\n\n\n\n La causalidad de h(t) se usa para determinar los l\u00edmites del integral de convoluci\u00f3n que facilitan las operaciones para obtenerlo. El algoritmo de comprobaci\u00f3n de causalidad se compone de las partes para analizar la expresi\u00f3n de h(t) descritas en la imagen.<\/p>\n\n\n\n Se propone desarrollar algunos ejercicios de forma progresiva, empezando de lo simple hacia lo mas complejo.<\/p>\n\n\n\n Para generalizar el algoritmo, en adelante h(t) se denominar\u00e1 f(t).<\/p>\n\n\n\n Revisa causalidad<\/a><\/p>\n\n\n\n busca:<\/p>\n\n\n\n \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n adelantos<\/a><\/p>\n\n\n\n revisa sumas<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: h(t) de Lathi Ej. 2.13 p200<\/p>\n\n\n\n El primer objetivo es determinar si tan solo un t\u00e9rmino simple contiene un impulso \u03b4(t), no existen otros t\u00e9rminos sumados. El t\u00e9rmino puede estar desplazado o multiplicado por otros factores.<\/p>\n\n\n\n La instrucci\u00f3n para revisar que a\u00fan no existan de t\u00e9rminos de suma es Si f(t) tiene un impulso se puede revisar con La funci\u00f3n a usar se desarrollada para buscar impulsos unitarios<\/a> en una expresi\u00f3n es:<\/p>\n\n\n\n En el caso de disponer de varios valores, es de inter\u00e9s el valor que se encuentre m\u00e1s hacia la izquierda, es decir los valores encontrados deben ser ordenados previamente. Si los impulsos ocupan solamente el lado derecho del plano, el sistema es causal.<\/p>\n\n\n Para el siguiente ejemplo se deber\u00eda obtener:<\/p>\n\n\n\n con gr\u00e1fica mostrando la causalidad de h(t) como un retraso de la entrada.<\/p>\n\n\n\n Revisa causalidad<\/a><\/p>\n\n\n\n busca:<\/p>\n\n\n\n \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n adelantos<\/a><\/p>\n\n\n\n revisa sumas<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.6-3 p206, Ej.2.13 p188<\/p>\n\n\n\n Ahora considere un termino de los modos caracter\u00edsticos multiplicado por un escal\u00f3n unitario \u03bc(t)<\/strong> seg\u00fan el modelo de respuesta a impulso h(t).<\/p>\n\n\n h(t)=0 \\delta (t)+ [P(D)y_n (t)] \\mu (t)<\/span>\n\n\n\n la causalidad del escal\u00f3n requiere primero encontrar desde d\u00f3nde se aplican y luego la direcci\u00f3n o sentido. De forma semejante a la b\u00fasqueda de impulsos, se crea una funci\u00f3n que busque el escal\u00f3n e indique [donde, sentido]<\/p>\n\n\n\n Para un escal\u00f3n unitario hacia la derecha se tiene como punto de partida que El resultado esperado del algoritmo, para un caso es:<\/p>\n\n\n\n en la gr\u00e1fica se observa el desarrollo hacia el lado derecho,<\/p>\n\n\n\n debiendo realizar otras pruebas para verificar o mejorar el algoritmo.<\/p>\n\n\n Revisa causalidad<\/a><\/p>\n\n\n\n busca:<\/p>\n\n\n\n \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n adelantos<\/a><\/p>\n\n\n\n revisa sumas<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: h(t) de Lathi Ej. 2.10 p181<\/p>\n\n\n\n Se amplia el algoritmo anterior para incorporar la revisi\u00f3n de f(t) con factores que se multiplican.<\/p>\n\n\n\n Se muestras algunos ejemplos a usar para analizar esta parte:<\/p>\n\n\n\n El resultado esperado del algoritmo para uno de los ejemplos presentados en la entrada del algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n El resultado indica que no es causal, que es concordante con la gr\u00e1fica pues este sistema tiene respuesta antes de t=0, en el lado izquierdo del plano. Es decir el sistema se 'adelanta' a la llegada de la se\u00f1al en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n La revisi\u00f3n de factores de cada t\u00e9rmino de suma, se realiza descomponiendo la expresi\u00f3n en sus factores con ft.args o se obtienen los t\u00e9rmino suma con En el caso que el termino sea un escal\u00f3n o impulso elevado al cuadrado, se extrae solo la base del t\u00e9rmino para revisar.<\/p>\n\n\n\n La multiplicaci\u00f3n de funciones escal\u00f3n \u03bc(t)\u03bc(t-1) se da cuando se aplica el integral de convoluci\u00f3n entre x(t) y h(t), siendo x(t) un escal\u00f3n. Sin embargo Sympy mantiene las expresiones sin simplificar, asunto a considerar en los siguientes ejercicios. por ahora se lo realiza con Revisa causalidad<\/a><\/p>\n\n\n\n busca:<\/p>\n\n\n\n \u03b4(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n \u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n adelantos<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Revisar causalidad<\/h2>\n\n\n\n
