{"id":4581,"date":"2017-12-07T11:35:09","date_gmt":"2017-12-07T16:35:09","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=4581"},"modified":"2026-07-30T07:35:35","modified_gmt":"2026-07-30T12:35:35","slug":"s2eva2007tii_t2_an-lanzamiento-vertical-proyectil","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva10\/s2eva2007tii_t2_an-lanzamiento-vertical-proyectil\/","title":{"rendered":"s2Eva2007TII_T2_AN EDO Lanzamiento vertical proyectil"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 2Eva2007TII_T2_AN EDO Lanzamiento vertical proyectil<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"parab\u00f3lico<\/figure>\n\n\n\n

El ejercicio es semejante a los presentados en f\u00edsica\/cinem\u00e1tica, simplificado al eje vertical.<\/p>\n\n\n\n

EL ejercicio considera la fuerza de la gravedad y la resistencia del aire que van en contra de del sentido de desplazamiento en la componente vertical.<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n del problema se expresa como:<\/p>\n\n\n m \\frac{d v}{d t} = -mg - kv|v|<\/span>\n\n\n\n

se despeja:<\/p>\n\n\n\\frac{d v}{d t} = -g - \\frac{k}{m}v|v|<\/span>\n\n\n\n

y usando los valores proporcionados para las constantes en el enunciado:<\/p>\n\n\n\\frac{d v}{d t} = -9,8 - \\frac{0.002}{0.11}v|v|<\/span>\n\n\n\n

con valores iniciales de:<\/p>\n\n\n\n

t0<\/sub> = 0 , v0<\/sub> = 8 , h=0.2<\/p>\n\n\n\n

Considerando el desarrollo del ejercicio solo para velocidad, se plantea:<\/p>\n\n\nf(t,v) = -9,8 - \\frac{0.002}{0.11}v|v|<\/span>\n\n\n\n

Se obtiene solo la tabla de velocidad. La altura m\u00e1xima se encuentra cuando la velocidad llega a cero, el proyectil ya no sube mas y comienza a caer.<\/p>\n\n\n\n

Para encontrar las alturas se deber\u00eda integrar sobre la columna de velocidad desde la primera iteraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Otra forma de plantear el ejercicio<\/h3>\n\n\n\n

Sin embargo se puede pasar al planteamiento de la ecuaci\u00f3n en 2da derivada, considerando que v= dy\/dt <\/p>\n\n\n\\frac{d^2 y}{d t^2} = -9,8 - \\frac{0.002}{0.11}\\frac{dy}{dt}\\left|\\frac{dy}{dt}\\right|<\/span>\n\n\n\n

que genera el sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n f(t,y,v) = v <\/span>\n\n\nf(t,y,v) = -9,8 - \\frac{0.002}{0.11}v|v|<\/span>\n\n\n\n

que genera la tabla para [t,y,v]<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

tabla<\/p>\n\n\n\n

velocidad<\/a><\/p>\n\n\n\n

velocidad y altura:<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

literal a: con velocidad<\/h2>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/th>vi<\/th>K1<\/th>K2<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>0<\/td>8<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Se usa Runge-Kutta de 2do Orden<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 1<\/h3>\n\n\n K_1 = h f(0,8)= 0.2 \\left[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}(8)|8| \\right]<\/span>\n\n\n= -2.1927 <\/span>\n\n\nK_2 = h f(0 + 0.2, 8 -2.1927) <\/span>\n\n\n= 0.2[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}(8 -2.1927)|8 -2.1927|] <\/span>\n\n\n =-2.0826 <\/span>\n\n\nv_1 = -9,8 +\\frac{-2.1927-2.0826 }{2} = 5.8623<\/span>\n\n\nt_1 = t_0 + h = 0 + 0.2 = 0.2<\/span>\n\n\nerror = O(h^3) = O(0.2^3) = O(0.008)<\/span>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/th>vi<\/th>K1<\/th>K2<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>0<\/td>8<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
1<\/td>0.2<\/td>5.8623<\/td>-2.1927<\/td>-2.0826<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 2<\/h3>\n\n\nK_1 = h f(0.2, 5.8623)<\/span>\n\n\n= 0.2\\left[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}(5.8623)|5.8623|\\right] = -2.085 <\/span>\n\n\n K_2 = h f(0.2 + 0.2, 5.8623 -2.085) <\/span>\n\n\n= 0.2 \\left[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}(5.8623 -2.085)|5.8623 -2.085|\\right] =-2.0119<\/span>\n\n\n=-2.0119<\/span>\n\n\nv_2 = -9,8 +\\frac{-2.085-2.0119}{2} = 3.8139<\/span>\n\n\nt_2 = t_1 + h = 0.2 + 0.2 = 0.4<\/span>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/th>vi<\/th>K1<\/th>K2<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>0<\/td>8<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
1<\/td>0.2<\/td>5.8623<\/td>-2.1927<\/td>-2.0826<\/td><\/tr>
2<\/td>0.4<\/td>3.8139<\/td>-2.085<\/td>-2.0119<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 3<\/h3>\n\n\nK_1 = h f(0.4, 3.8139)<\/span>\n\n\n= 0.2\\left[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}( 3.8139)| 3.8139|\\right]<\/span>\n\n\n = -2.0129 <\/span>\n\n\nK_2 = h f(0.4+0.2, 3.8139 -2.0129) <\/span>\n\n\n= 0.2 \\left[-9,8 - \\frac{0.002}{0.11}(3.8139 -2.0129)|3.8139 -2.0129|\\right] <\/span>\n\n\n =-1.9718 <\/span>\n\n\n v_3 = -9,8 +\\frac{-2.0129-1.9718}{2} = 1.8215<\/span>\n\n\nt_3 = t_2 + h = 0.4 + 0.2 = 0.6<\/span>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/th>vi<\/th>K1<\/th>K2<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>0<\/td>8<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
1<\/td>0.2<\/td>5.8623<\/td>-2.1927<\/td>-2.0826<\/td><\/tr>
2<\/td>0.4<\/td>3.8139<\/td>-2.085<\/td>-2.0119<\/td><\/tr>
3<\/td>0.6<\/td>1.8215<\/td>-2.0129<\/td>-1.9718<\/td><\/tr>
...<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n