![\"causal](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/causal_ht_funciones.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n<\/a>2. Ejemplo: busca el punto t donde se produce el impulso \u03b4(t)<\/h2>\n\n\n\n
# entrada x(t)<\/span>\n# h = d<\/span>\nh = 2*sym.pi*d.subs(t,t-2)\n# h = 2*d.subs(t,t-1)<\/span>\n# h = 3*d.subs(t,t+1)<\/span>\n# h = 5*sym.exp(-t)*d<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\nnot(ft.is_Add)<\/code>.<\/p>\n\n\n\nft.has(sym.DiracDelta)<\/code>, que inicialmente ser\u00eda suficiente para los objetivos del ejercicio. Sin embargo en ejercicios posteriores y de evaluaci\u00f3n se encontrar\u00e1 que estas funciones se pueden desplazar hacia un lado del plano, tal como un retraso en el tiempo de procesamiento. Por lo que se considera necesario determinar el punto t donde<\/code> se aplica el impulso y observar si es en el lado derecho del plano, t\u22650.<\/p>\n\n\n\ndonde_d = ss.busca_impulso(h)<\/code><\/pre>\n\n\n\n\ndonde_d = ss.busca_impulso(h)\n\n# Causal en RHS\nhcausal = False\nif len(donde_d)>0:\n donde=donde_d[0] # extremo izquierdo\n if donde>=0: # lado derecho del plano\n hcausal=True\n<\/pre><\/div>\n\n\n
h(t):\n2\u22c5\u03c0\u22c5\u03b4(t - 2)\nhcausal: True<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"causalidad](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/causalidadht_01Sympy.png\")
<\/figure>\n\n\n\nAlgoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Revisar causalidad de ft(t) en sympy\n# considera causal h(t)=b0*d + (modos caracteristicos)*u\n# Parte 1 comprueba solo impulso d(t) \nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n 'numpy',]\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t',real=True)\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\n# entrada x(t)\n# h = d\nh = 2*sym.pi*d.subs(t,t-2)\n# h = d.subs(t,t-1)\n# h = 3*d.subs(t,t+1)\n# h = 5*sym.exp(-t)*d\n# h = 4\n\n# grafica intervalo [t_a,t_b] simetrico a 0\nt_a = -4\nt_b = 4\nmuestras = 51\n\n# PROCEDIMIENTO\ndonde_d = ss.busca_impulso(h)\n\n# Causal en RHS\nhcausal = False\nif len(donde_d)>0:\n donde=donde_d[0] # extremo izquierdo\n if donde>=0: # lado derecho del plano\n hcausal=True\n\n# SALIDA\nprint('h(t):')\nsym.pprint(h)\nprint('hcausal: ',hcausal)\n\n# GRAFICA\nfigura_h = ss.graficar_ft(h,t_a,t_b,f_nombre='h')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Ejemplo: f(t) es causal si contiene escal\u00f3n unitario \u03bc(t) en un termino simple, sin sumas, N>M<\/h2>\n\n\n\n
causal=False<\/code>, cambiando a True<\/code> en el caso que el impulso se encuentre a la derecha del plano y el sentido sea positivo.<\/p>\n\n\n\ncausal = False\nh = ss.simplifica_escalon(h) # h(t-a)*h(t-b)\nif h.has(sym.Heaviside): #sin factores\n donde_u = busca_escalon(h)\n if len(donde_u)>0:\n donde = donde_u[0][0]\n sentido = donde_u[0][1]\n if donde>=0 and sentido>0:\n causal = True\n<\/pre><\/div>\n\n\n
h(t):\n\u03b8(t - 1)\nbusca_impulso: []\nbusca_escalon(ft): [[1, 1]]\nxcausal: True<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/files\/2017\/03\/causalidadht_02Sympy.