Tabla y gr\u00e1fica del ejercicio para todo el intervalo:<\/p>\n\n\n\n

EDO dy\/dx con Runge-Kutta 2 Orden\ni, [ti,     vi,     K1,    K2]\n0 [0. 8. 0. 0.]\n1 [ 0.2         5.86231924 -2.19272727 -2.08263424]\n2 [ 0.4         3.81389169 -2.08497013 -2.01188497]\n3 [ 0.6         1.82154739 -2.01289371 -1.97179489]\n4 [ 0.8        -0.1444442  -1.97206558 -1.95991762]\n5 [ 1.         -2.0963547  -1.95992413 -1.94389685]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"2EIIT2007T2<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 2Eva2007TII_T2_AN EDO Lanzamiento vertical proyectil\n# EDO dy\/dx. M todo de RungeKutta 2do Orden \n# estima la solucion para muestras espaciadas h en eje x\n# valores iniciales x0,y0, entrega tabla[xi,yi,K1,K2]\nimport numpy as np\n  \n# INGRESO\n# d1y = y' = f\nd1y = lambda t,v: -9.8-(0.002\/0.11)* v*np.abs(v)\nx0 = 0\ny0 = 8\nh  = 0.2\nmuestras = 5\n  \n# algoritmos como funcion\ndef rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras,\n                vertabla=False,precision=6):\n    '''solucion a EDO dy\/dx, con Runge Kutta de 2do orden\n    d1y es la expresion dy\/dx, tambien planteada como f(x,y),\n    valores iniciales: x0,y0, tamano de paso h.\n    muestras es la cantidad de puntos a calcular. \n    '''\n    tamano = muestras + 1\n    tabla = np.zeros(shape=(tamano,2+2),dtype=float)\n    tabla[0] = [x0,y0,0,0] # incluye el punto [x0,y0]\n      \n    xi = x0 # valores iniciales\n    yi = y0\n    for i in range(1,tamano,1):\n        K1 = h * d1y(xi,yi)\n        K2 = h * d1y(xi+h, yi + K1)\n  \n        yi = yi + (K1+K2)\/2\n        xi = xi + h\n          \n        tabla[i] = [xi,yi,K1,K2]\n         \n    if vertabla==True:\n        np.set_printoptions(precision)\n        print( 'EDO dy\/dx con Runge-Kutta 2 Orden')\n        print('i, [xi,     yi,     K1,    K2]')\n        for i in range(0,tamano,1):\n            print(i,tabla[i])\n  \n    return(tabla)\n  \n# PROCEDIMIENTO\ntabla = rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras)\nn = len(tabla)\n  \n# SALIDA\nprint('EDO dy\/dx con Runge-Kutta 2 Orden')\nprint('i, [ti,     vi,     K1,    K2]')\nfor i in range(0,n,1):\n    print(i,tabla[i])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal b: con velocidad<\/h2>\n\n\n\n
El tiempo donde se alcanza la altura m\u00e1xima es con velocidad cero, ocurre en el intervalo [0.6, 0.8] <\/p>\n\n\n\n
Para obtener un valor con mayor precisi\u00f3n se puede reducir el tama\u00f1o de paso h  y obtener la tabla con el algoritmo. <\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal a: con velocidad y altura<\/h2>\n\n\n\n
Tarea<\/strong>: Realizar iteraciones para Runge-Kutta<\/p>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/th>yi<\/th>vi<\/th>K1y<\/th>K1v<\/th>K2y<\/th>K2v<\/th><\/tr><\/thead>
0<\/td>0<\/td>0<\/td>8<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td>-<\/td><\/tr>
<\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2007TII_T2_AN EDO Lanzamiento vertical proyectil El ejercicio es semejante a los presentados en f\u00edsica\/cinem\u00e1tica, simplificado al eje vertical. EL ejercicio considera la fuerza de la gravedad y la resistencia del aire que van en contra de del sentido de desplazamiento en la componente vertical. La ecuaci\u00f3n del problema se expresa como: se despeja: y […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[47],"tags":[58,54],"class_list":["post-4581","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s2eva10","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4581","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4581"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4581\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":25168,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4581\/revisions\/25168"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4581"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4581"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4581"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}