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n\n# Revisar causalidad de ft(t) en sympy\n# considera causal h(t)=b0*d + (modos caracteristicos)*u\n# Parte 2 comprueba solo escalon u(t) \nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n 'numpy',]\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t',real=True)\nk = sym.Symbol('k',real=True)\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\n# entrada x(t)\n# h = u\nh = u.subs(t,t-1)\n# h = u.subs(t,t+1)\n# h = 5\n\n# grafica intervalo [t_a,t_b] simetrico a 0\nt_b = 4 ; t_a = -t_b\nmuestras = 51\n\n# PROCEDIMIENTO\ndonde_u = ss.busca_escalon(h)\n\n# Causal en RHS\ncausal = False\nif len(donde_u)>0: # existe un escalon unitario\n donde = donde_u[0][0]\n sentido = donde_u[0][1]\n if donde>=0 and sentido>0: # lado derecho del plano\n causal = True\n\n# SALIDA\nprint('h(t):')\nsym.pprint(h)\nprint('busca_impulso:', ss.busca_impulso(h))\nprint('busca_escalon(ft):', donde_u)\nprint('xcausal: ',causal)\n\n# GRAFICA\nfigura_h = ss.graficar_ft(h,t_a,t_b,f_nombre='h')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Ejemplo: Revisa si f(t) es causal un t\u00e9rmino de factores 'adelantados' que se multiplican<\/h2>\n\n\n\n
# entrada x(t)<\/span>\n# h = u<\/span>\n# h = 3*sym.pi*u.subs(t,t-1)<\/span>\nh = sym.exp(-2*t)*u.subs(t,t+1)\n# h = sym.exp(-2*t)*sym.cos(t)<\/span>\n# h = 5<\/span>\n# h = u.subs(t,-t+2)*u.subs(t,-t+1)<\/span>\n# h = u.subs(t,-t+1)*u.subs(t,-t+1)<\/span>\n# h = 3*u.subs(t,-t+1)*u.subs(t,-t+1)<\/span>\n# h = u.subs(t,t+1)*u.subs(t,-t+1)<\/span>\n# h = u.subs(t,t-1)*u.subs(t,-t+2)<\/span>\n# h = u.subs(t,t+2)*u.subs(t,-t-1)<\/span>\n# h = u.subs(t,t-2)*u.subs(t,-t-1)<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\nh(t):\n -2\u22c5t \n\u212f \u22c5\u03b8(t + 1)\nbusca_impulso(ft): []\nbusca_escalon(ft): [[-1, 1]]\nxcausal: False<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"causalidad](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/causalidadht_03Sympy.png\")
<\/figure>\n\n\n\nterm_suma = sym.Add.make_args(ft)<\/code><\/p>\n\n\n\nif<\/span> ft.is_Pow:\n ft = ft.as_base_exp()[0]<\/code><\/pre>\n\n\n\nss.simplifica_escalon(ft)<\/code>.<\/p>\n\n\n\n# Revisar causalidad de ft(t) en sympy\n# considera causal h(t)=b0*d + (modos caracteristicos)*u\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n 'numpy',]\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t',real=True)\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\n# entrada x(t)\n# h = u\n# h = 3*sym.pi*u.subs(t,t-1)\nh = sym.exp(-2*t)*u.subs(t,t+1)\n# h = sym.exp(-2*t)*sym.cos(t)\n# h = 5\n# h = u.subs(t,-t+2)*u.subs(t,-t+1)\n# h = u.subs(t,-t+1)*u.subs(t,-t+1)\n# h = 3*u.subs(t,-t+1)*u.subs(t,-t+1)\n# h = u.subs(t,t+1)*u.subs(t,-t+1)\n# h = u.subs(t,t-1)*u.subs(t,-t+2)\n# h = u.subs(t,t+2)*u.subs(t,-t-1)\n# h = u.subs(t,t-2)*u.subs(t,-t-1)\n\n# grafica intervalo [t_a,t_b] simetrico a 0\nt_a = -4\nt_b = 4\nmuestras = 51\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef es_causal(ft):\n ''' h(t) es causal si tiene\n b0*d(t)+u(t)*(modos caracteristicos)\n '''\n def es_causal_impulso(ft):\n ''' un termino en lado derecho del plano\n '''\n causal = False\n donde_d = ss.busca_impulso(ft)\n if len(donde_d)>0: # tiene impulso\n if donde_d[0]>=0: # derecha del plano\n causal = True \n return(causal)\n \n causal = True\n term_suma = sym.Add.make_args(ft)\n for term_k in term_suma:\n if term_k.has(sym.Heaviside):\n term_k = ss.simplifica_escalon(term_k) # h(t-a)*h(t-b)\n causal_k = True\n donde_u = ss.busca_escalon(term_k)\n if len(donde_u)==0: # sin escalon?\n causal_k = False\n if len(donde_u)==1: \n sentido1 = donde_u[0][0]\n donde1 = donde_u[0][1]\n # en lado izquierdo del plano\n if donde1<0 or sentido1<0:\n causal_k = False\n if len(donde_u)==2:\n donde1 = donde_u[0][0]\n sentido1 = donde_u[0][1]\n donde2 = donde_u[1][0]\n sentido2 = donde_u[1][1]\n # rectangulo lado derecho del plano\n if (donde1<donde2): \n if donde1<0: # u(t+1)*u(-t+1)\n causal_k = False\n if (donde2<donde1):\n if donde2<0: # u(-t+1)*u(t+1)\n causal_k = False\n\n else: # un termino, sin escalon unitario\n # causal depende si tiene un impulso\n causal_k = es_causal_impulso(term_k)\n causal = causal and causal_k\n return(causal)\n\nhcausal = es_causal(h)\n\n# SALIDA\nprint('h(t):')\nsym.pprint(h)\nprint('busca_impulso(ft):', ss.busca_impulso(h))\nprint('busca_escalon(ft):', ss.busca_escalon(h))\nprint('xcausal: ',hcausal)\n\n# GRAFICA\nfigura_h = ss.graficar_ft(h,t_a,t_b,f_nombre='h')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
![\"causalidad](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/causalidadht_04Sympy.png\")
<\/figure>\n\n\n\n